Cobordismo

Un cobordismo ( W ; M , N ).

En matemáticas , el cobordismo es una relación de equivalencia fundamental en la clase de variedades compactas de la misma dimensión, establecida utilizando el concepto de límite ( bord francés , que da cobordismo ) de una variedad. Dos variedades de la misma dimensión son cobordantes si su unión disjunta es el límite de una variedad compacta una dimensión más alta.

El límite de una variedad W de ( n  + 1) dimensiones es una variedad n -dimensional ∂ W que está cerrada, es decir, con frontera vacía. En general, una variedad cerrada no tiene por qué ser un límite: la teoría del cobordismo es el estudio de la diferencia entre todas las variedades cerradas y aquellas que son límites. La teoría fue desarrollada originalmente por René Thom para variedades suaves (es decir, diferenciables), pero ahora también hay versiones para variedades topológicas y lineales por partes .

Un cobordismo entre variedades M y N es una variedad compacta W cuyo límite es la unión disjunta de M y N ,. ${\displaystyle \partial W=M\sqcup N}$

Los cobordismos se estudian tanto por la relación de equivalencia que generan como como objetos por derecho propio. El cobordismo es una relación de equivalencia mucho más burda que el difeomorfismo o el homeomorfismo de variedades, y es mucho más fácil de estudiar y calcular. No es posible clasificar variedades hasta difeomorfismo u homeomorfismo en dimensiones ≥ 4, porque el problema verbal para grupos no se puede resolver, pero sí es posible clasificar variedades hasta cobordismo. Los cobordismos son objetos centrales de estudio en topología geométrica y topología algebraica . En topología geométrica, los cobordismos están íntimamente relacionados con la teoría de Morse , y los h -cobordismos son fundamentales en el estudio de variedades de alta dimensión, es decir, la teoría de la cirugía . En topología algebraica, las teorías de cobordismo son teorías de cohomología extraordinarias fundamentales , y las categorías de cobordismos son los dominios de las teorías topológicas de campos cuánticos .

Definición

Colectores

En términos generales, una variedad M de n dimensiones es un espacio topológico localmente (es decir, cerca de cada punto) homeomorfo a un subconjunto abierto del espacio euclidiano. Una variedad con límite es similar, excepto que a un punto de M se le permite tener una vecindad que es homeomorfo a un subconjunto abierto del semiespacio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{n}\geqslant 0\}.}$

Aquellos puntos sin una vecindad homeomorfa a un subconjunto abierto del espacio euclidiano son los puntos límite de ; el límite de se denota por . Finalmente, una variedad cerrada es, por definición, una variedad compacta sin límite ( .) ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle \partial M=\emptyset }$

Cobordismos

Un cobordismo -dimensional es un quíntuple que consta de una variedad diferenciable compacta -dimensional con límite ,; colectores cerrados , ; e incrustaciones , con imágenes inconexas tales que ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle (W;M,N,i,j)}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i\colon M\hookrightarrow \partial W}$ ${\displaystyle j\colon N\hookrightarrow \partial W}$

${\displaystyle \partial W=i(M)\sqcup j(N)~.}$

La terminología suele abreviarse como . ^[1] M y N se denominan cobordantes si tal cobordismo existe. Todas las variedades cobordantes a una variedad fija dada M forman la clase de cobordismo de  M . ${\displaystyle (W;M,N)}$

Cada variedad cerrada M es el límite de la variedad no compacta M  × [0, 1); por esta razón requerimos que W sea compacto en la definición de cobordismo. Sin embargo, tenga en cuenta que no es necesario que W esté conectado; como consecuencia, si M  = ∂ W ₁ y N  = ∂ W ₂ , entonces M y N son cobordantes.

Ejemplos

El ejemplo más simple de cobordismo es el intervalo unitario I = [0, 1] . Es un cobordismo unidimensional entre las variedades de 0 dimensiones {0}, {1}. De manera más general, para cualquier variedad cerrada M , ( M × I ; M × {0} , M × {1} ) es un cobordismo de M × {0} a M × {1}.

Un cobordismo entre un solo círculo (en la parte superior) y un par de círculos separados (en la parte inferior).

Si M consta de un círculo y N de dos círculos, M y N juntos forman el límite de un par de pantalones W (consulte la figura de la derecha). Así el par de pantalones es un cobordismo entre M y N. Un cobordismo más simple entre M y N viene dado por la unión disjunta de tres discos.

