Cobordismo complejo

En matemáticas, el cobordismo complejo es una teoría de cohomología generalizada relacionada con el cobordismo de variedades . Su espectro se denota por MU. Es una teoría de cohomología excepcionalmente poderosa , pero puede ser bastante difícil de calcular, por lo que a menudo, en lugar de usarla directamente, se utilizan algunas teorías ligeramente más débiles derivadas de ella, como la cohomología de Brown-Peterson o la teoría K de Morava , que son más fáciles de calcular. .

Las teorías del cobordismo complejo de homología generalizada y cohomología fueron introducidas por Michael Atiyah  (1961) utilizando el espectro de Thom .

Espectro de cobordismo complejo

El bordismo complejo de un espacio es aproximadamente el grupo de clases de bordismo de variedades con una estructura lineal compleja en el paquete normal estable . El bordismo complejo es una teoría de homología generalizada , correspondiente a un espectro MU que puede describirse explícitamente en términos de espacios de Thom de la siguiente manera. ${\displaystyle MU^{*}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

El espacio es el espacio de Thom del paquete del plano universal sobre el espacio de clasificación del grupo unitario . La inclusión natural de induce un mapa de la doble suspensión a . Juntos, estos mapas dan el espectro ; es decir, es el colimit de homotopía de . ${\displaystyle MU(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle BU(n)}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle U(n+1)}$ ${\displaystyle \Sigma ^{2}MU(n)}$ ${\displaystyle MU(n+1)}$ ${\displaystyle MU}$ ${\displaystyle MU(n)}$

Ejemplos: es el espectro de la esfera. es la desuspensión de . ${\displaystyle MU(0)}$ ${\displaystyle MU(1)}$ ${\displaystyle \Sigma ^{\infty -2}\mathbb {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$

El teorema de la nilpotencia establece que, para cualquier espectro de anillo , el núcleo está formado por elementos nilpotentes. ^[1] El teorema implica en particular que, si es el espectro de la esfera, entonces para cualquier elemento de es nilpotente (un teorema de Goro Nishida ). (Prueba: si está en , entonces es una torsión, pero su imagen en , el anillo de Lazard , no puede ser torsión ya que es un anillo polinómico. Por lo tanto, debe estar en el núcleo). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \pi _{*}R\to \operatorname {MU} _{*}(R)}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \pi _{n}\mathbb {S} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi _{n}S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {MU} _{*}(\mathbb {S} )\simeq L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$

Leyes formales de grupos

John Milnor  (1960) y Sergei Novikov  (1960, 1962) demostraron que el anillo de coeficientes (igual al cobordismo complejo de un punto, o equivalentemente al anillo de clases de cobordismo de variedades establemente complejas) es un anillo polinómico en infinitos generadores de valores positivos. incluso grados. ${\displaystyle \pi _{*}(\operatorname {MU} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ]}$ ${\displaystyle x_{i}\in \pi _{2i}(\operatorname {MU} )}$

Escriba para un espacio proyectivo complejo de dimensión infinita , que es el espacio de clasificación para haces de líneas complejos, de modo que el producto tensorial de haces de líneas induce un mapa Una orientación compleja en un espectro de anillo conmutativo asociativo E es un elemento x en cuya restricción es 1, si este último anillo se identifica con el anillo de coeficientes de E. Un espectro E con tal elemento x se llama espectro de anillo orientado complejo . ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mu :\mathbb {CP} ^{\infty }\times \mathbb {CP} ^{\infty }\to \mathbb {CP} ^{\infty }.}$ ${\displaystyle E^{2}(\mathbb {CP} ^{\infty })}$ ${\displaystyle E^{2}(\mathbb {CP} ^{1})}$

Si E es un espectro de anillo orientado complejo, entonces

${\displaystyle E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })=E^{*}({\text{point}})[[x]]}$

${\displaystyle E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })\times E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })=E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]}$

y es una ley de grupo formal sobre el ring . ${\displaystyle \mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]}$ ${\displaystyle E^{*}({\text{point}})=\pi ^{*}(E)}$

El cobordismo complejo tiene una orientación compleja natural. Daniel Quillen  (1969) demostró que existe un isomorfismo natural desde su anillo de coeficientes hasta el anillo universal de Lazard , convirtiendo la ley formal de grupo del cobordismo complejo en la ley formal universal de grupo. En otras palabras, para cualquier ley de grupo formal F sobre cualquier anillo conmutativo R , existe un homomorfismo de anillo único desde MU ^* (punto) a R tal que F es el retroceso de la ley de grupo formal de cobordismo complejo.

Cohomología de Brown-Peterson

El cobordismo complejo sobre los racionales se puede reducir a la cohomología ordinaria sobre los racionales, por lo que el interés principal está en la torsión del cobordismo complejo. A menudo es más fácil estudiar la torsión de un primo a la vez localizando MU en un primo p ; En términos generales, esto significa que se elimina la torsión principal de p . La localización MU _p de MU en un p primo se divide como una suma de suspensiones de una teoría de cohomología más simple llamada cohomología de Brown-Peterson , descrita por primera vez por Brown y Peterson (1966). En la práctica, a menudo se realizan cálculos con cohomología de Brown-Peterson en lugar de con cobordismo complejo. El conocimiento de las cohomologías de Brown-Peterson de un espacio para todos los primos p es aproximadamente equivalente al conocimiento de su cobordismo complejo.

