En matemáticas, más precisamente, en la teoría de conjuntos simpliciales , la correspondencia Dold-Kan (nombrada en honor a Albrecht Dold y Daniel Kan ) establece [1] que existe una equivalencia entre la categoría de complejos de cadena (graduados de manera no negativa) y la categoría de grupos abelianos simpliciales . Además, bajo la equivalencia, el ésimo grupo de homología de un complejo de cadena es el ésimo grupo de homotopía del grupo abeliano simplicial correspondiente, y una homotopía de cadena corresponde a una homotopía simplicial . (De hecho, la correspondencia preserva las respectivas estructuras del modelo estándar ). La correspondencia es un ejemplo del paradigma de nervio y realización.
También existe una versión de categoría ∞ de la correspondencia Dold-Kan. [2]
El libro "Topología algebraica nobeliana" citado a continuación tiene una Sección 14.8 sobre versiones cúbicas del teorema de Dold-Kan, y las relaciona con una equivalencia previa de categorías entre omega-grupoides cúbicos y complejos cruzados, que es fundamental para el trabajo de ese libro.
Para un complejo de cadena C que tiene un grupo abeliano A en grado n y cero en todos los demás grados, el grupo simplicial correspondiente es el espacio de Eilenberg-MacLane .
La correspondencia Dold-Kan entre la categoría sAb de los grupos abelianos simpliciales y la categoría Ch ≥0 ( Ab ) de los complejos de cadena con gradación no negativa se puede construir explícitamente a través de un par de funtores [1] pág. 149 de modo que estos funtores formen una equivalencia de categorías . El primer funtor es el funtor de complejo de cadena normalizado
y el segundo funtor es el funtor de "simplificación"
construcción de un grupo abeliano simplicial a partir de un complejo de cadena.
Dado un grupo abeliano simplicial existe un complejo de cadena llamado complejo de cadena normalizado con términos
y diferenciales dados por
Estos diferenciales están bien definidos debido a la identidad simplicial
mostrando la imagen de está en el núcleo de cada . Esto se debe a que la definición de da . Ahora, al componer estas diferenciales se obtiene un diagrama conmutativo
y el mapa de composición . Esta composición es el mapa cero debido a la identidad simplicial
y la inclusión , por lo tanto, el complejo de cadena normalizado es un complejo de cadena en . Debido a que un grupo abeliano simplicial es un funtor
y los morfismos se dan por transformaciones naturales, lo que significa que los mapas de las identidades simpliciales todavía se mantienen, la construcción del complejo de cadena normalizada es funtorial.