En matemáticas , una variedad lineal por partes ( variedad PL ) es una variedad topológica junto con una estructura lineal por partes . Una estructura de este tipo puede definirse mediante un atlas , de modo que en él se pueda pasar de un gráfico a otro mediante funciones lineales por partes . Esto es ligeramente más fuerte que la noción topológica de triangulación . [a] Un isomorfismo de variedades PL se llama homeomorfismo PL.
PL, o más precisamente PDIFF, se encuentra entre DIFF (la categoría de variedades suaves ) y TOP (la categoría de variedades topológicas): categóricamente se "comporta mejor" que DIFF; por ejemplo, la conjetura generalizada de Poincaré es cierta en PL (con la posible excepción de la dimensión 4, donde es equivalente a DIFF), pero generalmente es falso en DIFF, pero "se comporta peor" que TOP, como se explica en la teoría de la cirugía .
Las variedades suaves tienen estructuras PL canónicas (son excepcionalmente triangularizables, según el teorema de triangulación de Whitehead (Whitehead 1940) [1] [2] , pero las variedades PL no siempre tienen estructuras suaves (no siempre son suavizables). Esta relación se puede elaborar introduciendo la categoría PDIFF , que contiene tanto DIFF como PL, y es equivalente a PL.
Una forma en la que PL se comporta mejor que DIFF es que se pueden tomar conos en PL, pero no en DIFF; el punto del cono es aceptable en PL. Una consecuencia es que la conjetura generalizada de Poincaré es cierta en PL para dimensiones mayores que cuatro; la prueba es tomar una esfera de homotopía , quitar dos bolas, aplicar el teorema del cobordismo h para concluir que se trata de un cilindro y luego unir conos a Recuperar una esfera. Este último paso funciona en PL pero no en DIFF, dando lugar a esferas exóticas .
No todas las variedades topológicas admiten una estructura PL, y de aquellas que sí lo hacen, la estructura PL no necesita ser única: puede tener infinitas. Esto se elabora en la Hauptvermutung .
El obstáculo para colocar una estructura PL en una variedad topológica es la clase de Kirby-Siebenmann . Para ser precisos, la clase Kirby-Siebenmann es el obstáculo para colocar una estructura PL en M x R y en dimensiones n > 4, la clase KS desaparece si y sólo si M tiene al menos una estructura PL.
Una estructura A en una variedad PL es una estructura que proporciona una forma inductiva de resolver la variedad PL en una variedad suave. Los colectores PL compactos admiten estructuras en A. [3] [4] Las variedades PL compactas son homeomórficas con respecto a los conjuntos algebraicos reales . [5] [6] Dicho de otra manera, la categoría A se ubica sobre la categoría PL como una categoría más rica sin obstáculos para el levantamiento, es decir, BA → BPL es una fibración de producto con BA = BPL × PL/A, y variedades PL son conjuntos algebraicos reales porque las variedades A son conjuntos algebraicos reales.