Firma (topología)

En el campo de la topología , la firma es un invariante entero que se define para una variedad orientada M de dimensión divisible por cuatro .

Esta invariante de una variedad se ha estudiado en detalle, comenzando con el teorema de Rokhlin para 4 variedades y el teorema de la firma de Hirzebruch .

Definición

Dada una variedad M conectada y orientada de dimensión 4 k , el producto de copa da lugar a una forma cuadrática Q en el grupo de cohomología real 'medio'

${\displaystyle H^{2k}(M,\mathbf {R} )}$.

La identidad básica del producto de taza.

${\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})}$

muestra que con p = q = 2 k el producto es simétrico . Toma valores en

${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbf {R} )}$.

Si asumimos también que M es compacto , la dualidad de Poincaré lo identifica con

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {R} )}$

que se puede identificar con . Por lo tanto, el producto de copa, bajo estas hipótesis, da lugar a una forma bilineal simétrica en H ^{2 k} ( M , R ); y por tanto a una forma cuadrática Q . La forma Q no es degenerada debido a la dualidad de Poincaré, ya que se empareja de forma no degenerada consigo misma. ^[1] De manera más general, la firma se puede definir de esta manera para cualquier poliedro compacto general con dualidad de Poincaré de 4n dimensiones. ${\displaystyle \mathbf {R} }$

La firma de M es por definición la firma de Q , es decir, donde cualquier matriz diagonal que defina Q tiene entradas positivas y entradas negativas. ^[2] Si M no es conexo, su firma se define como la suma de las firmas de sus componentes conectados. ${\displaystyle \sigma (M)}$ ${\displaystyle \sigma (M)=n_{+}-n_{-}}$ ${\displaystyle n_{+}}$ ${\displaystyle n_{-}}$

Otras dimensiones

Si M tiene una dimensión no divisible por 4, su firma generalmente se define como 0. Existen generalizaciones alternativas en la teoría L : la firma se puede interpretar como el grupo L simétrico de 4 k dimensiones (simplemente conectado) o como el 4 k -grupo L cuadrático dimensional y estos invariantes no siempre desaparecen para otras dimensiones. El invariante de Kervaire es un mod 2 (es decir, un elemento de ) para variedades enmarcadas de dimensión 4 k +2 (el grupo L cuadrático ), mientras que el invariante de De Rham es un invariante mod 2 de variedades de dimensión 4 k +1 ( el grupo L simétrico ); los otros grupos L dimensionales desaparecen. ${\displaystyle L^{4k},}$ ${\displaystyle L_{4k},}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /2}$ ${\displaystyle L_{4k+2}}$ ${\displaystyle L^{4k+1}}$

Invariante de Kervaire

Cuando es dos veces un entero impar ( simplemente par ), la misma construcción da lugar a una forma bilineal antisimétrica . Estos formularios no tienen una firma invariante; si no son degenerados, dos de estas formas son equivalentes. Sin embargo, si se toma un refinamiento cuadrático de la forma, lo que ocurre si se tiene una variedad enmarcada , entonces las formas ε-cuadráticas resultantes no necesitan ser equivalentes, ya que se distinguen por el invariante Arf . El invariante resultante de una variedad se llama invariante de Kervaire . ${\displaystyle d=4k+2=2(2k+1)}$

Propiedades

• Las variedades orientadas compactas M y N satisfacen por definición y satisfacen mediante una fórmula de Künneth . ${\displaystyle \sigma (M\sqcup N)=\sigma (M)+\sigma (N)}$ ${\displaystyle \sigma (M\times N)=\sigma (M)\sigma (N)}$

• Si M es una frontera orientada, entonces . ${\displaystyle \sigma (M)=0}$

• René Thom (1954) demostró que la firma de una variedad es una invariante de cobordismo y, en particular, está dada por alguna combinación lineal de sus números de Pontryagin . ^[3] Por ejemplo, en cuatro dimensiones, viene dado por . Friedrich Hirzebruch (1954) encontró una expresión explícita para esta combinación lineal como el género L de la variedad. ${\displaystyle {\frac {p_{1}}{3}}}$

• William Browder (1962) demostró que un poliedro compacto simplemente conexo con dualidad de Poincaré de 4 n dimensiones es homotópicamente equivalente a una variedad si y sólo si su firma satisface la expresión del teorema de firma de Hirzebruch .

• El teorema de Rokhlin dice que la firma de una variedad de 4 dimensiones simplemente conectada con una estructura de espín es divisible por 16.

Ver también

• Teorema de la firma de Hirzebruch
• Género de una secuencia multiplicativa.
• teorema de rokhlin

Referencias

1. Hatcher, Allen (2003). Topología algebraica (PDF) (Repr. ed.). Cambridge: Universidad de Cambridge. Pr. pag. 250.ISBN​ 978-0521795401. Consultado el 8 de enero de 2017 .
2. Milnor, Juan; Stasheff, James (1962). Clases características . Anales de estudios de matemáticas 246. p. 224. CiteSeerX 10.1.1.448.869 . ISBN  978-0691081229.
3. Thom, René. "Quelques proprietes globales des varietes diferenciables" (PDF) (en francés). Com. Matemáticas. Helvetici 28 (1954), págs. 17–86 . Consultado el 26 de octubre de 2019 .