En matemáticas , el grupo ortogonal especial en tres dimensiones, también conocido como grupo de rotación SO(3) , es un ejemplo natural de variedad . Los distintos gráficos de SO(3) configuran sistemas de coordenadas rivales : en este caso no se puede decir que exista un conjunto preferido de parámetros que describan una rotación. Hay tres grados de libertad , de modo que la dimensión de SO(3) es tres. En numerosas aplicaciones se utiliza uno u otro sistema de coordenadas y surge la pregunta de cómo convertir de un sistema determinado a otro.
En geometría, el grupo de rotación es el grupo de todas las rotaciones alrededor del origen del espacio euclidiano tridimensional R 3 bajo la operación de composición . [1] Por definición, una rotación alrededor del origen es una transformación lineal que preserva la longitud de los vectores (es una isometría ) y preserva la orientación (es decir, la lateralidad ) del espacio. Una transformación que conserva la longitud y que invierte la orientación se denomina rotación impropia . Cada rotación impropia del espacio euclidiano tridimensional es una rotación seguida de una reflexión en un plano que pasa por el origen.
Componer dos rotaciones da como resultado otra rotación; cada rotación tiene una rotación inversa única; y el mapa de identidad satisface la definición de rotación. Debido a las propiedades anteriores, el conjunto de todas las rotaciones es un grupo bajo composición. Además, el grupo de rotación tiene una estructura múltiple natural para la cual las operaciones del grupo son fluidas ; entonces en realidad es un grupo de Lie . El grupo de rotación suele denominarse SO(3) por las razones que se explican a continuación.
El espacio de rotaciones es isomorfo con el conjunto de operadores de rotación y el conjunto de matrices ortonormales con determinante +1. También está estrechamente relacionado ( doble cobertura ) con el conjunto de cuaterniones con su producto interno, así como con el conjunto de vectores de rotación (aunque aquí la relación es más difícil de describir, ver más detalles a continuación), con una operación de composición interna diferente. dado por el producto de sus matrices equivalentes.
La notación de vectores de rotación surge del teorema de rotación de Euler que establece que cualquier rotación en tres dimensiones puede describirse mediante una rotación de algún ángulo alrededor de algún eje. Teniendo esto en cuenta, podemos especificar el eje de una de estas rotaciones mediante dos ángulos y podemos usar el radio del vector para especificar el ángulo de rotación . Estos vectores representan una bola en 3D con una topología inusual.
Esta esfera sólida 3D es equivalente a la superficie de un disco 4D, que también es una variedad 3D. Para hacer esta equivalencia, tendremos que definir cómo representaremos una rotación con esta superficie incrustada en 4D.
Es interesante considerar el espacio como la esfera tridimensional S 3 , el límite de un disco en el espacio euclidiano de 4 dimensiones. Para hacer esto, tendremos que definir cómo representamos una rotación con esta superficie incrustada en 4D.
La forma en que se puede utilizar el radio para especificar el ángulo de rotación no es sencilla. Puede relacionarse con círculos de latitud en una esfera con un polo norte definido y se explica de la siguiente manera:
Comenzando en el polo norte de una esfera en un espacio tridimensional, especificamos el punto en el polo norte para representar la rotación de identidad. En el caso de la rotación identidad, no se define ningún eje de rotación y el ángulo de rotación (cero) es irrelevante. Una rotación con su eje contenido en el plano xy y un ángulo de rotación muy pequeño se puede especificar mediante un corte a través de la esfera paralela al plano xy y muy cerca del polo norte. El círculo definido por este corte será muy pequeño, correspondiente al pequeño ángulo de rotación. A medida que los ángulos de rotación aumentan, el corte se mueve hacia el sur y los círculos se hacen más grandes hasta alcanzar el ecuador de la esfera, que corresponderá a un ángulo de rotación de 180 grados. Continuando hacia el sur, los radios de los círculos ahora se vuelven más pequeños (correspondiente al valor absoluto del ángulo de rotación considerado como número negativo). Finalmente, cuando se alcanza el polo sur, los círculos se reducen una vez más hasta la rotación de identidad, que también se especifica como el punto en el polo sur. Observe que en esta visualización se pueden ver varias características de tales rotaciones y sus representaciones.
