forma bilineal

En matemáticas , una forma bilineal es un mapa bilineal $V \times V \to K$ en un espacio vectorial $V$ (cuyos elementos se llaman vectores ) sobre un campo K (cuyos elementos se llaman escalares ). En otras palabras, una forma bilineal es una función $B : V \times V \to K$ que es lineal en cada argumento por separado:

$B (u + v, w) = B (u, w) + B (v, w)$ y $B$ $($ $λ$ $u$ $,$ $v$ $) =$ $λB$ $($ $u$ $,$ $v$ $)$
$B (u, v + w) = B (u, v) + B (u, w)$ y $B$ $($ $u$ $,$ $λ$ $v$ $) =$ $λB$ $($ $u$ $,$ $v$ $)$

El producto escalar es un ejemplo de forma bilineal. ^[1] $\mathbb {R} ^{n}$

La definición de forma bilineal se puede ampliar para incluir módulos sobre un anillo , con mapas lineales reemplazados por homomorfismos de módulo .

Cuando $K$ es el cuerpo de números complejos $C$ , a menudo uno está más interesado en las formas sesquilineales , que son similares a las formas bilineales pero son lineales conjugadas en un argumento.

Coordinar la representación

Sea $V$ un espacio vectorial $n$ - dimensional con base ${e 1,\dots, e n}$ .

La matriz A $de n \times n$ , definida por $A$ $ij$ $=$ $B$ $($ $e$ $i$ $,$ $e$ $j$ $)$ se llama matriz de la forma bilineal sobre la base ${$ $e$ $1$ $,\dots,$ $e$ $n$ $}$ .

Si la matriz $x$ $de n \times 1$ representa un vector $x$ con respecto a esta base, y de manera similar, la matriz $y de$ $n$ $\times 1$ representa otro vector $y$ , entonces:

B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {y} =\sum _{i,j=1}^{ n}x_{i}A_{ij}y_{j}.

Una forma bilineal tiene diferentes matrices sobre diferentes bases. Sin embargo, las matrices de forma bilineal sobre bases diferentes son todas congruentes . Más precisamente, si ${f 1,\dots, f n}$ es otra base de $V$ , entonces

\mathbf {f} _{j}=\sum _{i=1}^{n}S_{i,j}\mathbf {e} _{i},

matriz invertible

S

S

T

AS

S_{i,j}

Mapas al espacio dual.

Cada forma bilineal $B$ en $V$ define un par de aplicaciones lineales desde $V$ hasta su espacio dual $V *$ . Definir $B 1, B 2 : V \to V *$ por

segundo 1 (v)(w) = segundo (v, w)

segundo 2 (v)(w) = segundo (w, v)

Esto a menudo se denota como

segundo 1 (v) = segundo (v, \cdot)

segundo 2 (v) = segundo (\cdot, v)

donde el punto ( ⋅ ) indica la ranura en la que se colocará el argumento para el funcional lineal resultante (ver Currying ).

Para un espacio vectorial de dimensión finita $V$ , si $B 1$ o $B 2$ es un isomorfismo, entonces ambos lo son, y se dice que la forma bilineal $B$ es no degenerada . Más concretamente, para un espacio vectorial de dimensión finita, no degenerado significa que cada elemento distinto de cero se empareja de forma no trivial con algún otro elemento:

B(x,y)=0

para todo implica que

x

= 0

y\en V

B(x,y)=0

para todos implica que

y

= 0

x\en V

La noción correspondiente para un módulo sobre un anillo conmutativo es que una forma bilineal esunimodular si $V \to V *$ es un isomorfismo. Dado un módulo finitamente generado sobre un anillo conmutativo, el emparejamiento puede ser inyectivo (por lo tanto, "no degenerado" en el sentido anterior) pero no unimodular. Por ejemplo, sobre los números enteros, el par $B (x, y) = 2 xy$ no es degenerado pero no unimodular, ya que el mapa inducido de $V = Z$ a $V * = Z$ es una multiplicación por 2.

Si $V$ es de dimensión finita, entonces se puede identificar $V$ con su doble dual $V **$ . Entonces se puede demostrar que $B 2$ es la transpuesta del mapa lineal $B 1$ (si $V$ es de dimensión infinita, entonces $B 2$ es la transpuesta de $B 1$ restringida a la imagen de $V$ en $V **$ ). Dado $B,$ se puede definir la transpuesta de $B$ como la forma bilineal dada por

^tB ( v , w ) = B ( w , v ).