El par de pantalones es un ejemplo de un cobordismo más general: para dos variedades n -dimensionales cualesquiera M , M ′, la unión disjunta es cobordante de la suma conexa . El ejemplo anterior es un caso particular, ya que la suma conexa es isomorfa a The La suma conectada se obtiene de la unión disjunta mediante cirugía al incrustar en , y el cobordismo es el rastro de la cirugía. ${\displaystyle M\sqcup M'}$ ${\displaystyle M\mathbin {\#} M'.}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\mathbin {\#} \mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}.}$ ${\displaystyle M\mathbin {\#} M'}$ ${\displaystyle M\sqcup M'}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{n}}$ ${\displaystyle M\sqcup M'}$

Terminología

Una n -variedad M se llama cobordante nula si hay un cobordismo entre M y la variedad vacía; en otras palabras, si M es el límite completo de alguna variedad ( n  + 1). Por ejemplo, el círculo es cobordante nulo ya que limita un disco. De manera más general, una n -esfera es cobordante nula ya que limita un ( n  + 1) -disco. Además, toda superficie orientable es cobordante nula, porque es el límite de un cuerpo de mango . Por otro lado, el espacio proyectivo real de 2 n dimensiones es una variedad cerrada (compacta) que no es el límite de una variedad, como se explica a continuación. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2n}(\mathbb {R} )}$

El problema general del bordismo consiste en calcular las clases de cobordismo de variedades sujetas a diversas condiciones.

Los cobordismos nulos con estructura adicional se denominan empastes . Algunos autores utilizan indistintamente el bordismo y el cobordismo ; otros los distinguen. Cuando se desea distinguir el estudio de las clases de cobordismos del estudio de los cobordismos como objetos por derecho propio, se llama a la cuestión de equivalencia bordismo de variedades , y al estudio de los cobordismos como objetos, cobordismos de variedades . ^{[ cita necesaria ]}

El término bordismo proviene del francés bord , que significa frontera. Por tanto, el bordismo es el estudio de las fronteras. Cobordismo significa "unidos conjuntamente", por lo que M y N son cobordantes si unen conjuntamente una variedad; es decir, si su unión disjunta es una frontera. Además, los grupos de cobordismo forman una teoría de cohomología extraordinaria , de ahí la co-.

Variantes

Lo anterior es la forma más básica de la definición. También se le conoce como bordismo no orientado. En muchas situaciones, las variedades en cuestión están orientadas o llevan alguna otra estructura adicional denominada estructura G. Esto da lugar al "cobordismo orientado" y al "cobordismo con estructura G", respectivamente. En condiciones técnicas favorables estos forman un anillo graduado llamado anillo de cobordismo , con graduación por dimensión, suma por unión disjunta y multiplicación por producto cartesiano . Los grupos de cobordismo son los grupos de coeficientes de una teoría de homología generalizada. ${\displaystyle \Omega _{*}^{G}}$ ${\displaystyle \Omega _{*}^{G}}$

Cuando hay una estructura adicional, la noción de cobordismo debe formularse con mayor precisión: una estructura G en W se restringe a una estructura G en M y N. Los ejemplos básicos son G = O para cobordismo no orientado, G = SO para cobordismo orientado y G = U para cobordismo complejo que utiliza variedades complejas estables . Robert E. Stong detalla muchos más . ^[2]

De manera similar, una herramienta estándar en la teoría de la cirugía es la cirugía en mapas normales : tal proceso cambia un mapa normal a otro mapa normal dentro de la misma clase de bordismo .

En lugar de considerar una estructura adicional, también es posible tener en cuenta varias nociones de variedad, especialmente variedades lineales por partes (PL) y topológicas . Esto da lugar a grupos de bordismo , que son más difíciles de calcular que las variantes diferenciables. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \Omega _{*}^{PL}(X),\Omega _{*}^{TOP}(X)}$

Construcción de cirugía

Recuerde que, en general, si X , Y son variedades con límite, entonces el límite de la variedad producto es ∂( X × Y ) = (∂ X × Y ) ∪ ( X × ∂ Y ) .