El espacio de rotaciones es continuo, cada rotación tiene una vecindad de rotaciones que son casi iguales y esta vecindad se vuelve plana a medida que se reduce.
Además, cada rotación en realidad está representada por dos puntos antípodas de la esfera, que están en extremos opuestos de una línea que pasa por el centro de la esfera. Esto refleja el hecho de que cada rotación puede representarse como una rotación alrededor de algún eje o, de manera equivalente, como una rotación negativa alrededor de un eje que apunta en la dirección opuesta (la llamada doble cubierta ). La "latitud" de un círculo que representa un ángulo de rotación particular será la mitad del ángulo representado por esa rotación, ya que a medida que el punto se mueve del polo norte al polo sur, la latitud oscila entre cero y 180 grados, mientras que el ángulo de rotación varía de 0 a 360 grados . (La "longitud" de un punto representa entonces un eje de rotación particular). Sin embargo, tenga en cuenta que este conjunto de rotaciones no está cerrado bajo composición.
Dos rotaciones sucesivas con ejes en el plano xy no necesariamente darán una rotación cuyo eje se encuentre en el plano xy y, por lo tanto, no pueden representarse como un punto en la esfera. Este no será el caso con una rotación general en 3 espacios, que forman un conjunto cerrado bajo composición.
Esta visualización se puede ampliar a una rotación general en un espacio tridimensional. La rotación idéntica es un punto, y un pequeño ángulo de rotación alrededor de algún eje se puede representar como un punto en una esfera con un radio pequeño. A medida que el ángulo de rotación crece, la esfera crece, hasta que el ángulo de rotación alcanza los 180 grados, momento en el que la esfera comienza a encogerse, convirtiéndose en un punto a medida que el ángulo se acerca a los 360 grados (o cero grados desde la dirección negativa). Este conjunto de esferas en expansión y contracción representa una hiperesfera en un espacio de cuatro dimensiones (una 3 esferas).
Al igual que en el ejemplo más simple anterior, cada rotación representada como un punto en la hiperesfera coincide con su punto antípoda en esa hiperesfera. La "latitud" en la hiperesfera será la mitad del ángulo de rotación correspondiente, y la vecindad de cualquier punto se volverá "más plana" (es decir, estará representada por un espacio euclidiano 3D de puntos) a medida que la vecindad se reduzca.
Este comportamiento se corresponde con el conjunto de cuaterniones unitarios : un cuaternión general representa un punto en un espacio de cuatro dimensiones, pero al restringirlo a tener una magnitud unitaria se obtiene un espacio tridimensional equivalente a la superficie de una hiperesfera. La magnitud del cuaternión unitario será la unidad, correspondiente a una hiperesfera de radio unitario.
La parte vectorial de un cuaternión unitario representa el radio de la 2 esfera correspondiente al eje de rotación, y su magnitud es el seno de la mitad del ángulo de rotación. Cada rotación está representada por dos cuaterniones unitarios de signo opuesto y, como en el espacio de rotaciones en tres dimensiones, el cuaternión producto de dos cuaterniones unitarios dará como resultado un cuaternión unitario. Además, el espacio de los cuaterniones unitarios es "plano" en cualquier vecindad infinitesimal de un cuaternión unitario dado.
