invariante normal

Concepto en topología geométrica.

En matemáticas, un mapa normal es un concepto de topología geométrica debido a William Browder que tiene una importancia fundamental en la teoría de la cirugía . Dado un complejo de Poincaré X (más geométricamente un espacio de Poincaré ), un mapa normal en X dota al espacio, en términos generales, con algo de la estructura global teórica de homotopía de una variedad cerrada. En particular, X tiene un buen candidato para un paquete normal estable y un mapa de colapso de Thom , lo que equivale a que haya un mapa de una variedad M a X que coincida con las clases fundamentales y preserve la información del paquete normal. Si la dimensión de X es 5, entonces solo existe la obstrucción de la cirugía de topología algebraica debido a que CTC Wall to X en realidad es homotópicamente equivalente a una variedad cerrada. Los mapas normales también se aplican al estudio de la unicidad de estructuras múltiples dentro de un tipo de homotopía, en el que fue pionero Sergei Novikov . ${\displaystyle \geq }$

Las clases de cobordismo de mapas normales en X se denominan invariantes normales . Dependiendo de la categoría de variedades (diferenciables, lineales por partes o topológicas), existen conceptos de mapas normales e invariantes normales definidos de manera similar, pero no equivalentes.

Es posible realizar cirugía en mapas normales, es decir, cirugía en el dominio múltiple y preservar el mapa. La cirugía en mapas normales permite eliminar sistemáticamente elementos en los grupos de homotopía relativa representándolos como incrustaciones con paquetes normales triviales .

Definición

Hay dos definiciones equivalentes de aplicaciones normales, dependiendo de si se utilizan paquetes normales o paquetes tangentes de variedades. Por lo tanto, es posible cambiar entre las definiciones, lo que resulta bastante conveniente.

1. Dado un complejo de Poincaré X (es decir, un complejo CW cuyo complejo de cadena celular satisface la dualidad de Poincaré ) de dimensión formal , un mapa normal en X consta de ${\displaystyle n}$

• un mapa de alguna variedad cerrada de n dimensiones M , ${\displaystyle f\colon M\to X}$
• un paquete sobre X , y un mapa estable del paquete normal estable de a , y ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \nu _{M}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \xi }$
• normalmente se supone que el mapa normal es de grado uno . Eso significa que la clase fundamental de debe asignarse a la clase fundamental de : . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{*}([M])=[X]\in H_{n}(X)}$

2. Dado un complejo de Poincaré (es decir, un complejo CW cuyo complejo de cadena celular satisface la dualidad de Poincaré ) de dimensión formal , un mapa normal en (con respecto al paquete tangente) consta de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

• un mapa de alguna variedad de dimensión cerrada , ${\displaystyle f\colon M\to X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$
• un paquete sobre , y un mapa estable desde el paquete tangente estable de a , y ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{M}\oplus \varepsilon ^{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \xi }$
• De manera similar a lo anterior, se requiere que la clase fundamental de se asigne a la clase fundamental de : . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{*}([M])=[X]\in H_{n}(X)}$

Dos mapas normales son equivalentes si existe un bordismo normal entre ellos.

Papel en la teoría de la cirugía.

Cirugía en mapas versus cirugía en mapas normales

Considere la pregunta:

¿Es el complejo de Poincaré X de dimensión formal n homotópica equivalente a una variedad cerrada n ?

Un enfoque quirúrgico ingenuo para esta pregunta sería: comenzar con algún mapa de alguna variedad e intentar operarlo para obtener una equivalencia de homotopía. Observe lo siguiente: dado que nuestro mapa inicial se eligió arbitrariamente y la cirugía siempre produce mapas cobordantes, este procedimiento debe realizarse (en el peor de los casos) para todas las clases de mapas de cobordismo . Este tipo de teoría del cobordismo es una teoría de homología cuyos coeficientes han sido calculados por Thom : por lo tanto, las clases de cobordismo de tales mapas son computables al menos en teoría para todos los espacios . ${\displaystyle M\to X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\to X}$ ${\displaystyle X}$

Sin embargo, resulta que es muy difícil decidir si es posible hacer una equivalencia de homotopía a partir del mapa mediante cirugía, mientras que la misma pregunta es mucho más fácil cuando el mapa viene con la estructura adicional de un mapa normal. Por lo tanto, en el enfoque de cirugía clásica para nuestra pregunta, se comienza con un mapa normal (supongamos que existe alguno) y se realiza una cirugía sobre él. Esto tiene varias ventajas: ${\displaystyle f\colon M\to X}$