Ahora, dada una variedad M de dimensión n = p + q y una incrustación , defina la n -variedad ${\displaystyle \varphi :\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\subset M,}$

${\displaystyle N:=(M-\operatorname {int~im} \varphi )\cup _{\varphi |_{\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {S} ^{q-1}}}\left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\right)}$

obtenido mediante cirugía , cortando el interior y pegando a lo largo de sus límites ${\displaystyle \mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}}$

${\displaystyle \partial \left(\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\right)=\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {S} ^{q-1}=\partial \left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\right).}$

La huella de la cirugía

${\displaystyle W:=(M\times I)\cup _{\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\times \{1\}}\left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {D} ^{q}\right)}$

define un cobordismo elemental ( W ; M , N ). Tenga en cuenta que M se obtiene de N mediante cirugía. A esto se le llama revertir la cirugía . ${\displaystyle \mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\subset N.}$

Todo cobordismo es una unión de cobordismos elementales, por el trabajo de Marston Morse , René Thom y John Milnor .

Ejemplos

Figura 1

Según la definición anterior, una cirugía en el círculo consiste en recortar una copia y pegarla . Las imágenes de la Fig. 1 muestran que el resultado de hacer esto es (i) otra vez, o (ii) dos copias de ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {S} ^{0}.}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$

Figura 2a

Figura 2b

Para la cirugía de 2 esferas, hay más posibilidades, ya que podemos empezar cortando cualquiera de las dos esferas . ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}.}$

1. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}}$: Si quitamos un cilindro de las 2 esferas, nos quedan dos discos. Tenemos que volver a pegarlos , es decir, dos discos, y está claro que el resultado de hacerlo es darnos dos esferas separadas. (Figura 2a) ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}}$

2. 

   Figura 2c. Esta forma no se puede incrustar en 3 espacios.

   ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}}$: Después de cortar dos discos, los pegamos nuevamente en el cilindro. Hay dos resultados posibles, dependiendo de si nuestros mapas de pegado tienen la misma orientación o la orientación opuesta en los dos círculos delimitadores. Si las orientaciones son iguales (Fig. 2b), la variedad resultante es el toro pero si son diferentes, obtenemos la botella de Klein (Fig. 2c). ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2},}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}.}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$

funciones morse

Supongamos que f es una función Morse en una variedad ( n  + 1)-dimensional, y supongamos que c es un valor crítico con exactamente un punto crítico en su preimagen. Si el índice de este punto crítico es p  + 1, entonces el conjunto de niveles N  := f ⁻¹ ( c  + ε) se obtiene a partir de M  := f ⁻¹ ( c  − ε) mediante una p -cirugía. La imagen inversa W  := f ⁻¹ ([ c  − ε, c  + ε]) define un cobordismo ( W ; M , N ) que puede identificarse con la huella de esta cirugía.

Geometría y la conexión con la teoría Morse y los manillares.

Dado un cobordismo ( W ; M , N ) existe una función suave f  : W → [0, 1] tal que f ⁻¹ (0) = M , f ⁻¹ (1) = N . Por posición general, se puede suponer que f es Morse y que todos los puntos críticos ocurren en el interior de W. En este contexto, f se denomina función Morse en un cobordismo. El cobordismo ( W ; M , N ) es una unión de las trazas de una secuencia de cirugías sobre M , una por cada punto crítico de f . El colector W se obtiene de M × [0, 1] colocando un mango para cada punto crítico de f .

El cobordismo tridimensional entre la 2 esfera y el 2 toro con N obtenido de M mediante cirugía y W obtenido de M × I colocando un mango de 1 ${\displaystyle W=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{2}-\mathbb {D} ^{3}}$ ${\displaystyle M=\mathbb {S} ^{2}}$ ${\displaystyle N=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1},}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}\subset M,}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {D} ^{2}.}$

El teorema de Morse/Smale establece que para una función Morse en un cobordismo, las líneas de flujo de f ′ dan lugar a una presentación de manija del triple ( W ; M , N ). Por el contrario, dada la descomposición de un cobordismo, proviene de una función Morse adecuada. En un entorno adecuadamente normalizado, este proceso proporciona una correspondencia entre las descomposiciones de mangos y las funciones Morse en un cobordismo.

Historia

El cobordismo tuvo sus raíces en el (fallido) intento de Henri Poincaré en 1895 de definir la homología puramente en términos de variedades (Dieudonné 1989, p. 289). Poincaré definió simultáneamente tanto la homología como el cobordismo, que no son lo mismo, en general. Vea el cobordismo como una extraordinaria teoría de cohomología para la relación entre bordismo y homología.

