En matemáticas , un conjunto simplicial es un objeto compuesto de simples de una manera específica. Los conjuntos simpliciales son generalizaciones de dimensiones superiores de gráficos dirigidos , conjuntos parcialmente ordenados y categorías . Formalmente, un conjunto simplicial puede definirse como un functor contravariante de la categoría simplex a la categoría de conjuntos . Los conjuntos simples fueron introducidos en 1950 por Samuel Eilenberg y Joseph A. Zilber. [1]
Todo conjunto simplicial da lugar a un espacio topológico "agradable" , conocido como su realización geométrica. Esta realización consta de simples geométricos , pegados entre sí según las reglas del conjunto simplicial. De hecho, uno puede ver un conjunto simplicial como una construcción puramente combinatoria diseñada para capturar la esencia de un espacio topológico " bien comportado " para los propósitos de la teoría de la homotopía . Específicamente, la categoría de conjuntos simpliciales lleva una estructura de modelo natural , y la categoría de homotopía correspondiente es equivalente a la categoría de homotopía familiar de espacios topológicos.
Los conjuntos simples se utilizan para definir cuasicategorías , una noción básica de la teoría de categorías superiores . Una construcción análoga a la de conjuntos simpliciales se puede llevar a cabo en cualquier categoría, no sólo en la categoría de conjuntos, dando lugar a la noción de objetos simpliciales .
Un conjunto simplicial es un modelo categórico (es decir, puramente algebraico) que captura aquellos espacios topológicos que pueden construirse (o representarse fielmente hasta la homotopía) a partir de simples y sus relaciones de incidencia. Esto es similar al enfoque de los complejos CW para modelar espacios topológicos, con la diferencia crucial de que los conjuntos simpliciales son puramente algebraicos y no conllevan ninguna topología real.
Para volver a los espacios topológicos reales, existe un functor de realización geométrica que convierte conjuntos simpliciales en espacios de Hausdorff generados de forma compacta . La mayoría de los resultados clásicos sobre complejos CW en la teoría de la homotopía se generalizan mediante resultados análogos para conjuntos simpliciales. Si bien los topólogos algebraicos continúan prefiriendo en gran medida los complejos CW, existe un contingente creciente de investigadores interesados en utilizar conjuntos simpliciales para aplicaciones en geometría algebraica donde los complejos CW no existen naturalmente.
Los conjuntos simples pueden verse como una generalización de dimensiones superiores de multigrafos dirigidos . Un conjunto simplicial contiene vértices (conocidos como "símplices 0" en este contexto) y flechas ("símplices 1") entre algunos de estos vértices. Se pueden conectar dos vértices mediante varias flechas y también se permiten bucles dirigidos que conectan un vértice consigo mismo. A diferencia de los multigrafos dirigidos, los conjuntos simpliciales también pueden contener símplices superiores. Un 2-símplex, por ejemplo , puede considerarse como una forma "triangular" bidimensional delimitada por una lista de tres vértices A , B , C y tres flechas B → C , A → C y A → B. En general, un n -símplex es un objeto formado por una lista de n + 1 vértices (que son 0-símplices) y n + 1 caras (que son ( n − 1) -símplices). Los vértices de la i -ésima cara son los vértices del n -simplex menos el i -ésimo vértice. Los vértices de un simplex no necesitan ser distintos y un simplex no está determinado por sus vértices y caras: dos simples diferentes pueden compartir la misma lista de caras (y por lo tanto la misma lista de vértices), al igual que dos flechas diferentes en un multigrafo pueden conecta los mismos dos vértices.
Los conjuntos simpliciales no deben confundirse con los complejos simpliciales abstractos , que generalizan grafos simples no dirigidos en lugar de multigrafos dirigidos.
Formalmente, un conjunto simplicial X es una colección de conjuntos X n , n = 0, 1, 2, ..., junto con ciertas aplicaciones entre estos conjuntos: las aplicaciones de caras d n , i : X n → X n −1 ( n = 1, 2, 3, ... y 0 ≤ i ≤ n ) y mapas de degeneración s n , i : X n → X n +1 ( n = 0, 1, 2, ... y 0 ≤ i ≤ norte ). Pensamos en los elementos de X n como los n -símplices de X . El mapa d n , i asigna a cada n -simplex su i -ésima cara, la cara "opuesta a" (es decir, que no contiene) el i -ésimo vértice. El mapa s n , i asigna a cada n -simplex el degenerado ( n +1)-simplex que surge del dado duplicando el i -ésimo vértice. Esta descripción requiere implícitamente ciertas relaciones de coherencia entre los mapas d n , i y s n , i . En lugar de exigir explícitamente estas identidades simplistas como parte de la definición, la breve y elegante definición moderna utiliza el lenguaje de la teoría de categorías .
