h-cobordismo

Concepto en topología

En topología geométrica y topología diferencial , un cobordismo ( n  + 1)-dimensional W entre variedades n -dimensionales M y N es un h -cobordismo ( h significa equivalencia de homotopía ) si los mapas de inclusión

${\displaystyle M\hookrightarrow W\quad {\mbox{and}}\quad N\hookrightarrow W}$

son equivalencias de homotopía.

El teorema del h -cobordismo da condiciones suficientes para que un h -cobordismo sea trivial, es decir, que sea C -isomorfo al cilindro M × [0, 1]. Aquí C se refiere a cualquiera de las categorías de variedades suaves , lineales por partes o topológicas .

El teorema fue demostrado por primera vez por Stephen Smale, por lo que recibió la Medalla Fields y es un resultado fundamental en la teoría de variedades de alta dimensión. Para empezar, demuestra casi de inmediato la conjetura generalizada de Poincaré .

Fondo

Antes de que Smale demostrara este teorema, los matemáticos se quedaron estancados al tratar de comprender variedades de dimensión 3 o 4, y asumieron que los casos de dimensiones superiores eran aún más difíciles. El teorema del cobordismo h demostró que las variedades (simplemente conexas) de dimensión al menos 5 son mucho más fáciles que las de dimensión 3 o 4. La prueba del teorema depende del " truco de Whitney " de Hassler Whitney , que desenreda geométricamente los enredos homólogos. esferas de dimensión complementaria en una variedad de dimensión >4. Una razón informal por la que las variedades de dimensión 3 o 4 son inusualmente difíciles es que el truco no funciona en dimensiones más bajas, que no tienen espacio para enredarse.

Declaración precisa del teorema del h -cobordismo

Sea n al menos 5 y sea W un cobordismo h compacto ( n  + 1) dimensional entre M y N en la categoría C = Diff , PL o Top tal que W , M y N estén simplemente conectados . Entonces W es C -isomorfo a M × [0, 1]. Se puede elegir que el isomorfismo sea la identidad en M × {0}.

Esto significa que la equivalencia de homotopía entre M y N (o, entre M × [0, 1], W y N × [0, 1]) es homotópica a un C -isomorfismo.

Versiones de dimensiones inferiores

Para n = 4, el teorema del cobordismo h es verdadero topológicamente (probado por Michael Freedman usando un truco de Whitney de 4 dimensiones), pero es falso PL y sin problemas (como lo muestra Simon Donaldson ).

Para n = 3, el teorema del cobordismo h para variedades suaves no se ha demostrado y, debido a la conjetura de Poincaré tridimensional , es equivalente a la difícil pregunta abierta de si las 4 esferas tienen estructuras suaves no estándar .

Para n = 2, el teorema del cobordismo h es equivalente a la conjetura de Poincaré planteada por Poincaré en 1904 (uno de los Problemas del Milenio ^[1] ) y fue demostrada por Grigori Perelman en una serie de tres artículos en 2002 y 2003, ^{[2 ] [3] [4]} donde sigue el programa de Richard S. Hamilton utilizando el flujo de Ricci .

Para n = 1, el h -teorema del cobordismo es vacuamente cierto, ya que no existe una variedad unidimensional cerrada, simplemente conexa.

Para n = 0, el h -teorema del cobordismo es trivialmente cierto: el intervalo es el único cobordismo conectado entre variedades 0 conectadas.

Un boceto de prueba

Una función Morse induce una descomposición del identificador de W , es decir, si hay un único punto crítico de índice k en , entonces el cobordismo ascendente se obtiene adjuntando un identificador k . El objetivo de la prueba es encontrar una descomposición de identificadores sin ningún identificador de modo que la integración del campo vectorial gradiente distinto de cero de f dé el difeomorfismo deseado al cobordismo trivial. ${\displaystyle f:W\to [a,b]}$ ${\displaystyle f^{-1}([c,c'])}$ ${\displaystyle W_{c'}}$ ${\displaystyle W_{c}}$

Esto se consigue mediante una serie de técnicas.

