Obstrucción de la cirugía

Mapa de las invariantes normales a los grupos L

En matemáticas , específicamente en teoría quirúrgica , las obstrucciones quirúrgicas definen un mapa de los invariantes normales a los grupos L que es, en primera instancia, un mapa de teoría de conjuntos (es decir, no necesariamente un homomorfismo ) con la siguiente propiedad cuando : ${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle n\geq 5}$

Un mapa normal de grado uno normalmente es cobordante con una equivalencia de homotopía si y sólo si la imagen en . ${\displaystyle (f,b)\colon M\to X}$ ${\displaystyle \theta (f,b)=0}$ ${\displaystyle L_{n}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)])}$

Bosquejo de la definición

La obstrucción quirúrgica de un mapa normal de grado uno tiene una definición relativamente complicada.

Considere un mapa normal de grado uno . La idea para decidir si normalmente es cobordante con una equivalencia de homotopía es tratar de mejorar sistemáticamente para que el mapa se vuelva conectado (es decir, los grupos de homotopía para ) para alto . Es una consecuencia de la dualidad de Poincaré que si podemos lograr esto, entonces el mapa ya es una equivalencia de homotopía. La palabra sistemáticamente anterior se refiere al hecho de que uno intenta realizar cirugías para matar elementos de . De hecho, es más conveniente utilizar la homología de las cubiertas universales para observar qué tan conectado está el mapa. Más precisamente, se trabaja con los núcleos quirúrgicos , que se consideran módulos. Si todos estos desaparecen, entonces el mapa es una equivalencia de homotopía. Como consecuencia de la dualidad de Poincaré , hay una dualidad de Poincaré de módulos , por lo que solo hay que mirar la mitad de ellos, es decir, aquellos para los cuales . ${\displaystyle (f,b)\colon M\to X}$ ${\displaystyle (f,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \pi _{*}(f)=0}$ ${\displaystyle *\leq m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m>\lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi _{i}(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K_{i}({\tilde {M}}):=\mathrm {ker} \{f_{*}\colon H_{i}({\tilde {M}})\rightarrow H_{i}({\tilde {X}})\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$ ${\displaystyle K^{n-i}({\tilde {M}})\cong K_{i}({\tilde {M}})}$ ${\displaystyle i\leq \lfloor n/2\rfloor }$

Se puede crear cualquier mapa normal de grado uno conectado mediante el proceso llamado cirugía por debajo de la dimensión media. Este es el proceso de matar elementos de for descrito aquí cuando tenemos tal que . Una vez hecho esto, hay dos casos. ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle K_{i}({\tilde {M}})}$ ${\displaystyle i<\lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle p+q=n}$ ${\displaystyle i=p<\lfloor n/2\rfloor }$

1. Si entonces el único grupo de homología no trivial es el núcleo . Resulta que los emparejamientos taza-producto e inducen un emparejamiento taza-producto . Esto define una forma bilineal simétrica en caso y una forma bilineal simétrica sesgada en caso . Resulta que estas formas se pueden refinar a formas -cuadráticas, donde . Estas formas cuadráticas definen elementos en los grupos L. ${\displaystyle n=2k}$ ${\displaystyle K_{k}({\tilde {M}}):=\mathrm {ker} \{f_{*}\colon H_{k}({\tilde {M}})\rightarrow H_{k}({\tilde {X}})\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{k}({\tilde {M}})}$ ${\displaystyle k=2l}$ ${\displaystyle k=2l+1}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =(-1)^{k}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle L_{n}(\pi _{1}(X))}$

2. Si la definición es más complicada. En lugar de una forma cuadrática, de la geometría se obtiene una formación cuadrática, que es una especie de automorfismo de formas cuadráticas. Tal cosa define un elemento en el grupo L de dimensiones impares . ${\displaystyle n=2k+1}$ ${\displaystyle L_{n}(\pi _{1}(X))}$

Si el elemento es cero en el grupo L, se puede realizar una cirugía para modificarlo a una equivalencia de homotopía. ${\displaystyle \theta (f,b)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$

Geométricamente, la razón por la que esto no siempre es posible es que realizar una cirugía en la dimensión media para matar un elemento posiblemente crea un elemento en cuándo o en cuándo . Así que esto posiblemente destruya lo que ya se ha logrado. Sin embargo, si es cero, se pueden organizar las cirugías de tal manera que esto no suceda. ${\displaystyle K_{k}({\tilde {M}})}$ ${\displaystyle K_{k-1}({\tilde {M}})}$ ${\displaystyle n=2k}$ ${\displaystyle K_{k}({\tilde {M}})}$ ${\displaystyle n=2k+1}$ ${\displaystyle \theta (f,b)}$

Ejemplo

En el caso simplemente conectado sucede lo siguiente.

Si no hay obstrucción. ${\displaystyle n=2k+1}$

Entonces , la obstrucción quirúrgica se puede calcular como la diferencia de las firmas de M y X. ${\displaystyle n=4l}$

Si entonces la obstrucción quirúrgica es la invariante Arf de la forma cuadrática del núcleo asociada sobre . ${\displaystyle n=4l+2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Referencias

• Browder, William (1972), Cirugía en colectores simplemente conectados , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR  0358813
• Lück, Wolfgang (2002), Introducción básica a la teoría de la cirugía (PDF) , ICTP Lecture Notes Series 9, Band 1, de la escuela "Teoría de la variedad de alta dimensión" en Trieste, mayo/junio de 2001, Centro Internacional Abdus Salam de Estudios Teóricos. Física, Trieste 1-224
• Ranicki, Andrew (2002), Cirugía algebraica y geométrica, Monografías matemáticas de Oxford, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850924-0, señor  2061749
• Wall, CTC (1999), Cirugía en variedades compactas , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 69 (2ª ed.), Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-0942-6, señor  1687388