El radical izquierdo y el radical derecho de la forma $B$ son los núcleos de $B 1$ y $B 2$ respectivamente; ^[2] son los vectores ortogonales a todo el espacio a la izquierda y a la derecha. ^[3]

Si $V$ es de dimensión finita, entonces el rango de $B 1$ es igual al rango de $B 2$ . Si este número es igual a $dim(V),$ entonces $B 1$ y $B 2$ son isomorfismos lineales de $V$ a $V *$ . En este caso $B$ es no degenerado. Según el teorema de rango-nulidad , esto equivale a la condición de que los radicales izquierdo y equivalentemente derecho sean triviales. Para espacios de dimensión finita, esto suele tomarse como la definición de no degeneración:

Definición: B es no degenerado si

B (v, w) = 0

para todo w implica

v = 0

Dado cualquier mapa lineal $A : V \to V *$ se puede obtener una forma bilineal B en V mediante

segundo ( v , w ) = A ( v )( w ).

Esta forma será no degenerada si y sólo si $A$ es un isomorfismo.

Si $V$ es de dimensión finita entonces, en relación con alguna base para $V$ , una forma bilineal es degenerada si y sólo si el determinante de la matriz asociada es cero. Asimismo, una forma no degenerada es aquella para la cual el determinante de la matriz asociada es distinto de cero (la matriz no es singular ). Estas declaraciones son independientes de la base elegida. Para un módulo sobre un anillo conmutativo, una forma unimodular es aquella para la cual el determinante de la matriz asociada es una unidad (por ejemplo 1), de ahí el término; tenga en cuenta que una forma cuyo determinante matricial sea distinto de cero pero no una unidad será no degenerada pero no unimodular, por ejemplo $B (x, y) = 2 xy$ sobre los números enteros.

Formas simétricas, simétricas y alternas.

Definimos una forma bilineal como

simétrico si $B (v, w) = B (w, v)$ para todo $v$ , $w$ en $V$ ;
alternando si $B (v, v) = 0$ para todo $v$ en $V$ ;
simétrico sesgado oantisimétrico si $B (v, w) = - B (w, v)$ para todo $v$ , $w$ en $V$ ;
Proposición
Cada forma alterna es simétrica sesgada.
Prueba
Esto se puede ver expandiendo $B (v + w, v + w)$ .

Si la característica de $K$ no es 2, entonces lo contrario también es cierto: cada forma simétrica sesgada es alterna. Sin embargo, si $char(K) = 2$ entonces una forma simétrica sesgada es lo mismo que una forma simétrica y existen formas simétricas/simétricas sesgadas que no se alternan.

Una forma bilineal es simétrica (respectivamente sesgada-simétrica) si y sólo si su matriz de coordenadas (en relación con cualquier base) es simétrica (respectivamente sesgada-simétrica ). Una forma bilineal es alterna si y solo si su matriz de coordenadas es simétrica sesgada y las entradas diagonales son todas cero (lo que se sigue de simetría sesgada cuando $char(K) \neq 2$ ).

Una forma bilineal es simétrica si y sólo si las funciones $B 1, B 2 : V \to V *$ son iguales, y asimétrica si y sólo si son negativos entre sí. Si $char(K) \neq 2$ entonces se puede descomponer una forma bilineal en una parte simétrica y una parte simétrica sesgada de la siguiente manera

B^{+}={\tfrac {1}{2}}(B+{}^{\text{t}}B)\qquad B^{-}={\tfrac {1}{2} }(B-{}^{\text{t}}B),

t B

B

Forma cuadrática derivada

Para cualquier forma bilineal $B : V \times V \to K$ , existe una forma cuadrática asociada $Q : V \to K$ definida por $Q : V \to K : v \mapsto B (v, v)$ .

Cuando $char(K) \neq 2$ , la forma cuadrática Q está determinada por la parte simétrica de la forma bilineal B y es independiente de la parte antisimétrica. En este caso existe una correspondencia uno a uno entre la parte simétrica de la forma bilineal y la forma cuadrática, y tiene sentido hablar de la forma bilineal simétrica asociada con una forma cuadrática.

Cuando $char(K) = 2$ y $dim V > 1$ , esta correspondencia entre formas cuadráticas y formas bilineales simétricas se rompe.

Reflexividad y ortogonalidad

Definición: Una forma bilineal

B : V \times V \to K

se llama reflexiva si

B (v, w) = 0

implica

B (w, v) = 0

para todo v , w en V .