1) Manejar la reorganización

Primero, queremos reorganizar todos los identificadores por orden, de modo que los identificadores de orden inferior se coloquen primero. Entonces, la pregunta es ¿cuándo podemos deslizar un mango i fuera de un mango j ? Esto se puede hacer mediante una isotopía radial siempre que la esfera de unión i y la esfera del cinturón j no se crucen. Por tanto queremos lo que es equivalente a . ${\displaystyle (i-1)+(n-j)\leq \dim \partial W-1=n-1}$ ${\displaystyle i\leq j}$

Luego definimos el complejo de cadena de manijas dejando que sea el grupo abeliano libre en las k manijas y definimos enviando una k manija a , donde está el número de intersección de la k esfera de unión y la esfera del cinturón ( k  − 1) . ${\displaystyle (C_{*},\partial _{*})}$ ${\displaystyle C_{k}}$ ${\displaystyle \partial _{k}:C_{k}\to C_{k-1}}$ ${\displaystyle h_{\alpha }^{k}}$ ${\displaystyle \sum _{\beta }\langle h_{\alpha }^{k}\mid h_{\beta }^{k-1}\rangle h_{\beta }^{k-1}}$ ${\displaystyle \langle h_{\alpha }^{k}\mid h_{\beta }^{k-1}\rangle }$

2) Manejar la cancelación

A continuación, queremos "cancelar" los identificadores. La idea es que colocar un mango k podría crear un agujero que se puede llenar colocando un mango ( k  + 1) . Esto implicaría eso y por eso la entrada en la matriz de sería . Sin embargo, ¿cuándo es suficiente esta condición? Es decir, ¿cuándo podremos cancelar los identificadores geométricamente si esta condición es verdadera? La respuesta está en analizar detenidamente cuándo el colector queda simplemente conectado después de retirar las esferas de fijación y de correa en cuestión, y encontrar un disco incrustado mediante el truco de Whitney . Este análisis lleva al requisito de que n debe ser al menos 5. Además, durante la prueba se requiere que el cobordismo no tenga identificadores 0-, 1-, n - o ( n  + 1), lo cual se obtiene mediante la siguiente técnica. . ${\displaystyle h_{\alpha }^{k}}$ ${\displaystyle h_{\beta }^{k+1}}$ ${\displaystyle \partial _{k+1}h_{\beta }^{k+1}=\pm h_{\alpha }^{k}}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \partial _{k+1}}$ ${\displaystyle \pm 1}$

3) Manejar el comercio

La idea del intercambio de manijas es crear un par de cancelación de manijas ( k  + 1) y ( k  + 2) de modo que una manija k determinada se cancele con la manija ( k  + 1) dejando atrás la manija ( k  + 2). )-manejar. Para hacer esto, considere el núcleo del k -handle que es un elemento en . Este grupo es trivial ya que W es un h -cobordismo. Por lo tanto, hay un disco que podemos engordar hasta convertirlo en un par de cancelación si lo deseamos, siempre que podamos incrustar este disco en el límite de W. Esta incrustación existe si . Dado que asumimos que n es al menos 5, esto significa que k es 0 o 1. Finalmente, al considerar el negativo de la función Morse dada, − f , podemos invertir la descomposición del mango y también eliminar n - y ( n  + 1)-se maneja como se desee. ${\displaystyle \pi _{k}(W,M)}$ ${\displaystyle D^{k+1}}$ ${\displaystyle \dim \partial W-1=n-1\geq 2(k+1)}$

4) Manija deslizante

Finalmente, queremos asegurarnos de que realizar operaciones de filas y columnas corresponda a una operación geométrica. De hecho, no es difícil demostrar (lo mejor es hacer un dibujo) que deslizar un controlador k sobre otro controlador k reemplaza por en la base de . ${\displaystyle \partial _{k}}$ ${\displaystyle h_{\alpha }^{k}}$ ${\displaystyle h_{\beta }^{k}}$ ${\displaystyle h_{\alpha }^{k}}$ ${\displaystyle h_{\alpha }^{k}\pm h_{\beta }^{k}}$ ${\displaystyle C_{k}}$