• El hecho de que el mapa sea de grado uno implica que la homología de se divide como una suma directa de la homología de y el llamado núcleo de cirugía , es decir . (Aquí suponemos que eso induce un isomorfismo de grupos fundamentales y usa homología con coeficientes locales en ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{*}(M)=ker(f_{*}\colon H_{*}(M)\to H_{*}(X))}$ ${\displaystyle H_{*}(M)=K_{*}(M)\oplus H_{*}(X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z[\pi _{1}(X)]}$

Según el teorema de Whitehead , el mapa es una equivalencia de homotopía si y sólo si el núcleo de cirugía es cero. ${\displaystyle f}$

• Los datos del paquete implican lo siguiente: supongamos que un elemento (el grupo de homotopía relativa de ) puede representarse mediante una incrustación (o más generalmente una inmersión ) con una homotopía nula de . Entonces puede representarse mediante una incrustación (o inmersión) cuyo paquete normal es establemente trivial. Esta observación es importante ya que la cirugía sólo es posible en incrustaciones con un haz normal trivial. Por ejemplo, si es menos de la mitad de la dimensión de , cada aplicación es homotópica a una incrustación por un teorema de Whitney . Por otro lado, cada paquete normal establemente trivial de tal incorporación es automáticamente trivial, ya que para . Por lo tanto, la cirugía en mapas normales siempre se puede realizar por debajo de la dimensión media. Esto no es cierto para mapas arbitrarios. ${\displaystyle \alpha \in \pi _{p+1}(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi :S^{p}\to M}$ ${\displaystyle f\circ \phi :S^{p}\to X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{p}\to X}$ ${\displaystyle \pi _{p}(BO,BO_{k})=0}$ ${\displaystyle k>p}$

Observe que este nuevo enfoque hace necesario clasificar las clases de bordismo de mapas normales, que son las invariantes normales. A diferencia de las clases de mapas de cobordismo, los invariantes normales son una teoría de cohomología . Sus coeficientes son conocidos en el caso de variedades topológicas. Para el caso de variedades suaves, los coeficientes de la teoría son mucho más complicados.

Invariantes normales versus conjunto de estructuras

Hay dos razones por las que es importante estudiar el conjunto . Recordemos que el objetivo principal de la teoría de la cirugía es responder a las preguntas: ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$

1. Dado un complejo de Poincaré finito, ¿existe una homotopía múltiple equivalente a ? ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

2. Dadas dos equivalencias de homotopía , ¿dónde existe un difeomorfismo tal que ? ${\displaystyle f_{i}\colon M_{i}\rightarrow X}$ ${\displaystyle i=0,1}$ ${\displaystyle h\colon M_{0}\rightarrow M_{1}}$ ${\displaystyle f_{1}\circ h\simeq f_{0}}$

Tenga en cuenta que si la respuesta a estas preguntas debe ser positiva, entonces es una condición necesaria que la respuesta a las dos preguntas siguientes sea positiva.

1.' Dado un complejo de Poincaré finito, ¿existe un mapa normal de grado uno ? ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (f,b)\colon M\rightarrow X}$

2.' Dadas dos equivalencias de homotopía , ¿dónde existe un cobordismo normal tal que y ? ${\displaystyle f_{i}\colon M_{i}\rightarrow X}$ ${\displaystyle i=0,1}$ ${\displaystyle (F,B)\colon (W,M_{0},M_{1})\to (X\times I,X\times 0,X\times 1)}$ ${\displaystyle \partial _{0}F=f_{0}}$ ${\displaystyle \partial _{1}F=f_{1}}$

Por supuesto, ésta es una observación casi trivial, pero es importante porque resulta que existe una teoría eficaz que responde a la pregunta 1.' y también una teoría eficaz que responde a la pregunta 1. proporcionó la respuesta a 1.' Es sí. Lo mismo ocurre con las preguntas 2. y 2.' Observe también que podemos formular las preguntas de la siguiente manera:

1.' Es ? ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)\neq \emptyset }$

2.' Es en ? ${\displaystyle f_{0}=f_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$

Por lo tanto, estudiar es realmente un primer paso para tratar de comprender la estructura quirúrgica establecida, que es el objetivo principal de la teoría quirúrgica. La cuestión es que es mucho más accesible desde el punto de vista de la topología algebraica como se explica a continuación. ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$

Teoría de la homotopía

1.' Sea X un complejo de Poincaré finito de n dimensiones. Es útil utilizar la definición de con paquetes normales. Recuerde que una variedad (suave) tiene un fibrado tangente único y un fibrado normal estable único. Pero un complejo de Poincaré finito no posee un paquete tan único. Sin embargo, posee un sustituto, una fibración esférica única en cierto sentido, la llamada fibración normal de Spivak. Esto tiene la propiedad de que si es homotópico equivalente a una variedad, entonces la fibración esférica asociada al retroceso del haz normal de esa variedad es isomorfa a la fibración normal de Spivak. Entonces se deduce que si entonces la fibración normal de Spivak tiene una reducción del paquete. Según la construcción de Pontrjagin-Thom lo contrario también es cierto. ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)\neq \emptyset }$