Sea Δ la categoría simplex . Los objetos de Δ son conjuntos ordenados linealmente no vacíos de la forma
con n ≥0. Los morfismos en Δ son (no estrictamente) funciones que preservan el orden entre estos conjuntos.
Un conjunto simplicial X es un funtor contravariante
donde Conjunto es la categoría de conjuntos . (De manera alternativa y equivalente, se pueden definir conjuntos simpliciales como functores covariantes de la categoría opuesta Δ op a Set ). Dado un conjunto simplicial X, a menudo escribimos X n en lugar de X ([ n ]).
Los conjuntos simpliciales forman una categoría, normalmente denominada sSet , cuyos objetos son conjuntos simpliciales y cuyos morfismos son transformaciones naturales entre ellos. Esto no es más que la categoría de prehaces en Δ. Como tal, es un topos .
La categoría simplex Δ es generada por dos familias de morfismos (mapas) particularmente importantes, cuyas imágenes bajo un functor de conjunto simplicial dado se denominan mapas de caras y mapas de degeneración de ese conjunto simplicial.
Los mapas de caras de un conjunto simplicial X son las imágenes en ese conjunto simplicial de morfismos , donde está la única inyección (que preserva el orden) que "falla" . Denotemos estos mapas de caras con respectivamente, por lo que es un mapa . Si el primer índice es claro, escribimos en lugar de .
Los mapas de degeneración del conjunto simplicial X son las imágenes en ese conjunto simplicial de los morfismos , donde está la única sobreyección (que preserva el orden) que "golpea" dos veces. Denotemos estos mapas de degeneración por respectivamente, por lo que es un mapa . Si el primer índice es claro, escribimos en lugar de .
Los mapas definidos satisfacen las siguientes identidades simpliciales :
Por el contrario, dada una secuencia de conjuntos X n junto con mapas y que satisfacen las identidades simpliciales, existe un conjunto simplicial único X que tiene estos mapas de cara y degeneración. Por tanto, las identidades proporcionan una forma alternativa de definir conjuntos simpliciales.
Dado un conjunto parcialmente ordenado ( S ,≤), podemos definir un conjunto simplicial NS , el nervio de S , de la siguiente manera: para cada objeto [ n ] de Δ establecemos NS ([ n ]) = hom po-set ( [ n ] , S ), los mapas que preservan el orden de [ n ] a S . Cada morfismo φ:[ n ]→[ m ] en Δ es un mapa que preserva el orden y, a través de la composición, induce un mapa NS (φ): NS ([ m ]) → NS ([ n ]). Es sencillo comprobar que NS es un funtor contravariante de Δ a Set : un conjunto simplicial.
Concretamente, los n -símplices del nervio NS , es decir, los elementos de NS n = NS ([ n ]), pueden considerarse como secuencias ordenadas de longitud-( n +1) de elementos de S : ( a 0 ≤ a 1 ≤ ... ≤ an ) . El mapa de caras d i elimina el i -ésimo elemento de dicha lista, y el mapa de degeneración s i duplica el i -ésimo elemento.
Se puede realizar una construcción similar para cada categoría C , para obtener el nervio NC de C. Aquí, NC ([ n ]) es el conjunto de todos los funtores de [ n ] a C , donde consideramos [ n ] como una categoría con objetos 0,1,..., n y un único morfismo de i a j siempre que yo ≤ j .
Concretamente, los n -simplices del nervio NC pueden considerarse como secuencias de n morfismos componibles en C : a 0 → a 1 → ... → a n . (En particular, los 0-simplices son los objetos de C y los 1-simplices son los morfismos de C ). El mapa de caras d 0 elimina el primer morfismo de dicha lista, el mapa de caras d n elimina el último y el el mapa de caras d i para 0 < i < n elimina a i y compone los morfismos i -ésimo y ( i + 1)ésimo. Los mapas de degeneración si alargan la secuencia insertando un morfismo de identidad en la posición i .
Podemos recuperar el poset S del nervio NS y la categoría C del nervio NC ; en este sentido, los conjuntos simpliciales generalizan posets y categorías.