La demostración del teorema es la siguiente: el complejo de cadena de mango es exacto desde . Por lo tanto , ya que son gratuitos. Entonces , que es una matriz entera, se restringe a un morfismo invertible que, por lo tanto, puede diagonalizarse mediante operaciones de fila elementales (deslizamiento del mango) y debe tener solo en la diagonal porque es invertible. Por lo tanto, todos los identificadores están emparejados con otro identificador de cancelación, lo que produce una descomposición sin identificadores. ${\displaystyle H_{*}(W,M;\mathbb {Z} )=0}$ ${\displaystyle C_{k}\cong \operatorname {coker} \partial _{k+1}\oplus \operatorname {im} \partial _{k+1}}$ ${\displaystyle C_{k}}$ ${\displaystyle \partial _{k}}$ ${\displaystyle \pm 1}$

El teorema del s -cobordismo

Si se descarta el supuesto de que M y N están simplemente conectados, los h -cobordismos no necesitan ser cilindros; la obstrucción es exactamente la torsión de Whitehead τ ( W , M ) de la inclusión . ${\displaystyle M\hookrightarrow W}$

Precisamente, el teorema del cobordismo s (la s significa equivalencia de homotopía simple ), demostrado independientemente por Barry Mazur , John Stallings y Dennis Barden , establece (supuestos como los anteriores pero donde M y N no necesitan estar simplemente conectados):

Un h -cobordismo es un cilindro si y sólo si la torsión de Whitehead τ ( W , M ) desaparece.

La torsión desaparece si y sólo si la inclusión no es solo una equivalencia de homotopía, sino una equivalencia de homotopía simple . ${\displaystyle M\hookrightarrow W}$

Tenga en cuenta que no es necesario suponer que la otra inclusión es también una equivalencia de homotopía simple, que se desprende del teorema. ${\displaystyle N\hookrightarrow W}$

Categóricamente, los h -cobordismos forman un grupoide .

Entonces, una formulación más precisa del teorema del s -cobordismo es que las clases de isomorfismo de este grupoide (hasta C -isomorfismo de h -cobordismos) son torsores para los respectivos ^[5] grupos de Whitehead Wh(π), donde ${\displaystyle \pi \cong \pi _{1}(M)\cong \pi _{1}(W)\cong \pi _{1}(N).}$

Ver también

• Semi -s -cobordismo

Notas

1. "Problemas del Milenio | Instituto de Matemáticas Clay". www.claymath.org . Consultado el 30 de marzo de 2016 .
2. Perelman, Grisha (11 de noviembre de 2002). "La fórmula de entropía para el flujo de Ricci y sus aplicaciones geométricas". arXiv : matemáticas/0211159 .
3. Perelman, Grisha (10 de marzo de 2003). "Ricci fluye con cirugía en tres colectores". arXiv : matemáticas/0303109 .
4. Perelman, Grisha (17 de julio de 2003). "Tiempo de extinción finito para las soluciones del flujo de Ricci en ciertas tres variedades". arXiv : matemáticas/0307245 .
5. Tenga en cuenta que identificar los grupos de Whitehead de las distintas variedades requiere elegir puntos base y una ruta en W que los conecte. ${\displaystyle m\in M,n\in N}$

Referencias

• Freedman, Michael H ; Quinn, Frank (1990). Topología de 4 variedades . Serie Matemática de Princeton. vol. 39. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-08577-3.(Esto cumple el teorema de las 4 variedades topológicas).
• Milnor, John , Lectures on the h-cobordism teorem , notas de L. Siebenmann y J. Sondow, Princeton University Press , Princeton, Nueva Jersey, 1965. v+116 pp. Esto proporciona la prueba de variedades suaves.
• Rourke, Colin Patrick; Sanderson, Brian Joseph, Introducción a la topología lineal por partes , Springer Study Edition, Springer-Verlag , Berlín-Nueva York, 1982. ISBN 3-540-11102-6 . Esto prueba el teorema de las variedades PL. 
• S. Smale, "Sobre la estructura de las variedades" Amer. J. Math., 84 (1962) págs. 387–399
• Rudyak, Yu.B. (2001) [1994], "h-cobordismo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press