Esto puede formularse en términos de la teoría de la homotopía. Recordemos el espacio de clasificación para fibraciones esféricas estables, el espacio de clasificación para haces de vectores estables y el mapa que se induce por la inclusión y que corresponde a tomar la fibración esférica asociada de un haz de vectores. De hecho tenemos una secuencia de fibración . La fibración normal de Spivak se clasifica mediante un mapa . Tiene una reducción del haz de vectores si y sólo si tiene elevación . Esto equivale a exigir que la composición sea homotópica nula. ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle BO}$ ${\displaystyle J\colon BO\rightarrow BG}$ ${\displaystyle O\hookrightarrow G}$ ${\displaystyle BO\rightarrow BG\rightarrow B(G/O)}$ ${\displaystyle \nu _{X}\colon X\rightarrow BG}$ ${\displaystyle \nu _{X}}$ ${\displaystyle {\tilde {\nu }}_{X}\colon X\rightarrow BO}$ ${\displaystyle X\rightarrow BG\rightarrow B(G/O)}$

Tenga en cuenta que los grupos de homotopía se conocen en ciertas dimensiones bajas y no son triviales, lo que sugiere la posibilidad de que la condición anterior pueda fallar para algunos . De hecho, existen complejos de Poincaré finitos, y el primer ejemplo fue obtenido por Gitler y Stasheff , ^{[ cita necesaria ]} dando así un ejemplo de un complejo de Poincaré no homotópico equivalente a una variedad. ${\displaystyle B(G/O)}$ ${\displaystyle X}$

2.' Relativizando las consideraciones anteriores se obtiene una biyección (antinatural)

${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)\cong [X,G/O].}$

Diferentes categorías

La biyección anterior proporciona una estructura de un grupo abeliano ya que el espacio es un espacio de bucle y, de hecho, un espacio de bucle infinito, por lo que los invariantes normales son un grupo de cohomología cero de una teoría de cohomología extraordinaria definida por ese espacio de bucle infinito. Tenga en cuenta que se aplican ideas similares en las otras categorías de variedades y una tiene biyecciones ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$ ${\displaystyle G/O}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)\cong [X,G/O]}$, y y ${\displaystyle {\mathcal {N}}^{PL}(X)\cong [X,G/PL]}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}^{TOP}(X)\cong [X,G/TOP].}$

Es bien sabido que los espacios

${\displaystyle G/O}$, y ${\displaystyle G/PL}$ ${\displaystyle G/TOP}$

no son mutuamente equivalentes en homotopía y, por lo tanto, se obtienen tres teorías de cohomología diferentes.

Sullivan analizó los casos y . Demostró que estos espacios poseen estructuras espaciales de bucle infinito alternativas que de hecho son mejores desde el siguiente punto de vista: Recuerde que existe un mapa de obstrucción quirúrgica desde invariantes normales hasta el grupo L. Con la estructura de grupos descrita anteriormente en los invariantes normales, este mapa NO es un homomorfismo. Sin embargo, con la estructura de grupo del teorema de Sullivan se convierte en un homomorfismo en las categorías , y . Su teorema también vincula estas nuevas estructuras de grupo con las conocidas teorías de cohomología: la cohomología singular y la teoría K real. ${\displaystyle G/PL}$ ${\displaystyle G/TOP}$ ${\displaystyle CAT=PL}$ ${\displaystyle TOP}$

Referencias

• Browder, William (1972), Cirugía en colectores simplemente conectados , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR  0358813
• Gitler, Samule; Stasheff, James D. (noviembre de 1965), "La primera clase exótica de BF", Topología , 4 (3): 257–266, doi : 10.1016/0040-9383(65)90010-8
• Lück, Wolfgang (2002), Una introducción básica a la teoría de la cirugía (PDF) , ICTP Lecture Notes Series 9, Band 1, de la escuela "Teoría de la variedad de alta dimensión" en Trieste, mayo/junio de 2001, Centro Internacional Abdus Salam de Estudios Teóricos. Física, Trieste 1-224
• Ranicki, Andrew (2002), Cirugía algebraica y geométrica, Monografías matemáticas de Oxford, Clarendon Press, CiteSeerX  10.1.1.309.8886 , doi :10.1093/acprof:oso/9780198509240.001.0001, ISBN 978-0-19-850924-0, señor  2061749
• Wall, CTC (1999), Cirugía en variedades compactas , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 69 (2ª ed.), Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , CiteSeerX  10.1.1.309.8451 , doi :10.1090/surv/069, ISBN 978-0-8218-0942-6, señor  1687388