funtor monoidal

Concepto en la teoría de categorías.

En teoría de categorías , los functores monoidales son funtores entre categorías monoidales que preservan la estructura monoidal. Más específicamente, un funtor monoidal entre dos categorías monoidales consta de un funtor entre las categorías, junto con dos mapas de coherencia : una transformación natural y un morfismo que preservan la multiplicación monoidal y la unidad, respectivamente. Los matemáticos requieren que estos mapas de coherencia satisfagan propiedades adicionales dependiendo de cuán estrictamente quieran preservar la estructura monoidal; cada una de estas propiedades da lugar a una definición ligeramente diferente de functores monoidales

• Los mapas de coherencia de funtores monoidales laxos no satisfacen propiedades adicionales; no son necesariamente invertibles.
• Los mapas de coherencia de functores monoidales fuertes son invertibles.
• Los mapas de coherencia de funtores monoidales estrictos son mapas de identidad.

Aunque aquí distinguimos entre estas diferentes definiciones, los autores pueden llamar a cualquiera de estos functores simplemente monoidales .

Definición

Sean y sean categorías monoidales. Un funtor monoidal laxo de a (que también puede denominarse simplemente funtor monoidal) consta de un funtor junto con una transformación natural ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \phi _{A,B}:FA\bullet FB\to F(A\otimes B)}$

entre functores y un morfismo ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \phi :I_{\mathcal {D}}\to FI_{\mathcal {C}}}$,

llamados mapas de coherencia o morfismos de estructura , que son tales que por cada tres objetos , y de los diagramas ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

,

   y   

desplazamiento en la categoría . Arriba, las diversas transformaciones naturales indicadas con son partes de la estructura monoide en y . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \alpha ,\rho ,\lambda }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Variantes

• El dual de un funtor monoidal es un funtor comonoidal ; es un funtor monoidal cuyos mapas de coherencia están invertidos. Los funtores comonoidales también pueden denominarse funtores opmonoidales, colax monoidales u oplax monoidales.
• Un funtor monoidal fuerte es un funtor monoidal cuyos mapas de coherencia son invertibles. ${\displaystyle \phi _{A,B},\phi }$
• Un funtor monoidal estricto es un funtor monoidal cuyos mapas de coherencia son identidades.
• Un funtor monoidal trenzado es un funtor monoidal entre categorías monoidales trenzadas (con trenzados denotados ) tal que el siguiente diagrama conmuta para cada par de objetos A , B en  : ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• Un funtor monoidal simétrico es un funtor monoidal trenzado cuyo dominio y codominio son categorías monoidales simétricas .

