En matemáticas, la cohomología de Brown-Peterson es una teoría de cohomología generalizada introducida por Edgar H. Brown y Franklin P. Peterson (1966), dependiendo de la elección del primo p . Douglas Ravenel lo describe en detalle (2003, capítulo 4). Su espectro representativo se denota por BP.
Cobordismo complejo e idempotente de Quillen
La cohomología de Brown-Peterson BP es un sumando de MU ( p ) , que es un cobordismo complejo MU localizado en un p primo . De hecho, MU (p) es un producto en cuña de suspensiones de BP.
Para cada p primo , Daniel Quillen demostró que existe un mapa idempotente único de espectros de anillo ε desde MUQ ( p ) hacia sí mismo, con la propiedad de que ε([CP n ]) es [CP n ] si n +1 es una potencia de p y 0 en caso contrario. El espectro BP es la imagen de este idempotente ε.
Estructura de la PA
El anillo de coeficientes es un álgebra polinomial sobre generadores en grados para .![{\displaystyle \pi _{*}({\text{BP}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {Z} _ {(p)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle v_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 2(p^{n}-1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\geq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es isomorfo al anillo polinómico con generadores en grados .![{\displaystyle \pi _{*}({\text{BP}})[t_{1},t_{2},\ldots ]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi _{*}({\text{BP}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle t_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\text{BP}}_{2(p^{i}-1)}({\text{BP}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 2(p^{i}-1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La cohomología del algebroide de Hopf es el término inicial de la secuencia espectral de Adams-Novikov para calcular grupos de esferas de homotopía p-local .![{\displaystyle (\pi _{*}({\text{BP}}),{\text{BP}}_{*}({\text{BP}}))}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
BP es el ejemplo universal de una teoría de cohomología orientada compleja cuya ley de grupo formal asociada es p-típica.
Ver también
Referencias
- Adams, J. Frank (1974), Homotopía estable y homología generalizada, University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-00524-9
- Brown, Edgar H. Jr .; Peterson, Franklin P. (1966), "Un espectro cuya cohomología Z p es el álgebra de potencias p th reducidas ", Topología , 5 (2): 149–154, doi : 10.1016/0040-9383(66)90015-2 , señor 0192494.
- Quillen, Daniel (1969), "Sobre las leyes formales de grupo de la teoría del cobordismo complejo y no orientado" (PDF) , Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 75 (6): 1293–1298, doi : 10.1090/S0002-9904-1969- 12401-8 , SEÑOR 0253350.
- Ravenel, Douglas C. (2003), Cobordismo complejo y grupos de esferas de homotopía estable (2ª ed.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-2967-7
- Wilson, W. Stephen (1982), Homología de Brown-Peterson: introducción y muestra, Serie de conferencias regionales de matemáticas de CBMS, vol. 48, Washington, DC: Conference Board of the Mathematical Sciences, ISBN 978-0-8219-1699-5, señor 0655040