Teorema de suspensión de Freudenthal

Establece el concepto de estabilización de grupos de homotopía.

En matemáticas , y específicamente en el campo de la teoría de la homotopía , el teorema de suspensión de Freudenthal es el resultado fundamental que conduce al concepto de estabilización de grupos de homotopía y, en última instancia, a la teoría de la homotopía estable . Explica el comportamiento de tomar suspensiones y aumentar simultáneamente el índice de los grupos de homotopía del espacio en cuestión. Fue demostrado en 1937 por Hans Freudenthal .

El teorema es un corolario del teorema de escisión de homotopía .

Declaración del teorema

Sea X un espacio puntiagudo n -conexo (un complejo CW puntiagudo o un conjunto simplicial puntiagudo ). El mapa

${\displaystyle X\to \Omega (\Sigma X)}$

induce un mapa

${\displaystyle \pi _{k}(X)\to \pi _{k}(\Omega (\Sigma X))}$

en grupos de homotopía, donde Ω denota el funtor de bucle y Σ denota el funtor de suspensión reducido . Luego, el teorema de la suspensión establece que el mapa inducido en grupos de homotopía es un isomorfismo si k ≤ 2 n y un epimorfismo si k = 2 n + 1.

Un resultado básico sobre espacios de bucle da la relación

${\displaystyle \pi _{k}(\Omega (\Sigma X))\cong \pi _{k+1}(\Sigma X)}$

por lo que el teorema podría expresarse en términos del mapa

${\displaystyle \pi _{k}(X)\to \pi _{k+1}(\Sigma X),}$

con la pequeña salvedad de que en este caso hay que tener cuidado con la indexación.

Prueba

Como se mencionó anteriormente, el teorema de suspensión de Freudenthal se deriva rápidamente de la escisión de homotopía ; esta prueba es en términos del mapa natural . Si un espacio es conexo, entonces el par de espacios es conexo, donde está el cono reducido ; esto se sigue de la secuencia exacta larga de homotopía relativa . Podemos descomponerlo como dos copias de , digamos , cuya intersección es . Entonces, la escisión de homotopía dice el mapa de inclusión: ${\displaystyle \pi _{k}(X)\to \pi _{k+1}(\Sigma X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (CX,X)}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle CX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma X}$ ${\displaystyle CX}$ ${\displaystyle (CX)_{+},(CX)_{-}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle ((CX)_{+},X)\subset (\Sigma X,(CX)_{-})}$

induce isomorfismos en y una sobreyección en . De la misma secuencia exacta relativamente larga, y dado que además los conos son contráctiles, ${\displaystyle \pi _{i},i<2n+2}$ ${\displaystyle \pi _{2n+2}}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)=\pi _{i+1}(CX,X),}$

${\displaystyle \pi _{i}(\Sigma X,(CX)_{-})=\pi _{i}(\Sigma X).}$

Juntando todo esto, obtenemos

${\displaystyle \pi _{i}(X)=\pi _{i+1}((CX)_{+},X)=\pi _{i+1}((\Sigma X,(CX)_{-})=\pi _{i+1}(\Sigma X)}$

para , es decir , como se reivindica anteriormente; porque los mapas izquierdo y derecho son isomorfismos, independientemente de cuán conectados estén, y el del medio es una sobreyección por escisión, por lo que la composición es una sobreyección como se afirma. ${\displaystyle i+1<2n+2}$ ${\displaystyle i\leqslant 2n}$ ${\displaystyle i=2n+1}$ ${\displaystyle X}$

Corolario 1

Sea S ⁿ la n -esfera y observe que está ( n − 1) -conectada de modo que los grupos se estabilizan según el teorema de Freudenthal. Estos grupos representan el k -ésimo grupo de esferas de homotopía estable . ${\displaystyle \pi _{n+k}(S^{n})}$ ${\displaystyle n\geqslant k+2}$

Corolario 2

De manera más general, para k fijo ≥ 1, k ≤ 2 n para n suficientemente grande , de modo que cualquier n -espacio conectado X tendrá correspondientes grupos de homotopía estabilizados. Estos grupos son en realidad los grupos de homotopía de un objeto correspondiente a X en la categoría de homotopía estable .

Referencias

• Freudenthal, H. (1938), "Über die Klassen der Sphärenabbildungen. I. Große Dimensionen", Compositio Mathematica , 5 : 299–314.
• Goerss, PG; Jardine, JF (1999), Teoría de la homotopía simple , Progreso en Matemáticas, vol. 174, Basilea-Boston-Berlín: Birkhäuser.
• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.
• Whitehead, GW (1953), "Sobre los teoremas de Freudenthal", Annals of Mathematics , 57 (2): 209–228, doi :10.2307/1969855, JSTOR  1969855, MR  0055683.