Podemos parametrizar el espacio de rotaciones de varias formas, pero siempre aparecerán degeneraciones. Por ejemplo, si utilizamos tres ángulos ( ángulos de Euler ), dicha parametrización se degenera en algunos puntos de la hiperesfera, lo que lleva al problema del bloqueo del cardán . Podemos evitar esto usando cuatro coordenadas euclidianas w , x , y , z , con w 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1. El punto ( w , x , y , z ) representa una rotación alrededor del eje dirigido por el vector ( x , y , z ) por un ángulo
Este problema es similar a parametrizar la superficie bidimensional de una esfera con dos coordenadas, como latitud y longitud. La latitud y la longitud se comportan mal ( degeneran ) en los polos norte y sur, aunque los polos no son intrínsecamente diferentes de cualquier otro punto de la esfera. En los polos (latitud +90° y −90°), la longitud pierde sentido. Se puede demostrar que ningún sistema de coordenadas de dos parámetros puede evitar tal degeneración.
Las posibles parametrizaciones candidatas incluyen:
Hay problemas al utilizarlos como algo más que gráficos locales, debido a su naturaleza de valores múltiples y sus singularidades. Es decir, hay que tener cuidado sobre todo de trabajar sólo con difeomorfismos en la definición de gráfico . Los problemas de este tipo son inevitables, ya que SO(3) es difeomorfo al espacio proyectivo real P 3 ( R ), que es un cociente de S 3 al identificar puntos antípodas, y los gráficos intentan modelar una variedad usando R 3 .
Esto explica por qué, por ejemplo, los ángulos de Euler parecen dar una variable en el 3- toro , y los cuaterniones unitarios en un 3-esfera . La unicidad de la representación mediante ángulos de Euler se rompe en algunos puntos (cf. bloqueo de cardán ), mientras que la representación del cuaternión es siempre una cubierta doble , con q y − q dan la misma rotación.
Si utilizamos una matriz simétrica sesgada, cada matriz simétrica sesgada de 3 × 3 está determinada por 3 parámetros, por lo que, a primera vista, el espacio de parámetros es R 3 . La potenciación de dicha matriz da como resultado una matriz ortogonal de 3 × 3 del determinante 1; en otras palabras, una matriz de rotación, pero esta es una aplicación de muchos a uno. Tenga en cuenta que no es un mapa de cobertura ; si bien es un homeomorfismo local cerca del origen, no es un mapa de cobertura en rotaciones de 180 grados. Es posible restringir estas matrices a una bola alrededor del origen en R 3 para que las rotaciones no excedan los 180 grados, y esto será uno a uno, excepto para las rotaciones de 180 grados, que corresponden al límite S 2 , y estos identifican puntos antípodas: este es el lugar de corte . La bola 3 con esta identificación del límite es P 3 ( R ). Una situación similar se aplica al aplicar una transformada de Cayley a la matriz simétrica sesgada.
El ángulo del eje proporciona parámetros en S 2 × S 1 ; Si reemplazamos el vector unitario por el eje de rotación real, de modo que n y − n den la misma línea de eje, el conjunto de ejes se convierte en P 2 ( R ), el plano proyectivo real . Pero dado que las rotaciones alrededor de n y − n están parametrizadas por valores opuestos de θ, el resultado es un paquete S 1 sobre P 2 ( R ), que resulta ser P 3 ( R ).
Las transformaciones lineales fraccionarias utilizan cuatro parámetros complejos, a , b , c y d , con la condición de que ad − bc sea distinto de cero. Dado que multiplicar los cuatro parámetros por el mismo número complejo no cambia el parámetro, podemos insistir en que ad − bc =1. Esto sugiere escribir ( a , b , c , d ) como una matriz compleja de 2 × 2 del determinante 1, es decir, como un elemento del grupo lineal especial SL(2, C ). Pero no todas estas matrices producen rotaciones: también se incluyen aplicaciones conformes en S 2 . Para obtener solo rotaciones insistimos en que d es el conjugado complejo de a y c es el negativo del conjugado complejo de b . Entonces tenemos dos números complejos, a y b , sujetos a | un | 2 +| segundo | 2 = 1. Si escribimos a + bj , este es un cuaternión de longitud unitaria.