Clases de Conner-Floyd

El anillo es isomorfo al anillo formal de series de potencias donde los elementos cf se denominan clases de Conner-Floyd. Son los análogos de las clases de Chern para el cobordismo complejo. Fueron presentados por Conner y Floyd (1966). ${\displaystyle \operatorname {MU} ^{*}(BU)}$ ${\displaystyle \operatorname {MU} ^{*}({\text{point}})[[cf_{1},cf_{2},\ldots ]]}$

De manera similar es isomorfo al anillo polinómico. ${\displaystyle \operatorname {MU} _{*}(BU)}$ ${\displaystyle \operatorname {MU} _{*}({\text{point}})[[\beta _{1},\beta _{2},\ldots ]]}$

Operaciones de cohomología

El álgebra de Hopf MU _* (MU) es isomorfa al álgebra polinómica R[b ₁ , b ₂ , ...], donde R es el anillo de bordismo reducido de una esfera 0.

El coproducto viene dado por

${\displaystyle \psi (b_{k})=\sum _{i+j=k}(b)_{2i}^{j+1}\otimes b_{j}}$

donde la notación () _{2 i} significa tomar el trozo de grado 2 i . Esto se puede interpretar de la siguiente manera. El mapa

${\displaystyle x\to x+b_{1}x^{2}+b_{2}x^{3}+\cdots }$

es un automorfismo continuo del anillo de series de potencias formales en x , y el coproducto de MU _* (MU) da la composición de dos de esos automorfismos.

Ver también

• Secuencia espectral de Adams-Novikov
• Lista de teorías de cohomología
• Cobordismo algebraico

Notas

1. Lurie, Jacob (27 de abril de 2010), "El teorema de la nilpotencia (conferencia 25)" (PDF) , 252x notas , Universidad de Harvard

Referencias

• Adams, J. Frank (1974), Homotopía estable y homología generalizada, University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-00524-9
• Atiyah, Michael Francis (1961), "Bordismo y cobordismo", Proc. Filosofía de Cambridge. Soc. , 57 (2): 200–208, Bibcode :1961PCPS...57..200A, doi :10.1017/S0305004100035064, SEÑOR  0126856, S2CID  122937421
• Brown, Edgar H. Jr .; Peterson, Franklin P. (1966), "Un espectro cuya cohomología es el álgebra de potencias p ^-th reducidas ", Topología , 5 (2): 149–154, doi : 10.1016/0040-9383(66)90015-2 , SEÑOR  0192494 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.
• Conner, Pierre E .; Floyd, Edwin E. (1966), La relación del cobordismo con las teorías K , Lecture Notes in Mathematics, vol. 28, Berlín-Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0071091, ISBN 978-3-540-03610-4, SEÑOR  0216511
• Milnor, John (1960), "Sobre el anillo de cobordismo y un análogo complejo, Parte I", American Journal of Mathematics , 82 (3): 505–521, doi :10.2307/2372970, JSTOR  2372970 ${\displaystyle \Omega _{*}}$
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• Novikov, Sergei P. (1960), "Algunos problemas de topología de variedades relacionados con la teoría de los espacios de Thom", Matemáticas soviéticas. Dokl. , 1 : 717–720. Traducción de "О некоторых задачах топологии многообразий, связанных с теорией пространств Тома", Doklady Akademii Nauk SSSR , 132 (5): 1031–1034, MR  012181 5, Zbl  0094.35902.
• Novikov, Sergei P. (1962), "Propiedades de homotopía de los complejos de Thom. (Ruso)", Mat. SB. , Nueva serie, 57 : 407–442, SEÑOR  0157381
• Quillen, Daniel (1969), "Sobre las leyes formales de grupo de la teoría del cobordismo complejo y no orientado", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 75 (6): 1293–1298, doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12401-8 , SEÑOR  0253350.
• Ravenel, Douglas C. (1980), "El cobordismo complejo y sus aplicaciones a la teoría de la homotopía", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Helsinki, 1978) , vol. 1, Helsinki: Acad. Ciencia. Fennica, págs. 491–496, ISBN 978-951-41-0352-0, SEÑOR  0562646
• Ravenel, Douglas C. (1988), "Teoría del cobordismo complejo para teóricos de números", Curvas elípticas y formas modulares en topología algebraica , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1326, Berlín / Heidelberg: Springer, págs. 123-133, doi :10.1007/BFb0078042, ISBN 978-3-540-19490-3, ISSN  1617-9692
• Ravenel, Douglas C. (2003), Cobordismo complejo y grupos de esferas de homotopía estable (2ª ed.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-2967-7, señor  0860042
• Rudyak, Yuli B. (2001) [1994], "Cobordismo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Stong, Robert E. (1968), Notas sobre la teoría del cobordismo , Princeton University Press
• Thom, René (1954), "Quelques propriétés globales des variétés différentiables", Commentarii Mathematici Helvetici , 28 : 17–86, doi :10.1007/BF02566923, MR  0061823, S2CID  120243638

enlaces externos

• Bordismo complejo en el atlas múltiple.
• Teoría de la cohomología del cobordismo en el n Lab.