Otra clase importante de ejemplos de conjuntos simpliciales viene dada por el conjunto singular SY de un espacio topológico Y. Aquí SY n consta de todos los mapas continuos desde el n -simplex topológico estándar hasta Y . El conjunto singular se explica con más detalle a continuación.
El estándar n -simplex , denotado Δ n , es un conjunto simplicial definido como el funtor hom Δ (-, [ n ]) donde [ n ] denota el conjunto ordenado {0, 1, ... , n } del primero ( n + 1) números enteros no negativos. (En muchos textos, se escribe como hom([ n ],-) donde se entiende que homset está en la categoría opuesta Δ op . [2] )
Según el lema de Yoneda , los n -simplices de un conjunto simplicial X están en correspondencia 1–1 con las transformaciones naturales de Δ n a X, es decir .
Además, X da lugar a una categoría de simples , denotada por , cuyos objetos son aplicaciones ( es decir, transformaciones naturales) Δ n → X y cuyos morfismos son transformaciones naturales Δ n → Δ m sobre X que surgen de aplicaciones [ n ] → [ m ] en Δ. Es decir, es una categoría de sector de Δ sobre X. El siguiente isomorfismo muestra que un conjunto simplicial X es un colimit de sus simples: [3]
donde el colimit se toma la categoría de simples de X .
Existe un functor |•|: sSet → CGHaus llamado realización geométrica llevando un conjunto simplicial X a su realización correspondiente en la categoría de espacios topológicos de Hausdorff generados compactamente . Intuitivamente, la realización de X es el espacio topológico (de hecho, un complejo CW ) obtenido si cada n- símplex de X se reemplaza por un n- símplex topológico (un cierto subconjunto n- dimensional del espacio euclidiano ( n + 1)-dimensional). definido a continuación) y estos simples topológicos están pegados entre sí de la misma manera que los simples de X se unen. En este proceso se pierde la orientación de los simples de X.
Para definir el funtor de realización, primero lo definimos en n-símplices estándar Δ n de la siguiente manera: la realización geométrica |Δ n | es el estándar topológico n - simplex en posición general dado por
La definición entonces, naturalmente, se extiende a cualquier conjunto simplicial X estableciendo
donde el colimit se toma sobre la categoría n-simplex de X. La realización geométrica es funcional en sSet .
Es significativo que utilicemos la categoría CGHaus de espacios Hausdorff generados de forma compacta, en lugar de la categoría Top de espacios topológicos, como categoría objetivo de la realización geométrica: al igual que sSet y a diferencia de Top , la categoría CGHaus es cartesiana cerrada ; el producto categórico se define de manera diferente en las categorías Top y CGHaus , y el de CGHaus corresponde al de sSet mediante realización geométrica.
El conjunto singular de un espacio topológico Y es el conjunto simplicial SY definido por
Cada aplicación que preserva el orden φ:[ n ]→[ m ] induce una aplicación continua |Δ n |→|Δ m | de forma natural, que por composición produce SY ( φ ) : SY ([ m ]) → SY ([ n ]). Esta definición es análoga a una idea estándar en homología singular de "sondear" un espacio topológico objetivo con n -símplices topológicos estándar. Además, el funtor singular S es adjunto derecho al funtor de realización geométrica descrito anteriormente, es decir:
para cualquier conjunto simplicial X y cualquier espacio topológico Y . Intuitivamente, esta conjunción puede entenderse de la siguiente manera: una aplicación continua desde la realización geométrica de X a un espacio Y se especifica de forma única si asociamos a cada simplex de X una aplicación continua desde el correspondiente simplex topológico estándar a Y, de tal manera que estos mapas son compatibles con la forma en que se unen los simples en X.
Para definir una estructura modelo en la categoría de conjuntos simpliciales, es necesario definir fibraciones, cofibraciones y equivalencias débiles. Se pueden definir fibraciones como fibraciones Kan . Un mapa de conjuntos simpliciales se define como una equivalencia débil si su realización geométrica es una equivalencia de homotopía débil de espacios . Un mapa de conjuntos simpliciales se define como una cofibración si es un monomorfismo de conjuntos simpliciales. Es un teorema difícil de Daniel Quillen que la categoría de conjuntos simpliciales con estas clases de morfismos se convierte en una categoría modelo y, de hecho, satisface los axiomas de una categoría modelo simplicial cerrada adecuada .
