Cobordismo complejo

En matemáticas, el cobordismo complejo es una teoría de cohomología generalizada relacionada con el cobordismo de variedades . Su espectro se denota por MU. Es una teoría de cohomología excepcionalmente poderosa , pero puede ser bastante difícil de calcular, por lo que a menudo, en lugar de usarla directamente, se usan algunas teorías ligeramente más débiles derivadas de ella, como la cohomología de Brown-Peterson o la teoría K de Morava , que son más fáciles de calcular.

Las teorías generalizadas de homología y cohomología del complejo cobordismo fueron introducidas por Michael Atiyah  (1961) utilizando el espectro de Thom .

Espectro de cobordismo complejo

El bordismo complejo de un espacio es aproximadamente el grupo de clases de bordismo de variedades con una estructura lineal compleja en el fibrado normal estable . El bordismo complejo es una teoría de homología generalizada , correspondiente a una UM espectral que se puede describir explícitamente en términos de espacios de Thom de la siguiente manera. ${\displaystyle MU^{*}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

El espacio es el espacio de Thom del fibrado del plano universal sobre el espacio clasificador del grupo unitario . La inclusión natural de en induce una función de la doble suspensión a . En conjunto, estas funciones dan el espectro ; es decir, es el colimite de homotopía de . ${\displaystyle MU(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle BU(n)}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle U(n+1)}$ ${\displaystyle \Sigma ^{2}MU(n)}$ ${\displaystyle MU(n+1)}$ ${\displaystyle MU}$ ${\displaystyle MU(n)}$

Ejemplos: es el espectro de la esfera. es la desuspensión de . ${\displaystyle MU(0)}$ ${\displaystyle MU(1)}$ ${\displaystyle \Sigma ^{\infty -2}\mathbb {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$

El teorema de nilpotencia establece que, para cualquier espectro de anillo , el núcleo de consiste en elementos nilpotentes. ^[1] El teorema implica en particular que, si es el espectro de la esfera, entonces para cualquier , cada elemento de es nilpotente (un teorema de Goro Nishida ). (Demostración: si está en , entonces es una torsión pero su imagen en , el anillo de Lazard , no puede ser torsión ya que es un anillo polinomial. Por lo tanto, debe estar en el núcleo.) ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \pi _{*}R\to \operatorname {MU} _{*}(R)}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \pi _{n}\mathbb {S} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi _{n}S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {MU} _{*}(\mathbb {S} )\simeq L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$

Leyes formales de grupo

John Milnor  (1960) y Sergei Novikov  (1960, 1962) demostraron que el anillo de coeficientes (igual al cobordismo complejo de un punto, o equivalentemente el anillo de clases de cobordismo de variedades establemente complejas) es un anillo polinomial en infinitos generadores de grados pares positivos. ${\displaystyle \pi _{*}(\operatorname {MU} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ]}$ ${\displaystyle x_{i}\in \pi _{2i}(\operatorname {MU} )}$

Escriba para el espacio proyectivo complejo de dimensión infinita , que es el espacio de clasificación para fibrados lineales complejos, de modo que el producto tensorial de fibrados lineales induzca una función Una orientación compleja en un espectro de anillo conmutativo asociativo E es un elemento x en cuya restricción a es 1, si el último anillo se identifica con el anillo de coeficientes de E. Un espectro E con dicho elemento x se denomina espectro de anillo orientado complejo . ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mu :\mathbb {CP} ^{\infty }\times \mathbb {CP} ^{\infty }\to \mathbb {CP} ^{\infty }.}$ ${\displaystyle E^{2}(\mathbb {CP} ^{\infty })}$ ${\displaystyle E^{2}(\mathbb {CP} ^{1})}$

Si E es un espectro de anillo orientado complejo, entonces

${\displaystyle E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })=E^{*}({\text{point}})[[x]]}$

${\displaystyle E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })\times E^{*}(\mathbb {CP} ^{\infty })=E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]}$

y es una ley de grupo formal sobre el anillo . ${\displaystyle \mu ^{*}(x)\in E^{*}({\text{point}})[[x\otimes 1,1\otimes x]]}$ ${\displaystyle E^{*}({\text{point}})=\pi ^{*}(E)}$

El cobordismo complejo tiene una orientación compleja natural. Daniel Quillen  (1969) demostró que existe un isomorfismo natural desde su anillo de coeficientes hasta el anillo universal de Lazard , convirtiendo la ley formal de grupo del cobordismo complejo en la ley formal de grupo universal. En otras palabras, para cualquier ley formal de grupo F sobre cualquier anillo conmutativo R , existe un homomorfismo de anillo único desde MU ^* (punto) hasta R tal que F es el pullback de la ley formal de grupo del cobordismo complejo.

Cohomología de Brown-Peterson

El cobordismo complejo sobre los racionales se puede reducir a la cohomología ordinaria sobre los racionales, por lo que el interés principal está en la torsión del cobordismo complejo. A menudo es más fácil estudiar la torsión de un primo a la vez localizando MU en un primo p ; en términos generales, esto significa que uno elimina la torsión prima a p . La localización MU _p de MU en un primo p se divide como una suma de suspensiones de una teoría de cohomología más simple llamada cohomología de Brown-Peterson , descrita por primera vez por Brown y Peterson (1966). En la práctica, a menudo se hacen cálculos con la cohomología de Brown-Peterson en lugar de con el cobordismo complejo. El conocimiento de las cohomologías de Brown-Peterson de un espacio para todos los primos p es aproximadamente equivalente al conocimiento de su cobordismo complejo.