Definición: Sea

B : V \times V \to K

una forma bilineal reflexiva. v , w en V son ortogonales con respecto a B si

B (v, w) = 0

Una forma bilineal $B$ es reflexiva si y sólo si es simétrica o alterna. ^[4] En ausencia de reflexividad tenemos que distinguir la ortogonalidad izquierda y derecha. En un espacio reflexivo, los radicales izquierdo y derecho concuerdan y se denominan núcleo o radical de la forma bilineal: el subespacio de todos los vectores ortogonales a cualquier otro vector. Un vector $v$ , con representación matricial $x$ , está en el radical de una forma bilineal con representación matricial $A$ , si y sólo si $Ax = 0 \Leftrightarrow x T A = 0$ . El radical es siempre un subespacio de $V$ . Es trivial si y sólo si la matriz $A$ es no singular y, por tanto, si y sólo si la forma bilineal no es degenerada.

Supongamos que $W$ es un subespacio. Definir el complemento ortogonal^[5]

W^{\perp }=\left\{\mathbf {v} \mid B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0{\text{ para todos }}\mathbf {w} \en W\right\}.

Para una forma no degenerada en un espacio de dimensión finita, el mapa $V/W \to W ⊥$ es biyectivo y la dimensión de $W ⊥$ es $tenue(V) - tenue(W)$ .

Diferentes espacios

Gran parte de la teoría está disponible para un mapeo bilineal de dos espacios vectoriales sobre el mismo campo base a ese campo.

segundo : V \times W \to K

Aquí todavía tenemos mapeos lineales inducidos de $V$ a $W *$ y de $W$ a $V *$ . Puede suceder que estas asignaciones sean isomorfismos; Suponiendo dimensiones finitas, si uno es un isomorfismo, el otro debe serlo. Cuando esto ocurre, se dice que B es una pareja perfecta .

En dimensiones finitas, esto equivale a que el emparejamiento no sea degenerado (los espacios necesariamente tienen las mismas dimensiones). Para los módulos (en lugar de espacios vectoriales), así como una forma no degenerada es más débil que una forma unimodular, un emparejamiento no degenerado es una noción más débil que un emparejamiento perfecto. Un emparejamiento puede ser no degenerado sin ser un emparejamiento perfecto, por ejemplo $Z \times Z \to Z$ vía $(x, y) \mapsto 2 xy$ no es degenerado, pero induce la multiplicación por 2 en el mapa $Z \to Z *$ .

La terminología varía en la cobertura de formas bilineales. Por ejemplo, F. Reese Harvey analiza "ocho tipos de producto interno". ^[6] Para definirlos utiliza matrices diagonales A _ij que tienen solo +1 o −1 para elementos distintos de cero. Algunos de los "productos internos" son formas simplécticas y otros son formas sesquilineales o formas hermitianas . En lugar de un campo general $K$ , se detallan los casos con números reales $R$ , números complejos $C$ y cuaterniones $H.$ La forma bilineal

\sum _{k=1}^{p}x_{k}y_{k}-\sum _{k=p+1}^{n}x_{k}y_{k}

caso simétrico real

R (p, q)

p + q = n

^[7]

Algunos de los casos simétricos reales son muy importantes. El caso definido positivo R ( n , 0) se llama espacio euclidiano , mientras que el caso de un solo menos, R ( n −1, 1) se llama espacio de Lorentz . Si n = 4 , entonces el espacio de Lorentz también se llama espacio de Minkowski o espacio-tiempo de Minkowski . El caso especial R ( p , p ) se denominará caso dividido .

Relación con productos tensoriales

Por la propiedad universal del producto tensorial , existe una correspondencia canónica entre formas bilineales en $V$ y aplicaciones lineales $V \otimes V \to K.$ Si $B$ es una forma bilineal en $V$ , el mapa lineal correspondiente viene dado por

v \otimes w \mapsto segundo (v, w)

En la otra dirección, si $F : V \otimes V \to K$ es un mapa lineal, la forma bilineal correspondiente viene dada componiendo F con el mapa bilineal $V \times V \to V \otimes V$ que envía $(v, w)$ a $v \otimes w$ .

El conjunto de todos los mapas lineales $V \otimes V \to K$ es el espacio dual de $V \otimes V$ , por lo que las formas bilineales pueden considerarse como elementos de $(V \otimes V) *$ que (cuando $V$ es de dimensión finita) es canónicamente isomorfo a $V * \otimes V *$ .

Asimismo, las formas bilineales simétricas pueden considerarse como elementos de $(Sym 2 V) *$ (dual de la segunda potencia simétrica de $V$ ) y las formas bilineales alternas como elementos de $(Λ 2 V) * ≃ Λ 2 V *$ (la segunda potencia exterior potencia de $V *$ ). Si $char K \neq 2$ , $(Sym 2 V) * ≃ Sym 2 (V *)$ .

