En matemáticas , específicamente en la teoría de formas cuadráticas , una forma ε -cuadrática es una generalización de formas cuadráticas a configuraciones simétricas sesgadas y a anillos * ; ε = ±1 , en consecuencia para simétrico o simétrico sesgado. También se les llama formas cuadráticas, particularmente en el contexto de la teoría de la cirugía .
Existe la noción relacionada de formas ε -simétricas , que generaliza las formas simétricas , las formas sesgadas-simétricas (= formas simplécticas ), las formas hermitianas y las formas sesgadas-hermitianas . Más brevemente, uno puede referirse a formas cuadráticas, cuadráticas sesgadas, simétricas y simétricas sesgadas, donde "sesgo" significa (-) y el * (involución) está implícito.
La teoría es 2-local: lejos de 2 , las formas ε -cuadráticas son equivalentes a las formas ε -simétricas: la mitad del mapa de simetrización (abajo) da un isomorfismo explícito.
Las formas ε -simétricas y las formas ε -cuadráticas se definen de la siguiente manera. [1]
Dado un módulo M sobre un anillo * R , sea B ( M ) el espacio de formas bilineales en M , y sea T : B ( M ) → B ( M ) la involución " transpuesta conjugada " B ( u , v ) ↦ B ( v , u )* . Dado que la multiplicación por −1 también es una involución y conmuta con aplicaciones lineales, − T también es una involución. Por tanto, podemos escribir ε = ±1 y εT es una involución, ya sea T o − T (ε puede ser más general que ±1; ver más abajo). Defina las formas ε -simétricas como las invariantes de εT , y las formas ε -cuadráticas como las coinvariantes .
Como una secuencia exacta,
La notación Q ε ( M ), Q ε ( M ) sigue la notación estándar M G , M G para las invariantes y coinvariantes de una acción grupal , aquí del grupo de orden 2 (una involución).
La composición de los mapas de inclusión y cociente (pero no 1 − εT ) produce un mapa Q ε ( M ) → Q ε ( M ): cada forma ε -simétrica determina una forma ε -cuadrática.
Por el contrario, se puede definir un homomorfismo inverso "1 + εT ": Q ε ( M ) → Q ε ( M ) , llamado mapa de simetrización (ya que produce una forma simétrica) tomando cualquier elevación de una forma cuadrática y multiplicándola por 1 + εT . Esta es una forma simétrica porque (1 − εT )(1 + εT ) = 1 − T 2 = 0 , por lo que está en el núcleo. Más precisamente, . El mapa está bien definido por la misma ecuación: elegir un ascensor diferente corresponde a sumar un múltiplo de (1 − εT ) , pero esto desaparece después de multiplicarlo por 1 + εT . Por tanto, cada ε -forma cuadrática determina una ε -forma simétrica.
Al componer estos dos mapas de cualquier manera: Q ε ( M ) → Q ε ( M ) → Q ε ( M ) o Q ε ( M ) → Q ε ( M ) → Q ε ( M ) produce la multiplicación por 2 y, por lo tanto, estos los mapas son biyectivos si 2 es invertible en R , y el inverso se obtiene mediante la multiplicación por 1/2.
Una forma ε -cuadrática ψ ∈ Q ε ( M ) se llama no degenerada si la forma ε -simétrica asociada (1 + εT )( ψ ) no es degenerada.
Si * es trivial, entonces ε = ±1 , y "lejos de 2" significa que 2 es invertible: 1/2 ∈ R.
De manera más general, se puede tomar por ε ∈ R cualquier elemento tal que ε * ε = 1 . ε = ±1 siempre satisface esto, pero también lo hace cualquier elemento de la norma 1, como los números complejos de norma unitaria.
De manera similar, en presencia de un * no trivial, las formas ε -simétricas son equivalentes a las formas ε -cuadráticas si hay un elemento λ ∈ R tal que λ * + λ = 1 . Si * es trivial, esto equivale a 2 λ = 1 o λ = 1/2 , mientras que si * no es trivial puede haber múltiples λ posibles ; por ejemplo, en los números complejos, cualquier número con parte real 1/2 es tal λ .
Por ejemplo, en el anillo (la red integral para la forma cuadrática 2 x 2 − 2 x + 1 ), con conjugación compleja, hay dos de esos elementos, aunque 1/2 ∉ R .
En términos de matrices (consideramos que V es bidimensional), si * es trivial:
a , por ejemplo, levantando hacia y luego agregando para transponer. La reasignación a formas cuadráticas produce el doble del original: .
