Espacio de bucle

Espacio topológico

En topología , una rama de las matemáticas , el espacio de bucle Ω X de un espacio topológico puntiagudo X es el espacio de bucles (basados) en X , es decir, mapas puntiagudos continuos desde el círculo puntiagudo S ¹ a X , equipados con la topología compacta-abierta. . Se pueden multiplicar dos bucles mediante concatenación . Con esta operación, el espacio del bucle es un espacio A ∞ . Es decir, la multiplicación es homotópica-coherentemente asociativa .

El conjunto de componentes de ruta de Ω X , es decir, el conjunto de clases de equivalencia de homotopía basada en bucles basados ​​en X , es un grupo , el grupo fundamental π ₁ ( X ).

Los espacios de bucle iterados de X se forman aplicando Ω varias veces.

Existe una construcción análoga para espacios topológicos sin punto de base. El espacio de bucle libre de un espacio topológico X es el espacio de aplicaciones del círculo S ¹ a X con la topología compacta-abierta. El espacio de bucle libre de X a menudo se denota por . ${\displaystyle {\mathcal {L}}X}$

Como functor , la construcción del espacio del bucle libre está adjunta a la derecha del producto cartesiano con el círculo, mientras que la construcción del espacio del bucle está adjunta a la derecha de la suspensión reducida . Esta adición explica gran parte de la importancia de los espacios de bucle en la teoría de la homotopía estable . (Un fenómeno relacionado en informática es el curry , donde el producto cartesiano es adjunto al functor hom .) Informalmente, esto se conoce como dualidad de Eckmann-Hilton .

Dualidad Eckmann-Hilton

El espacio del bucle es dual a la suspensión del mismo espacio; esta dualidad a veces se llama dualidad de Eckmann-Hilton . La observación básica es que

${\displaystyle [\Sigma Z,X]\approxeq [Z,\Omega X]}$

donde es el conjunto de clases de homotopía de mapas , y es la suspensión de A, y denota el homeomorfismo natural . Este homeomorfismo es esencialmente el del curry , módulo de los cocientes necesarios para convertir los productos en productos reducidos. ${\displaystyle [A,B]}$ ${\displaystyle A\rightarrow B}$ ${\displaystyle \Sigma A}$ ${\displaystyle \approxeq }$

En general, no tiene una estructura de grupo para espacios arbitrarios y . Sin embargo, se puede demostrar que y tienen estructuras de grupo naturales cuando y son puntiagudos , y el isomorfismo antes mencionado es de esos grupos. ^[1] Así, el establecimiento (la esfera) da la relación ${\displaystyle [A,B]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [\Sigma Z,X]}$ ${\displaystyle [Z,\Omega X]}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z=S^{k-1}}$ ${\displaystyle k-1}$

${\displaystyle \pi _{k}(X)\approxeq \pi _{k-1}(\Omega X)}$.

Esto se deduce ya que el grupo de homotopía se define como y las esferas se pueden obtener mediante suspensiones entre sí, es decir . ^[2] ${\displaystyle \pi _{k}(X)=[S^{k},X]}$ ${\displaystyle S^{k}=\Sigma S^{k-1}}$

Ver también

• Periodicidad del bot
• Espacio Eilenberg-MacLane
• bucle libre
• grupo fundamental
• La conjetura de Gray.
• Lista de topologías
• grupo de bucle
• Ruta (topología)
• Cuasigrupo
• Espectro (topología)
• Espacio de ruta (topología algebraica)

Referencias

1. May, JP (1999), Un curso conciso en topología algebraica (PDF) , U. Chicago Press, Chicago , consultado el 27 de agosto de 2016 (Ver capítulo 8, sección 2)
2. Topospaces wiki: espacio de bucle de un espacio topológico basado

• Adams, John Frank (1978), Espacios de bucle infinito, Annals of Mathematics Studies, vol. 90, Prensa de la Universidad de Princeton , ISBN 978-0-691-08207-3, señor  0505692
• May, J. Peter (1972), La geometría de los espacios de bucle iterados, Lecture Notes in Mathematics, vol. 271, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0067491, ISBN 978-3-540-05904-2, SEÑOR  0420610