Ejemplos

• El functor subyacente de la categoría de grupos abelianos a la categoría de conjuntos. En este caso, el mapa envía (a, b) a ; el mapa envía a 1. ${\displaystyle U\colon (\mathbf {Ab} ,\otimes _{\mathbf {Z} },\mathbf {Z} )\rightarrow (\mathbf {Set} ,\times ,\{\ast \})}$ ${\displaystyle \phi _{A,B}\colon U(A)\times U(B)\to U(A\otimes B)}$ ${\displaystyle a\otimes b}$ ${\displaystyle \phi \colon \{*\}\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \ast }$
• Si es un anillo (conmutativo), entonces el funtor libre se extiende a un funtor fuertemente monoidal (y también si es conmutativo). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathsf {Set}},\to R{\mathsf {-mod}}}$ ${\displaystyle ({\mathsf {Set}},\sqcup ,\emptyset )\to (R{\mathsf {-mod}},\oplus ,0)}$ ${\displaystyle ({\mathsf {Set}},\times ,\{\ast \})\to (R{\mathsf {-mod}},\otimes ,R)}$ ${\displaystyle R}$
• Si es un homomorfismo de anillos conmutativos, entonces el funtor de restricción es monoidal y el funtor de inducción es fuertemente monoidal. ${\displaystyle R\to S}$ ${\displaystyle (S{\mathsf {-mod}},\otimes _{S},S)\to (R{\mathsf {-mod}},\otimes _{R},R)}$ ${\displaystyle (R{\mathsf {-mod}},\otimes _{R},R)\to (S{\mathsf {-mod}},\otimes _{S},S)}$
• Un ejemplo importante de functor monoide simétrico es el modelo matemático de la teoría cuántica de campos topológica , que se ha desarrollado recientemente. Sea la categoría de cobordismos de variedades n-1,n -dimensionales con producto tensor dado por unión disjunta, y una unidad de la variedad vacía. Una teoría de campos cuánticos topológicos en dimensión n es un funtor monoide simétrico ${\displaystyle \mathbf {Bord} _{\langle n-1,n\rangle }}$ ${\displaystyle F\colon (\mathbf {Bord} _{\langle n-1,n\rangle },\sqcup ,\emptyset )\rightarrow (\mathbf {kVect} ,\otimes _{k},k).}$
• El funtor de homología es monoidal como en el mapa . ${\displaystyle (Ch(R{\mathsf {-mod}}),\otimes ,R[0])\to (grR{\mathsf {-mod}},\otimes ,R[0])}$ ${\displaystyle H_{\ast }(C_{1})\otimes H_{\ast }(C_{2})\to H_{\ast }(C_{1}\otimes C_{2}),[x_{1}]\otimes [x_{2}]\mapsto [x_{1}\otimes x_{2}]}$

Nociones alternativas

Si y son categorías monoidales cerradas con functores hom internos (eliminamos los subíndices para facilitar la lectura), existe una formulación alternativa ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})}$ ${\displaystyle \Rightarrow _{\mathcal {C}},\Rightarrow _{\mathcal {D}}}$

ψ _AB  : F ( A ⇒ B ) → FA ⇒ FB

de φ _AB comúnmente utilizado en programación funcional . La relación entre ψ _AB y φ _AB se ilustra en los siguientes diagramas conmutativos:

Propiedades

• Si es un objeto monoide en , entonces es un objeto monoide en . ^[2] ${\displaystyle (M,\mu ,\epsilon )}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (FM,F\mu \circ \phi _{M,M},F\epsilon \circ \phi )}$ ${\displaystyle D}$

Funtores monoidales y adjuntos

Supongamos que se deja un funtor junto a un monoide . Luego tiene una estructura comonoidal inducida por , definida por ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle (G,n):({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})\to ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (F,m)}$ ${\displaystyle (G,n)}$

${\displaystyle m_{A,B}=\varepsilon _{FA\bullet FB}\circ Fn_{FA,FB}\circ F(\eta _{A}\otimes \eta _{B}):F(A\otimes B)\to FA\bullet FB}$

y

${\displaystyle m=\varepsilon _{I_{\mathcal {D}}}\circ Fn:FI_{\mathcal {C}}\to I_{\mathcal {D}}}$.

Si la estructura inducida es fuerte, entonces la unidad y la unidad de la conjunción son transformaciones naturales monoidales , y se dice que la conjunción es una conjunción monoidal ; por el contrario, el adjunto izquierdo de una conjunción monoidal es siempre un funtor monoidal fuerte. ${\displaystyle F}$

De manera similar, un adjunto derecho de un funtor comonoidal es monoidal, y el adjunto derecho de una conjunción comonoidal es un funtor monoidal fuerte.

Ver también

• Transformación natural monoidal

Citas en línea

1. Perrone (2024), págs. 360–364
2. Perrone (2024), págs. 367–368

Referencias

• Kelly, G. Max (1974). "Complemento doctrinal". Seminario de categoría . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 420. Saltador. págs. 257–280. doi :10.1007/BFb0063105. ISBN 978-3-540-37270-7.
• Perrone, Paolo (2024). Teoría de categorías iniciales. Científico mundial. doi :10.1142/9789811286018_0005. ISBN 978-981-12-8600-1.