Si es una conjugación compleja, entonces
Una forma intuitiva de entender una forma ε -cuadrática es pensar en ella como un refinamiento cuadrático de su forma ε -simétrica asociada.
Por ejemplo, al definir un álgebra de Clifford sobre un campo o anillo general, se cociente el álgebra tensorial mediante relaciones que provienen de la forma simétrica y la forma cuadrática: vw + wv = 2 B ( v , w ) y . Si 2 es invertible, esta segunda relación se deriva de la primera (ya que la forma cuadrática puede recuperarse de la forma bilineal asociada), pero en 2 este refinamiento adicional es necesario.
Un ejemplo sencillo de una forma ε -cuadrática es la forma ε -cuadrática hiperbólica estándar . (Aquí, R * := Hom R ( R , R ) denota el dual del módulo R R .) Está dado por la forma bilineal . La forma ε -cuadrática hiperbólica estándar es necesaria para la definición de la teoría L.
Para el campo de dos elementos R = F 2 no hay diferencia entre las formas (+1)-cuadrática y (−1)-cuadrática, que simplemente se llaman formas cuadráticas . El invariante Arf de una forma cuadrática no singular sobre F 2 es un invariante valorado en F 2 con aplicaciones importantes tanto en álgebra como en topología, y desempeña un papel similar al que desempeña el discriminante de una forma cuadrática en característica no igual a dos.
La parte libre del grupo de homología medio (con coeficientes enteros) de una variedad de dimensión par orientada tiene una forma ε -simétrica, a través de la dualidad de Poincaré , la forma de intersección . En el caso de una dimensión simplemente par 4 k + 2 , esto es sesgado-simétrico, mientras que para una dimensión doblemente par 4 k , esto es simétrico. Geométricamente, esto corresponde a la intersección, donde dos subvariedades de n /2 dimensiones en una variedad de n dimensiones se cruzan genéricamente en una subvariedad de 0 dimensiones (un conjunto de puntos), agregando codimensión . Para una dimensión simplemente par, el orden cambia de signo, mientras que para una dimensión doblemente par, el orden no cambia de signo, de ahí la ε -simetría. Los casos más simples son para el producto de esferas, donde el producto S 2 k × S 2 k y S 2 k +1 × S 2 k +1 dan respectivamente la forma simétrica y la forma simétrica sesgada. En la dimensión dos, esto produce un toro , y tomando la suma conexa de g tori se obtiene la superficie del género g , cuya homología media tiene la forma hiperbólica estándar.
Con una estructura adicional, esta forma ε -simétrica se puede refinar a una forma ε -cuadrática. Para una dimensión doblemente par, esto tiene un valor entero, mientras que para una dimensión simplemente par, solo se define hasta la paridad y toma valores en Z /2. Por ejemplo, dado un colector enmarcado , se puede producir tal refinamiento. Para una dimensión par simple, el invariante Arf de esta forma cuadrática sesgada es el invariante de Kervaire .
Dada una superficie orientada Σ incrustada en R 3 , el grupo de homología medio H 1 (Σ) lleva no sólo una forma sesgada-simétrica (a través de la intersección), sino también una forma sesgada-cuadrática, que puede verse como un refinamiento cuadrático, a través de autoenlazado. La forma simétrica sesgada es una invariante de la superficie Σ, mientras que la forma cuadrática sesgada es una invariante de la incrustación Σ ⊂ R 3 , por ejemplo, para la superficie Seifert de un nudo . El invariante Arf de la forma cuadrática sesgada es un invariante de cobordismo enmarcado que genera el primer grupo de homotopía estable .
Para el toro incrustado estándar , la forma simétrica sesgada está dada por (con respecto a la base simpléctica estándar ), y el refinamiento cuadrático sesgado está dado por xy con respecto a esta base: Q (1, 0) = Q (0 , 1) = 0 : las curvas base no se autoenlazan; y Q (1, 1) = 1 : a (1, 1) autoenlaces, como en la fibración de Hopf . (Esta forma tiene el invariante Arf 0 y, por lo tanto, este toro incrustado tiene el invariante Kervaire 0).
Una aplicación clave es la teoría de la cirugía algebraica , donde incluso los grupos L se definen como grupos de Witt de formas ε -cuadráticas, por CTCWall
![{\displaystyle R=\mathbf {Z} \left[\textstyle {\frac {1+i}{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5a0d6c3acdd5cfb932747468adc498e09411746)