El bordismo fue introducido explícitamente por Lev Pontryagin en su trabajo geométrico sobre variedades. Cobró prominencia cuando René Thom demostró que los grupos de cobordismo podían calcularse mediante la teoría de la homotopía , a través de la construcción compleja de Thom . La teoría del cobordismo pasó a formar parte del aparato de la teoría de la cohomología extraordinaria , junto con la teoría K. Desempeñó un papel importante, históricamente hablando, en los desarrollos de la topología en los años 1950 y principios de los 1960, en particular en el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y en las primeras demostraciones del teorema del índice Atiyah-Singer .

En la década de 1980, la categoría con variedades compactas como objetos y cobordismos entre ellas como morfismos jugó un papel básico en los axiomas de Atiyah-Segal para la teoría cuántica topológica de campos , que es una parte importante de la topología cuántica .

Aspectos categóricos

Los cobordismos son objetos de estudio por derecho propio, aparte de las clases de cobordismo. Los cobordismos forman una categoría cuyos objetos son variedades cerradas y cuyos morfismos son cobordismos. En términos generales, la composición se obtiene pegando cobordismos de extremo a extremo: la composición de ( W ; M , N ) y ( W  ′; N , P ) se define pegando el extremo derecho del primero al extremo izquierdo de el segundo, dando ( W  ′ ∪ _N W ; M , P ). Un cobordismo es una especie de cospan : ^[3] M → W ← N . La categoría es una categoría compacta de daga .

Una teoría de campos cuánticos topológicos es un functor monoidal de una categoría de cobordismos a una categoría de espacios vectoriales . Es decir, es un funtor cuyo valor en una unión disjunta de variedades es equivalente al producto tensorial de sus valores en cada una de las variedades constituyentes.

En dimensiones bajas, la cuestión del bordismo es relativamente trivial, pero la categoría de cobordismo no lo es. Por ejemplo, el disco que delimita el círculo corresponde a una operación nula (0-aria), mientras que el cilindro corresponde a una operación 1-aria y el par de pantalones a una operación binaria.

Cobordismo no orientado

El conjunto de clases de cobordismo de variedades n -dimensionales cerradas y no orientadas generalmente se denota por (en lugar del más sistemático ); es un grupo abeliano con la unión disjunta como operación. Más específicamente, si [ M ] y [ N ] denotan las clases de cobordismo de las variedades M y N respectivamente, definimos ; esta es una operación bien definida que se convierte en un grupo abeliano. El elemento de identidad de este grupo es la clase que consta de todas las n -variedades cerradas que son fronteras. Además tenemos para cada M desde . Por lo tanto, es un espacio vectorial encima del campo con dos elementos . El producto cartesiano de variedades define una multiplicación de modo que ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{n}}$ ${\displaystyle \Omega _{n}^{\text{O}}}$ ${\displaystyle [M]+[N]=[M\sqcup N]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{n}}$ ${\displaystyle [\emptyset ]}$ ${\displaystyle [M]+[M]=[\emptyset ]}$ ${\displaystyle M\sqcup M=\partial (M\times [0,1])}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ ${\displaystyle [M][N]=[M\times N],}$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{*}=\bigoplus _{n\geqslant 0}{\mathfrak {N}}_{n}}$

es un álgebra graduada , con la calificación dada por la dimensión.

La clase de cobordismo de una variedad cerrada de n dimensiones M no orientada está determinada por los números característicos de Stiefel-Whitney de M , que dependen de la clase de isomorfismo estable del paquete tangente . Por lo tanto, si M tiene un paquete tangente estable y trivial, entonces . En 1954 René Thom demostró ${\displaystyle [M]\in {\mathfrak {N}}_{n}}$ ${\displaystyle [M]=0\in {\mathfrak {N}}_{n}}$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{*}=\mathbb {F} _{2}\left[x_{i}|i\geqslant 1,i\neq 2^{j}-1\right]}$

el álgebra polinomial con un generador en cada dimensión . Por lo tanto, dos variedades cerradas no orientadas de n dimensiones M , N son cobordantes, si y sólo si para cada colección de k -tuplas de números enteros tales que los números de Stiefel-Whitney sean iguales ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i\neq 2^{j}-1}$ ${\displaystyle [M]=[N]\in {\mathfrak {N}}_{n},}$ ${\displaystyle \left(i_{1},\cdots ,i_{k}\right)}$ ${\displaystyle i\geqslant 1,i\neq 2^{j}-1}$ ${\displaystyle i_{1}+\cdots +i_{k}=n}$