En espacios vectoriales normados

Definición: Una forma bilineal en un espacio vectorial normado $(V, ‖\cdot‖)$ está acotada , si existe una constante $C$ tal que para todo $u, v \in V$ ,

B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\leq C\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

Definición: Una forma bilineal en un espacio vectorial normado $(V, ‖\cdot‖)$ es elíptica o coercitiva , si existe una constante $c > 0$ tal que para todo $u \in V$ ,

B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )\geq c\left\|\mathbf {u} \right\|^{2}.

Generalización a módulos.

Dado un anillo $R$ y un módulo $R derecho$ $M$ y su módulo dual $M *$ , una aplicación $B : M * \times M \to R$ se llama forma bilineal si

segundo (tu + v, x) = segundo (tu, x) + segundo (v, x)

segundo (tu, x + y) = segundo (tu, x) + segundo (tu, y)

B (αu, xβ) = αB (u, x) β

para todo $u, v \in M *$ , todo $x, y \in M$ y todo $α, β \in R$ .

El mapeo $⟨\cdot,\cdot⟩: M * \times M \to R : (u, x) \mapsto u (x)$ se conoce como emparejamiento natural , también llamado forma bilineal canónica en $M * \times M.$ ^[8]

Un mapa lineal $S : M * \to M * : u \mapsto S (u)$ induce la forma bilineal $B : M * \times M \to R : (u, x) \mapsto ⟨ S (u), x ⟩$ , y un mapa lineal $T : M \to M : x \mapsto T (x)$ induce la forma bilineal $B : M * \times M \to R : (u, x) \mapsto ⟨ u, T (x)⟩$ .

Por el contrario, una forma bilineal $B : M * \times M \to R$ induce las aplicaciones R -lineales $S : M * \to M * : u \mapsto (x \mapsto B (u, x))$ y $T' : M \to M ** : x \mapsto (tu \mapsto B (tu, x))$ . Aquí, $M **$ denota el doble dual de $M$ .

Ver también

Citas

^ "Capítulo 3. Formas bilineales: notas de la conferencia MA1212" (PDF) . 2021-01-16.
^ Jacobson 2009, pag. 346.
^ Zhelobenko 2006, pag. 11.
^ Arboleda 1997.
^ Adkins y Weintraub 1992, pág. 359.
^ Harvey 1990, pag. 22.
^ Harvey 1990, pag. 23.
^ Bourbaki 1970, pag. 233.

Referencias

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Bourbaki, N. (1970), Álgebra , Springer
Cooperstein, Bruce (2010), "Capítulo 8: Formas y mapas bilineales", Álgebra lineal avanzada , CRC Press , págs. 249–88, ISBN 978-1-4398-2966-0
Grove, Larry C. (1997), Grupos y personajes , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-16340-4
Halmos, Paul R. (1974), Espacios vectoriales de dimensión finita , Textos de pregrado en matemáticas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90093-3, Zbl 0288.15002
Harvey, F. Reese (1990), "Capítulo 2: Los ocho tipos de espacios de productos internos", Spinors y calibraciones , Academic Press , págs. 19–40, ISBN 0-12-329650-1
Popov, VL (1987), "Bilinear form", en Hazewinkel, M. (ed.), Encyclopedia of Mathematics , vol. 1, Kluwer Academic Publishers , págs. 390–392. También: Forma bilineal , p. 390, en libros de Google
Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , vol. I (2ª ed.), Courier Corporation, ISBN 978-0-486-47189-1
Milnor, J .; Husemoller, D. (1973), Formas bilineales simétricas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , vol. 73, Springer-Verlag , ISBN 3-540-06009-X, Zbl 0292.10016
Porteous, Ian R. (1995), Clifford Algebras and the Classical Groups , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 50, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 978-0-521-55177-9
Shafarevich, IR ; AO Remizov (2012), Álgebra lineal y geometría, Springer , ISBN 978-3-642-30993-9
Shilov, Georgi E. (1977), Silverman, Richard A. (ed.), Álgebra lineal , Dover, ISBN 0-486-63518-X
Zhelobenko, Dmitriĭ Petrovich (2006), Principales estructuras y métodos de la teoría de la representación , Traducciones de monografías matemáticas, Sociedad Estadounidense de Matemáticas , ISBN 0-8218-3731-1

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con formas bilineales .

"Forma bilineal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
"Forma bilineal". PlanetMath .

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