Proyección (matemáticas)

Mapeo igual a su cuadrado bajo composición de mapeo

En matemáticas , una proyección es un mapeo idempotente de un conjunto (u otra estructura matemática ) en un subconjunto (o subestructura). En este caso, idempotente significa que proyectar dos veces es lo mismo que proyectar una vez. También se llama proyección a la restricción a un subespacio de una proyección , incluso si se pierde la propiedad de idempotencia. Un ejemplo cotidiano de proyección es la proyección de sombras sobre un plano (hoja de papel): la proyección de un punto es su sombra en la hoja de papel, y la proyección (sombra) de un punto en la hoja de papel es esa punto en sí (idempotencia). La sombra de una esfera tridimensional es un disco cerrado. Originalmente, la noción de proyección se introdujo en la geometría euclidiana para denotar la proyección del espacio euclidiano tridimensional sobre un plano en él, como en el ejemplo de la sombra. Las dos principales proyecciones de este tipo son:

• La proyección de un punto sobre un plano o proyección central : Si C es un punto, llamado centro de proyección , entonces la proyección de un punto P distinto de C sobre un plano que no contiene a C es la intersección de la recta CP con el avión. Los puntos P tales que la línea CP es paralela al plano no tienen ninguna imagen por proyección, pero se suele decir que se proyectan a un punto en el infinito del plano (ver Geometría proyectiva para una formalización de esta terminología). La proyección del punto C en sí no está definida.
• La proyección paralela a una dirección D , sobre un plano o proyección paralela : La imagen de un punto P es la intersección con el plano de la recta paralela a D que pasa por P. Consulte Espacio afín § Proyección para obtener una definición precisa, generalizada a cualquier dimensión. ^{[ cita necesaria ]}

El concepto de proyección en matemáticas es muy antiguo y probablemente tenga sus raíces en el fenómeno de las sombras proyectadas por los objetos del mundo real en la tierra. Esta idea rudimentaria fue refinada y abstraída, primero en un contexto geométrico y luego en otras ramas de las matemáticas. Con el tiempo se desarrollaron diferentes versiones del concepto, pero hoy, en un entorno suficientemente abstracto, podemos unificar estas variaciones. ^{[ cita necesaria ]}

En cartografía , una proyección cartográfica es un mapa de una parte de la superficie de la Tierra en un plano, lo que, en algunos casos, pero no siempre, es la restricción de una proyección en el significado anterior. Las proyecciones 3D también son la base de la teoría de la perspectiva . ^{[ cita necesaria ]}

La necesidad de unificar los dos tipos de proyecciones y de definir la imagen mediante una proyección central de cualquier punto diferente del centro de proyección están en el origen de la geometría proyectiva . Sin embargo, una transformación proyectiva es una biyección de un espacio proyectivo , propiedad que no comparte con las proyecciones de este artículo. ^{[ cita necesaria ]}

Definición

La conmutatividad de este diagrama es la universalidad de la proyección π, para cualquier mapa f y conjunto X.

Generalmente, un mapeo donde el dominio y el codominio son el mismo conjunto (o estructura matemática ) es una proyección si el mapeo es idempotente , lo que significa que una proyección es igual a su composición consigo misma. Una proyección también puede referirse a un mapeo que tiene una inversa derecha . Ambas nociones están fuertemente relacionadas, como sigue. Sea p una aplicación idempotente de un conjunto A en sí mismo (por lo tanto, p ∘ p  =  p ) y B  = p ( A ) sea la imagen de p . Si denotamos por π la aplicación p vista como una aplicación de A a B y por i la inyección de B en A (de modo que p  =  i ∘ π ), entonces tenemos π ∘ i  = Id _B (de modo que π tiene una inversa derecha). Por el contrario, si π tiene un inverso recto, entonces π ∘ i = Id _B implica que i ∘ π es idempotente. ^{[ cita necesaria ]}

Aplicaciones

La noción original de proyección se ha extendido o generalizado a diversas situaciones matemáticas, frecuentemente, pero no siempre, relacionadas con la geometría, por ejemplo:

• En teoría de conjuntos :
  • Una operación tipificada por el j ^ésimo mapa de proyección , escrito proj _j , que toma un elemento x = ( x ₁ , ..., x _j , ..., x _n ) del producto cartesiano X ₁ × ⋯ × X _j × ⋯ × X _n al valor proj _j ( x ) = x _j . ^[1] Este mapa es siempre sobreyectivo y, cuando cada espacio X _k tiene una topología , este mapa también es continuo y abierto . ^[2]
  • Un mapeo que lleva un elemento a su clase de equivalencia bajo una relación de equivalencia dada se conoce como proyección canónica . ^[3]
  • El mapa de evaluación envía una función f al valor f ( x ) para una x fija . El espacio de funciones Y ^X se puede identificar con el producto cartesiano , y el mapa de evaluación es un mapa de proyección del producto cartesiano. ^{[ cita necesaria ]} ${\textstyle \prod _{i\in X}Y}$
• Para bases de datos relacionales y lenguajes de consulta , la proyección es una operación unaria escrita como donde hay un conjunto de nombres de atributos. El resultado de dicha proyección se define como el conjunto que se obtiene cuando todas las tuplas en R están restringidas al conjunto . ^{[4] [5] [6] [ se necesita verificación ]} R es una relación de base de datos . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \Pi _{a_{1},\ldots ,a_{n}}(R)}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$
• En geometría esférica , Ptolomeo (~150) utilizó la proyección de una esfera sobre un plano en su Planisphaerium . ^[7] El método se llama proyección estereográfica y utiliza un plano tangente a una esfera y un polo C diametralmente opuesto al punto de tangencia. Cualquier punto P en la esfera además de C determina una línea CP que corta el plano en el punto proyectado para P. ^[8] La correspondencia convierte a la esfera en una compactación de un punto para el plano cuando se incluye un punto en el infinito para corresponder a C , que de otro modo no tiene proyección en el plano. Un ejemplo común es el plano complejo donde la compactación corresponde a la esfera de Riemann . Alternativamente, frecuentemente se proyecta un hemisferio sobre un plano utilizando la proyección gnomónica . ^{[ cita necesaria ]}
• En álgebra lineal , transformación lineal que permanece sin cambios si se aplica dos veces: p ( u ) = p ( p ( u )). En otras palabras, un operador idempotente . Por ejemplo, el mapeo que lleva un punto ( x , y , z ) en tres dimensiones al punto ( x , y , 0) es una proyección. Este tipo de proyección se generaliza naturalmente a cualquier número de dimensiones n para el dominio y k ≤ n para el codominio del mapeo. Véase Proyección ortogonal , Proyección (álgebra lineal) . En el caso de proyecciones ortogonales, el espacio admite una descomposición como producto, y el operador de proyección es una proyección también en ese sentido. ^{[9] [10] [ verificación necesaria ]}
• En topología diferencial , cualquier haz de fibras incluye un mapa de proyección como parte de su definición. Al menos localmente, este mapa parece un mapa de proyección en el sentido de la topología del producto y, por tanto, es abierto y sobreyectivo. ^{[ cita necesaria ]}
• En topología , una retracción es un mapa continuo r : X → X que se restringe al mapa de identidad en su imagen. ^[11] Esto satisface una condición de idempotencia similar r ² = r y puede considerarse una generalización del mapa de proyección. La imagen de una retracción se llama retracción del espacio original. Una retracción que es homotópica a la identidad se conoce como retracción de deformación . Este término también se utiliza en la teoría de categorías para referirse a cualquier epimorfismo dividido. ^{[ cita necesaria ]}
• La proyección escalar (o resuelta) de un vector sobre otro. ^{[ cita necesaria ]}
• En teoría de categorías , la noción anterior de producto cartesiano de conjuntos puede generalizarse a categorías arbitrarias . El producto de algunos objetos tiene un morfismo de proyección canónico para cada factor. Esta proyección tomará muchas formas en diferentes categorías. La proyección desde el producto cartesiano de conjuntos , la topología producto de espacios topológicos (que siempre es sobreyectiva y abierta ), o desde el producto directo de grupos , etc. Aunque estos morfismos suelen ser epimorfismos e incluso sobreyectivos, no tienen por qué serlo. . ^{[12] [ se necesita verificación ]}

Referencias

1. "Producto directo - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 11 de agosto de 2021 .
2. Lee, John M. (2012). Introducción a los colectores lisos. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 218 (Segunda ed.). pag. 606.doi : 10.1007 /978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9982-5. Ejercicio A.32. Supongamos que son espacios topológicos. Demuestre que cada proyección es un mapa abierto. ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}}$
3. Marrón, Arlen; Pearcy, Carl (16 de diciembre de 1994). Una introducción al análisis. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-0-387-94369-5.
4. Alagic, Suad (6 de diciembre de 2012). Tecnología de bases de datos relacionales. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-1-4612-4922-1.
5. Fecha, CJ (28 de agosto de 2006). Diccionario de bases de datos relacionales: un glosario completo de términos y conceptos relacionales, con ejemplos ilustrativos. "O'Reilly Media, Inc.". ISBN 978-1-4493-9115-7.
6. "Álgebra relacional". www.cs.rochester.edu . Archivado desde el original el 30 de enero de 2004 . Consultado el 29 de agosto de 2021 .
7. Sidoli, Nathan; Berggren, JL (2007). "La versión árabe del planisferio de Ptolomeo o aplanamiento de la superficie de la esfera: texto, traducción, comentario" (PDF) . Sciamvs . 8 . Consultado el 11 de agosto de 2021 .
8. "Proyección estereográfica - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 11 de agosto de 2021 .
9. "Proyección - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 11 de agosto de 2021 .
10. Romano, Steven (20 de septiembre de 2007). Álgebra lineal avanzada. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-0-387-72831-5.
11. "Retracción - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 11 de agosto de 2021 .
12. "Producto de una familia de objetos en una categoría - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 11 de agosto de 2021 .

Otras lecturas

• Thomas Craig (1882) Tratado sobre proyecciones de la Colección de Matemáticas Históricas de la Universidad de Michigan .