${\displaystyle \left\langle w_{i_{1}}(M)\cdots w_{i_{k}}(M),[M]\right\rangle =\left\langle w_{i_{1}}(N)\cdots w_{i_{k}}(N),[N]\right\rangle \in \mathbb {F} _{2}}$

con la i -ésima clase de Stiefel-Whitney y la clase fundamental de coeficiente . ${\displaystyle w_{i}(M)\in H^{i}\left(M;\mathbb {F} _{2}\right)}$ ${\displaystyle [M]\in H_{n}\left(M;\mathbb {F} _{2}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$

Porque incluso i es posible elegir la clase de cobordismo del espacio proyectivo real i -dimensional . ${\displaystyle x_{i}=\left[\mathbb {P} ^{i}(\mathbb {R} )\right]}$

Los grupos de cobordismo no orientados de baja dimensión son

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{0}&=\mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{1}&=0,\\{\mathfrak {N}}_{2}&=\mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{3}&=0,\\{\mathfrak {N}}_{4}&=\mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{5}&=\mathbb {Z} /2.\end{aligned}}}$

Esto muestra, por ejemplo, que cada variedad cerrada tridimensional es el límite de una variedad 4 (con límite).

La característica de Euler módulo 2 de una variedad no orientada M es una invariante de cobordismo no orientado. Esto está implícito en la ecuación ${\displaystyle \chi (M)\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \chi _{\partial W}=\left(1-(-1)^{\dim W}\right)\chi _{W}}$

para cualquier variedad compacta con límite . ${\displaystyle W}$

Por tanto, es un homomorfismo de grupo bien definido. Por ejemplo, para cualquier ${\displaystyle \chi :{\mathfrak {N}}_{i}\to \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \chi \left(\mathbb {P} ^{2i_{1}}(\mathbb {R} )\times \cdots \times \mathbb {P} ^{2i_{k}}(\mathbb {R} )\right)=1.}$

En particular, tal producto de espacios proyectivos reales no es nulo-cobordante. El mapa característico de Euler mod 2 es para todos y un isomorfismo de grupo para ${\displaystyle \chi :{\mathfrak {N}}_{2i}\to \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle i=1.}$

Además, debido a , estos homomorfismos de grupo se ensamblan en un homomorfismo de álgebras graduadas: ${\displaystyle \chi (M\times N)=\chi (M)\chi (N)}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathfrak {N}}\to \mathbb {F} _{2}[x]\\[][M]\mapsto \chi (M)x^{\dim(M)}\end{cases}}}$

Cobordismo de variedades con estructura adicional.

El cobordismo también se puede definir para variedades que tienen una estructura adicional, en particular una orientación. Esto se formaliza de manera general utilizando la noción de estructura X (o estructura G ). ^[4] Muy brevemente, el paquete normal ν de una inmersión de M en un espacio euclidiano de dimensiones suficientemente altas da lugar a un mapa de M al Grassmanniano , que a su vez es un subespacio del espacio de clasificación del grupo ortogonal : ν : M → Gr ( n , n  +  k ) → BO ( k ). Dada una colección de espacios y aplicaciones X _k → X _{k +1} con aplicaciones X _k → BO ( k ) (compatibles con las inclusiones BO ( k ) → BO ( k +1), una estructura X es una elevación de ν a un mapa . Considerar sólo variedades y cobordismos con estructura X da lugar a una noción más general de cobordismo. En particular, X _k puede estar dado por BG ( k ), donde G ( k ) → O ( k ) es algún homomorfismo de grupo. Esto se conoce como estructura G. Los ejemplos incluyen G = O , el grupo ortogonal, que devuelve el cobordismo no orientado, pero también el subgrupo SO( k ) , que da lugar al cobordismo orientado , el grupo de espín , el grupo unitario U ( k ) , y el grupo trivial, dando lugar al cobordismo enmarcado. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k}}$ ${\displaystyle {\tilde {\nu }}:M\to X_{k}}$