Clases de Conner-Floyd

El anillo es isomorfo al anillo de series de potencias formales , donde los elementos cf se denominan clases de Conner-Floyd. Son los análogos de las clases de Chern para el cobordismo complejo. Fueron introducidas por Conner y Floyd (1966). ${\displaystyle \operatorname {MU} ^{*}(BU)}$ ${\displaystyle \operatorname {MU} ^{*}({\text{point}})[[cf_{1},cf_{2},\ldots ]]}$

De manera similar es isomorfo al anillo polinomial ${\displaystyle \operatorname {MU} _{*}(BU)}$ ${\displaystyle \operatorname {MU} _{*}({\text{point}})[[\beta _{1},\beta _{2},\ldots ]]}$

Operaciones de cohomología

El álgebra de Hopf MU _* (MU) es isomorfa al álgebra polinomial R[b ₁ , b ₂ , ...], donde R es el anillo de bordismo reducido de una 0-esfera.

El coproducto viene dado por

${\displaystyle \psi (b_{k})=\sum _{i+j=k}(b)_{2i}^{j+1}\otimes b_{j}}$

donde la notación () _{2 i} significa tomar la parte de grado 2 i . Esto se puede interpretar de la siguiente manera. El mapa

${\displaystyle x\to x+b_{1}x^{2}+b_{2}x^{3}+\cdots }$

es un automorfismo continuo del anillo de series de potencias formales en x , y el coproducto de MU _* (MU) da la composición de dos de dichos automorfismos.

Véase también

• Secuencia espectral de Adams-Novikov
• Lista de teorías de cohomología
• Cobordismo algebraico

Notas

1. Lurie, Jacob (27 de abril de 2010), "El teorema de la nilpotencia (conferencia 25)" (PDF) , 252 notas , Universidad de Harvard

Referencias

• Adams, J. Frank (1974), Homotopía estable y homología generalizada, University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-00524-9
• Atiyah, Michael Francis (1961), "Bordismo y cobordismo", Proc. Cambridge Philos. Soc. , 57 (2): 200–208, Bibcode :1961PCPS...57..200A, doi :10.1017/S0305004100035064, MR  0126856, S2CID  122937421
• Brown, Edgar H. Jr. ; Peterson, Franklin P. (1966), "Un espectro cuya cohomología es el álgebra de potencias p ^reducidas ", Topología , 5 (2): 149–154, doi : 10.1016/0040-9383(66)90015-2 , MR  0192494 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.
• Conner, Pierre E. ; Floyd, Edwin E. (1966), La relación del cobordismo con las teorías K , Lecture Notes in Mathematics, vol. 28, Berlín-Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0071091, ISBN 978-3-540-03610-4, Sr.  0216511
• Milnor, John (1960), "Sobre el anillo de cobordismo y un análogo complejo, Parte I", American Journal of Mathematics , 82 (3): 505–521, doi :10.2307/2372970, JSTOR  2372970 ${\displaystyle \Omega _{*}}$
• Morava, Jack (2007). "Cobordismo complejo y topología algebraica". arXiv : 0707.3216 [math.HO].
• Novikov, Sergei P. (1960), "Algunos problemas en la topología de variedades relacionados con la teoría de espacios de Thom", Soviet Math. Dokl. , 1 : 717–720. Traducción de "О некоторых задачах топологии многообразий, связанных с теорией пространств Тома", Doklady Akademii Nauk SSSR , 132 (5): 1031–1034, MR  0121815, Zbl  0094.35902.
• Novikov, Sergei P. (1962), "Propiedades de homotopía de los complejos de Thom. (Ruso)", Mat. Sb. , New Series, 57 : 407–442, MR  0157381
• Quillen, Daniel (1969), "Sobre las leyes de grupo formales de la teoría del cobordismo no orientado y complejo", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 75 (6): 1293–1298, doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12401-8 , MR  0253350.
• Ravenel, Douglas C. (1980), "Cobordismo complejo y sus aplicaciones a la teoría de la homotopía", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Helsinki, 1978) , vol. 1, Helsinki: Acad. Sci. Fennica, págs. 491–496, ISBN 978-951-41-0352-0, Sr.  0562646
• Ravenel, Douglas C. (1988), "Teoría del cobordismo complejo para teóricos de números", Curvas elípticas y formas modulares en topología algebraica , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1326, Berlín/Heidelberg: Springer, págs. 123–133, doi :10.1007/BFb0078042, ISBN 978-3-540-19490-3, ISSN  1617-9692
• Ravenel, Douglas C. (2003), Cobordismo complejo y grupos de homotopía estables de esferas (2.ª ed.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-2967-7, Sr.  0860042
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• Stong, Robert E. (1968), Notas sobre la teoría del cobordismo , Princeton University Press
• Thom, René (1954), "Quelques propriétés globales des variétés différentiables", Commentarii Mathematici Helvetici , 28 : 17–86, doi :10.1007/BF02566923, MR  0061823, S2CID  120243638

Enlaces externos

• Bordismo complejo en el atlas de variedades
• Teoría de la cohomología del cobordismo en el laboratorio n