Un punto de inflexión clave de la teoría es que la realización geométrica de una fibración Kan es una fibración de espacios Serre . Con la estructura del modelo implementada, se puede desarrollar una teoría de homotopía de conjuntos simpliciales utilizando métodos estándar de álgebra homotópica . Además, la realización geométrica y los functores singulares dan una equivalencia de Quillen de categorías de modelos cerrados que inducen una equivalencia
entre la categoría de homotopía para conjuntos simpliciales y la categoría de homotopía habitual de complejos CW con clases de homotopía de mapas continuos entre ellos. Es parte de la definición general de un adjunto de Quillen que el funtor adjunto derecho (en este caso, el funtor de conjunto singular) lleva fibraciones (resp. fibraciones triviales) a fibraciones (resp. fibraciones triviales).
Un objeto simplicial X en una categoría C es un functor contravariante
o equivalentemente un functor covariante
donde Δ todavía denota la categoría simplex y op la categoría opuesta . Cuando C es la categoría de conjuntos , simplemente estamos hablando de los conjuntos simpliciales que se definieron anteriormente. Sea C la categoría de grupos o categoría de grupos abelianos , obtenemos las categorías sGrp de grupos simpliciales y sAb de grupos abelianos simpliciales , respectivamente.
Los grupos simpliciales y los grupos abelianos simpliciales también llevan estructuras modelo cerradas inducidas por las de los conjuntos simpliciales subyacentes.
Los grupos de homotopía de grupos abelianos simpliciales se pueden calcular haciendo uso de la correspondencia de Dold-Kan , que produce una equivalencia de categorías entre grupos abelianos simpliciales y complejos de cadenas acotadas y viene dada por functores.
y
Los conjuntos simples se utilizaron originalmente para dar descripciones precisas y convenientes de clasificación de espacios de grupos . Esta idea fue ampliamente extendida por la idea de Grothendieck de considerar espacios de clasificación de categorías, y en particular por el trabajo de Quillen sobre la teoría K algebraica . En este trabajo, que le valió la Medalla Fields , Quillen desarrolló métodos sorprendentemente eficientes para manipular infinitos conjuntos simpliciales. Estos métodos se utilizaron en otras áreas en la frontera entre la geometría algebraica y la topología. Por ejemplo, la homología André-Quillen de un anillo es una "homología no abeliana", definida y estudiada de esta manera.
Tanto la teoría K algebraica como la homología de André-Quillen se definen utilizando datos algebraicos para escribir un conjunto simplicial y luego tomando los grupos de homotopía de este conjunto simplicial.
Los métodos simples suelen ser útiles cuando se quiere demostrar que un espacio es un espacio de bucle . La idea básica es que si es un grupo con espacio de clasificación , entonces la homotopía es equivalente al espacio de bucle . Si en sí mismo es un grupo, podemos iterar el procedimiento y la homotopía es equivalente al espacio de doble bucle . En caso de que sea un grupo abeliano, podemos iterarlo infinitas veces y obtener que es un espacio de bucle infinito.
Incluso si no es un grupo abeliano, puede suceder que tenga una composición lo suficientemente conmutativa como para que se pueda usar la idea anterior para demostrar que es un espacio de bucle infinito. De esta manera se puede demostrar que la teoría algebraica de un anillo, considerada como espacio topológico, es un espacio de bucle infinito.
En los últimos años, los conjuntos simpliciales se han utilizado en la teoría de categorías superiores y en la geometría algebraica derivada . Las cuasicategorías pueden considerarse como categorías en las que la composición de los morfismos se define sólo hasta la homotopía, y también se conserva información sobre la composición de las homotopías superiores. Las cuasicategorías se definen como conjuntos simpliciales que satisfacen una condición adicional, la condición de Kan débil.
![{\displaystyle \delta ^{n,0},\dotsc ,\delta ^{n,n}\dos puntos [n-1]\to [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/602c26a990b51cd58afada2f9c88840976f5af50)
![{\displaystyle [n-1]\a [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d25c2bba14b1b7340a40c452ff54317d37a85021)
![{\displaystyle \sigma ^{n,0},\dotsc ,\sigma ^{n,n}\dos puntos [n+1]\to [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078b6b67c46f503318b84af0e91a13d5579ec155)
![{\displaystyle [n+1]\a [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cca504589d2bd2f17191aa57825f83cd200617f)
![{\displaystyle X_{n}=X([n])\cong \operatorname {Nat} (\operatorname {hom} _{\Delta }(-,[n]),X)=\operatorname {hom} _{ \textbf {sSet}}(\Delta ^{n},X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f3c784aaebee2c0a5a173eefb20aba34e412d7)