Los grupos de cobordismo resultantes se definen entonces de manera análoga al caso no orientado. Se denotan por . ${\displaystyle \Omega _{*}^{G}}$

Cobordismo orientado

El cobordismo orientado es el de variedades con estructura SO. De manera equivalente, todas las variedades deben estar orientadas y los cobordismos ( W , M , N ) (también denominados cobordismos orientados para mayor claridad) son tales que el límite (con las orientaciones inducidas) es , donde − N denota N con la orientación invertida. Por ejemplo, el límite del cilindro M  ×  I es : ambos extremos tienen orientaciones opuestas. También es la definición correcta en el sentido de una teoría de cohomología extraordinaria . ${\displaystyle M\sqcup (-N)}$ ${\displaystyle M\sqcup (-M)}$

A diferencia del grupo de cobordismo no orientado, donde cada elemento tiene dos torsiones, 2 M no es en general un límite orientado, es decir, 2[ M ] ≠ 0 cuando se considera en ${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}.}$

Los grupos de cobordismo orientado reciben torsión de módulo mediante

${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}\otimes \mathbb {Q} =\mathbb {Q} \left[y_{4i}\mid i\geqslant 1\right],}$

el álgebra polinomial generada por las clases de cobordismo orientado

${\displaystyle y_{4i}=\left[\mathbb {P} ^{2i}(\mathbb {C} )\right]\in \Omega _{4i}^{\text{SO}}}$

de los espacios proyectivos complejos (Thom, 1952). El grupo de cobordismo orientado está determinado por los números característicos de Stiefel-Whitney y Pontrjagin (Wall, 1960). Dos variedades orientadas están orientadas cobordantes si y sólo si sus números de Stiefel-Whitney y Pontrjagin son iguales. ${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}}$

Los grupos de cobordismo orientado de baja dimensión son:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{0}^{\text{SO}}&=\mathbb {Z} ,\\\Omega _{1}^{\text{SO}}&=0,\\\Omega _{2}^{\text{SO}}&=0,\\\Omega _{3}^{\text{SO}}&=0,\\\Omega _{4}^{\text{SO}}&=\mathbb {Z} ,\\\Omega _{5}^{\text{SO}}&=\mathbb {Z} _{2}.\end{aligned}}}$

La firma de una variedad M orientada de 4 i dimensiones se define como la firma de la forma de intersección en y se denota por Es un invariante de cobordismo orientado, que se expresa en términos de los números de Pontrjagin mediante el teorema de firma de Hirzebruch . ${\displaystyle H^{2i}(M)\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \sigma (M).}$

Por ejemplo, para cualquier i ₁ , ..., i _k ≥ 1

${\displaystyle \sigma \left(\mathbb {P} ^{2i_{1}}(\mathbb {C} )\times \cdots \times \mathbb {P} ^{2i_{k}}(\mathbb {C} )\right)=1.}$

El mapa de firma es para todo i ≥ 1 y un isomorfismo para i = 1. ${\displaystyle \sigma :\Omega _{4i}^{\text{SO}}\to \mathbb {Z} }$

El cobordismo como una extraordinaria teoría de la cohomología

Cada teoría de haces de vectores ( real , compleja, etc.) tiene una teoría de cohomología extraordinaria llamada teoría K. De manera similar, cada teoría de cobordismo Ω ^G tiene una teoría de cohomología extraordinaria , con grupos de homología ("bordismo") y grupos de cohomología ("cobordismo") para cualquier espacio X. Los grupos de homología generalizada son covariantes en X y los grupos de cohomología generalizada son contravariantes en X. Los grupos de cobordismo definidos anteriormente son, desde este punto de vista, los grupos de homología de un punto: . Entonces es el grupo de clases de bordismo de pares ( M , f ) con M una variedad cerrada de n dimensiones M (con estructura G) y f  : M → X un mapa. Tales pares ( M , f ), ( N , g ) son bordantes si existe un cobordismo G ( W ; M , N ) con un mapa h  : W → X , que se restringe a f en M y a g en N . ${\displaystyle \Omega _{n}^{G}(X)}$ ${\displaystyle \Omega _{G}^{n}(X)}$ ${\displaystyle \Omega _{*}^{G}(X)}$ ${\displaystyle \Omega _{G}^{*}(X)}$ ${\displaystyle \Omega _{n}^{G}=\Omega _{n}^{G}({\text{pt}})}$ ${\displaystyle \Omega _{n}^{G}(X)}$

Una variedad M de n dimensiones tiene una clase de homología fundamental [ M ] ∈ H _n ( M ) (con coeficientes en en general y en en el caso orientado), definiendo una transformación natural ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\begin{cases}\Omega _{n}^{G}(X)\to H_{n}(X)\\(M,f)\mapsto f_{*}[M]\end{cases}}}$

lo cual está lejos de ser un isomorfismo en general.

