Suspensión (topología)

Suspensión de un círculo . El espacio original está en azul y los puntos finales contraídos están en verde.

En topología , una rama de las matemáticas , la suspensión de un espacio topológico X se obtiene intuitivamente estirando X hasta formar un cilindro y luego colapsando ambas caras extremas en puntos. Se considera que X está "suspendido" entre estos puntos finales. La suspensión de X se denota por SX ^[1] o susp( X ) . ^{[2] : 76}

Existe una variación de la suspensión para espacios puntiagudos , que se denomina suspensión reducida y se denota por Σ X. La suspensión "habitual" SX a veces se denomina suspensión no reducida , suspensión no basada o suspensión libre de X , para distinguirla de ΣX .

Suspensión gratuita

La suspensión (libre) de un espacio topológico se puede definir de varias maneras. ${\displaystyle SX}$ ${\displaystyle X}$

1. es el espacio cociente . En otras palabras, se puede construir de la siguiente manera: ${\displaystyle SX}$ ${\displaystyle (X\times [0,1])/(X\times \{0\},X\times \{1\})}$

• Construya el cilindro . ${\displaystyle X\times [0,1]}$
• Considere todo el conjunto como un solo punto ("pegue" todos sus puntos). ${\displaystyle X\times \{0\}}$
• Considere todo el conjunto como un solo punto ("pegue" todos sus puntos). ${\displaystyle X\times \{1\}}$

2 . Otra forma de escribir esto es:

${\displaystyle SX:=v_{0}\cup _{p_{0}}(X\times [0,1])\cup _{p_{1}}v_{1}\ =\ \varinjlim _{i\in \{0,1\}}{\bigl (}(X\times [0,1])\hookleftarrow (X\times \{i\})\xrightarrow {p_{i}} v_{i}{\bigr )},}$

Donde hay dos puntos , y para cada i en {0,1}, está la proyección al punto (una función que asigna todo a ). Es decir, la suspensión es el resultado de construir el cilindro , y luego sujetarlo por sus caras, y , a los puntos a lo largo de los salientes . ${\displaystyle v_{0},v_{1}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle SX}$ ${\displaystyle X\times [0,1]}$ ${\displaystyle X\times \{0\}}$ ${\displaystyle X\times \{1\}}$ ${\displaystyle v_{0},v_{1}}$ ${\displaystyle p_{i}:{\bigl (}X\times \{i\}{\bigr )}\to v_{i}}$

3. Se pueden ver dos conos en X, pegados entre sí en su base. ${\displaystyle SX}$

4. También se puede definir como la unión donde hay un espacio discreto con dos puntos. ^{[2] : 76} ${\displaystyle SX}$ ${\displaystyle X\star S^{0},}$ ${\displaystyle S^{0}}$

Propiedades

En términos generales, S aumenta la dimensión de un espacio en uno: por ejemplo, se necesita una n - esfera para una ( n + 1) -esfera para n ≥ 0.

Dado un mapa continuo, hay un mapa continuo definido por donde los corchetes denotan clases de equivalencia . Esto lo convierte en un functor de la categoría de espacios topológicos hacia sí mismo. ${\displaystyle f:X\rightarrow Y,}$ ${\displaystyle Sf:SX\rightarrow SY}$ ${\displaystyle Sf([x,t]):=[f(x),t],}$ ${\displaystyle S}$

Suspensión reducida

Si X es un espacio puntiagudo con punto base x ₀ , hay una variación de la suspensión que a veces es más útil. La suspensión reducida o suspensión basada Σ X de X es el cociente espacial:

${\displaystyle \Sigma X=(X\times I)/(X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_{0}\}\times I)}$.

Esto equivale a tomar SX y colapsar la línea ( x ₀ × I  ) que une los dos extremos en un solo punto. El punto base del espacio puntiagudo Σ X se considera la clase de equivalencia de ( x ₀ , 0).

Se puede demostrar que la suspensión reducida de X es homeomorfa al producto de aplastamiento de X con el círculo unitario S ¹ .

${\displaystyle \Sigma X\cong S^{1}\wedge X}$

Para espacios de buen comportamiento , como los complejos CW , la suspensión reducida de X es homotópicamente equivalente a la suspensión no basada.

Adjunción de funtores de espacio de bucle y suspensión reducida

Σ da lugar a un funtor de la categoría de espacios puntiagudos hacia sí mismo. Una propiedad importante de este funtor es que se deja adjunto al funtor y lleva un espacio puntiagudo a su espacio de bucle . En otras palabras, tenemos un isomorfismo natural. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega X}$

${\displaystyle \operatorname {Maps} _{*}\left(\Sigma X,Y\right)\cong \operatorname {Maps} _{*}\left(X,\Omega Y\right)}$

donde y son espacios puntiagudos y representa mapas continuos que preservan los puntos base. Esta conjunción se puede entender geométricamente de la siguiente manera: surge de si se adjunta un círculo puntiagudo a cada punto no base de , y los puntos base de todos estos círculos se identifican y pegan al punto base de . Ahora, para especificar un mapa puntiagudo desde hasta , necesitamos proporcionar mapas puntiagudos de cada uno de estos círculos puntiagudos hasta . Es decir, debemos asociar cada elemento de un bucle en (un elemento del espacio del bucle ), y el bucle trivial debe asociarse al punto base de : este es un mapa puntiagudo desde hasta . (Es necesario comprobar la continuidad de todos los mapas involucrados). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Maps} _{*}}$ ${\displaystyle \Sigma X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Omega Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega Y}$

Por tanto, la adjunción es similar al curry , llevando mapas de productos cartesianos a su forma curry, y es un ejemplo de la dualidad Eckmann-Hilton .

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Aplicaciones

La suspensión reducida se puede utilizar para construir un homomorfismo de grupos de homotopía , al que se aplica el teorema de suspensión de Freudenthal . En la teoría de la homotopía , los fenómenos que se conservan en suspensión, en un sentido adecuado, constituyen la teoría de la homotopía estable .

Ejemplos

Algunos ejemplos de suspensiones son: ^{[3] : 77, Ejercicio.1}

• La suspensión de una n-bola es homeomorfa a la (n+1)-bola.

Dessuspensión

La desuspensión es una operación parcialmente inversa a la suspensión. ^[4]

Ver también

• Teorema de la doble suspensión
• Cono (topología)
• Unirse (topología)

Referencias

1. Allen Hatcher , Topología algebraica. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 págs. ISBN  0-521-79160-X e ISBN 0-521-79540-0 
2. Matoušek, Jiří (2007). Uso del teorema de Borsuk-Ulam : conferencias sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría (2ª ed.). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler
3. Matoušek, Jiří (2007). Uso del teorema de Borsuk-Ulam : conferencias sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría (2ª ed.). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler, Sección 4.3
4. Wolcott, Lucas. "Imaginar el espacio de dimensiones negativas" (PDF) . fortelukeofmath.com . Consultado el 23 de junio de 2015 .

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