En última instancia, dado que R 3 no es P 3 ( R ), habrá un problema con cada uno de estos enfoques. En algunos casos, debemos recordar que ciertos valores de parámetros dan como resultado la misma rotación y, para eliminar este problema, se deben establecer límites, pero luego una ruta a través de esta región en R 3 debe saltar repentinamente a una región diferente cuando cruza un límite. El bloqueo del cardán es un problema cuando la derivada del mapa no tiene el rango completo, lo que ocurre con los ángulos de Euler y los ángulos de Tait-Bryan, pero no con las otras opciones. La representación del cuaternión no tiene ninguno de estos problemas (siendo un mapeo de dos a uno en todas partes), pero tiene 4 parámetros con una condición (unidad de longitud), lo que a veces hace que sea más difícil ver los tres grados de libertad disponibles.
Un área en la que estas consideraciones, de alguna forma, se vuelven inevitables es la cinemática de un cuerpo rígido . Se puede tomar como definición la idea de una curva en el grupo euclidiano E (3) del espacio euclidiano tridimensional , comenzando en la identidad (posición inicial). El subgrupo de traducción T de E (3) es un subgrupo normal , con cociente SO(3) si miramos el subgrupo E + (3) de isometrías directas únicamente (lo cual es razonable en cinemática). La parte traslacional se puede desacoplar de la parte rotacional en la cinemática newtoniana estándar considerando el movimiento del centro de masa y las rotaciones del cuerpo rígido alrededor del centro de masa. Por lo tanto, cualquier movimiento de cuerpo rígido conduce directamente a SO(3), cuando factorizamos la parte traslacional.
Estas identificaciones ilustran que SO(3) está conexo pero no simplemente conexo . En cuanto a esto último, en la bola con puntos de superficie antípodas identificados, considere el camino que va desde el "polo norte" directamente a través del centro hasta el polo sur. Se trata de un circuito cerrado, ya que se identifican el polo norte y el polo sur. Este bucle no se puede reducir a un punto, ya que no importa cómo se deforme el bucle, el punto inicial y final deben permanecer antípodas, o de lo contrario el bucle se "abrirá". En términos de rotaciones, este bucle representa una secuencia continua de rotaciones alrededor del eje z que comienza y termina en la rotación identidad (es decir, una serie de rotaciones a través de un ángulo φ donde φ va de 0 a 2π).
Sorprendentemente, si recorre el camino dos veces, es decir, desde el polo norte hasta el polo sur y de regreso al polo norte, de modo que φ vaya de 0 a 4π, obtendrá un circuito cerrado que se puede reducir a un solo punto: primer movimiento los caminos continuamente hacia la superficie de la bola, aún conectando el polo norte con el polo sur dos veces. Luego, la segunda mitad del camino se puede reflejar hacia el lado antípoda sin cambiar el camino en absoluto. Ahora tenemos un circuito cerrado ordinario en la superficie de la pelota, que conecta el polo norte consigo mismo a lo largo de un círculo máximo. Este círculo se puede reducir hasta el polo norte sin problemas. El truco del plato balinés y trucos similares lo demuestran de forma práctica.
El mismo argumento se puede realizar en general y muestra que el grupo fundamental de SO (3) es un grupo cíclico de orden 2. En aplicaciones de física, la no trivialidad del grupo fundamental permite la existencia de objetos conocidos como espinores . y es una herramienta importante en el desarrollo del teorema de la estadística de espín .
La cobertura universal de SO(3) es un grupo de Lie llamado Spin(3) . El grupo Spin(3) es isomorfo al grupo unitario especial SU(2); también es difeomorfo a la unidad de 3 esferas S 3 y puede entenderse como el grupo de cuaterniones unitarios (es decir, aquellos con valor absoluto 1). La conexión entre cuaterniones y rotaciones, comúnmente explotada en gráficos por computadora , se explica en Cuaterniones y rotaciones espaciales . El mapa de S 3 a SO (3) que identifica los puntos antípodas de S 3 es un homomorfismo sobreyectivo de grupos de Lie, con núcleo {±1}. Topológicamente, este mapa es un mapa de cobertura de dos a uno .