Las teorías del bordismo y cobordismo de un espacio satisfacen los axiomas de Eilenberg-Steenrod además del axioma de la dimensión. Esto no significa que los grupos puedan calcularse efectivamente una vez que se conoce la teoría del cobordismo de un punto y la homología del espacio X , aunque la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch proporciona un punto de partida para los cálculos. El cálculo sólo es fácil si la teoría del cobordismo particular se reduce a un producto de teorías de homología ordinarias, en cuyo caso los grupos de bordismo son los grupos de homología ordinarios. ${\displaystyle \Omega _{G}^{n}(X)}$

${\displaystyle \Omega _{n}^{G}(X)=\sum _{p+q=n}H_{p}(X;\Omega _{q}^{G}({\text{pt}})).}$

Esto es cierto para el cobordismo no orientado. Otras teorías del cobordismo no se reducen a la homología ordinaria de esta manera, en particular el cobordismo enmarcado , el cobordismo orientado y el cobordismo complejo . Esta última teoría en particular es muy utilizada por los topólogos algebraicos como herramienta computacional (por ejemplo, para los grupos homotópicos de esferas ). ^[5]

Las teorías del cobordismo están representadas por espectros de Thom MG : dado un grupo G , el espectro de Thom se compone de los espacios de Thom MG _n de los haces de vectores estándar sobre los espacios de clasificación BG _n . Tenga en cuenta que incluso para grupos similares, los espectros de Thom pueden ser muy diferentes: MSO y MO son muy diferentes, lo que refleja la diferencia entre cobordismo orientado y no orientado.

Desde el punto de vista de los espectros, el cobordismo no orientado es un producto de los espectros de Eilenberg-MacLane – MO = H ( π _∗ ( MO )) – mientras que el cobordismo orientado es un producto de los espectros de Eilenberg-MacLane racionalmente, y en 2, pero no en primos impares: el espectro de cobordismo orientado MSO es bastante más complicado que MO .

Otros resultados

En 1959, CTC Wall demostró que dos variedades son cobordantes si y sólo si sus números de Pontrjagin y Stiefel son iguales. ^[6]

Ver también

• h -cobordismo
• Concordancia de enlaces
• Lista de teorías de cohomología
• Relleno simpléctico
• Hipótesis del cobordismo
• Anillo de cobordismo
• Cronología del bordismo

Notas

1. La notación " -dimensional" es para aclarar la dimensión de todas las variedades en cuestión; de lo contrario, no está claro si un "cobordismo de 5 dimensiones" se refiere a un cobordismo de 5 dimensiones entre variedades de 4 dimensiones o un cobordismo de 6 dimensiones entre 5 -colectores dimensionales. ${\displaystyle (n+1)}$
2. Fuerte, Robert E. (1968). Apuntes sobre la teoría del cobordismo . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press .
3. Si bien cada cobordismo es un cospan, la categoría de cobordismos no es una "categoría de cobordismo": no es la categoría de todos los cospanes en "la categoría de variedades con inclusiones en el límite", sino más bien una subcategoría de las mismas, como requisito que M y N formen una partición del límite de W es una restricción global.
4. Switzer, Robert M. (2002), Topología algebraica: homotopía y homología , Clásicos de las matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42750-6, señor  1886843, capítulo 12
5. Ravenel, DC (abril de 1986). Cobordismo complejo y grupos de esferas de homotopía estable . Prensa académica. ISBN 0-12-583430-6.
6. Muro, CTC (1960). "Determinación del Anillo de Cobordismo". Anales de Matemáticas . 72 (2): 292–311. doi :10.2307/1970136. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970136.

Referencias

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enlaces externos

• Bordismo en el Atlas múltiple.
• B-Bordismo en el Atlas múltiple.