El anillo universal de Lazard

En matemáticas, el anillo universal de Lazard es un anillo introducido por Michel Lazard en Lazard (1955) sobre el cual se define la ley formal de grupo unidimensional conmutativa universal .

Existe una ley de grupo formal unidimensional conmutativa universal sobre un anillo conmutativo universal definido de la siguiente manera.

${\displaystyle F(x,y)}$

ser

${\displaystyle x+y+\sum _{i,j}c_{i,j}x^{i}y^{j}}$

para indeterminados , y definimos el anillo universal R como el anillo conmutativo generado por los elementos , con las relaciones que imponen las leyes de asociatividad y conmutatividad para las leyes formales de grupos. Más o menos por definición, el anillo R tiene la siguiente propiedad universal: ${\displaystyle c_{i,j}}$ ${\displaystyle c_{i,j}}$

Para cada anillo conmutativo S , las leyes de grupo formales unidimensionales sobre S corresponden a homomorfismos de anillo de R a  S .

El anillo conmutativo R construido anteriormente se conoce como anillo universal de Lazard . A primera vista parece increíblemente complicado: las relaciones entre sus generadores son muy confusas. Sin embargo, Lazard demostró que tiene una estructura muy simple: es simplemente un anillo polinomial (sobre los enteros) sobre generadores de grado 1, 2, 3, ..., donde tiene grado . Daniel Quillen  (1969) demostró que el anillo de coeficientes del cobordismo complejo es naturalmente isomorfo como un anillo graduado al anillo universal de Lazard. Por lo tanto, los topólogos comúnmente regradúan el anillo de Lazard para que tenga grado , porque el anillo de coeficientes del cobordismo complejo está graduado uniformemente. ${\displaystyle c_{i,j}}$ ${\displaystyle (i+j-1)}$ ${\displaystyle c_{i,j}}$ ${\displaystyle 2(i+j-1)}$

Referencias

• Adams, J. Frank (1974), Homotopía estable y homología generalizada, University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-00524-9
• Lazard, Michel (1955), "Sur les groupes de Lie formels à un paramètre", Bulletin de la Société Mathématique de France , 83 : 251–274, doi : 10.24033/bsmf.1462 , SEÑOR  0073925
• Lazard, Michel (1975), Grupos formales conmutativos , Lecture Notes in Mathematics, vol. 443, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0070554, ISBN 978-3-540-07145-7, Sr.  0393050
• Quillen, Daniel (1969), "Sobre las leyes de grupo formales de la teoría del cobordismo no orientado y complejo", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 75 (6): 1293–1298, doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12401-8 , MR  0253350