espacio puntiagudo

Espacio topológico con un punto distinguido.

En matemáticas , un espacio puntiagudo o espacio basado es un espacio topológico con un punto distinguido, el punto base . El punto distinguido es simplemente un punto en particular, seleccionado del espacio y al que se le asigna un nombre, que permanece sin cambios durante la discusión posterior y se mantiene un seguimiento durante todas las operaciones. ${\displaystyle x_{0},}$

Los mapas de espacios puntiagudos ( mapas basados ) son mapas continuos que preservan los puntos base, es decir, un mapa entre un espacio puntiagudo con punto base y un espacio puntiagudo con punto base es un mapa basado si es continuo con respecto a las topologías de y y si. Esto suele ser denotado ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=y_{0}.}$

${\displaystyle f:\left(X,x_{0}\right)\to \left(Y,y_{0}\right).}$

Los espacios puntiagudos son importantes en topología algebraica , particularmente en teoría de homotopía , donde muchas construcciones, como el grupo fundamental , dependen de la elección del punto base.

El concepto de conjunto puntiagudo es menos importante; de todos modos es el caso de un espacio discreto puntiagudo .

Los espacios puntiagudos a menudo se toman como un caso especial de topología relativa , donde el subconjunto es un solo punto. Por lo tanto, gran parte de la teoría de la homotopía generalmente se desarrolla en espacios puntiagudos y luego se traslada a topologías relativas en topología algebraica .

Categoría de espacios puntiagudos

La clase de todos los espacios puntiagudos forma una categoría Top con punto base que preserva los mapas continuos como morfismos . Otra forma de pensar en esta categoría es como la categoría de coma , ( Top ) donde es cualquier espacio de un punto y Top es la categoría de espacios topológicos . (Esto también se denomina categoría de coslice denominada Top ). Los objetos en esta categoría son mapas continuos. Se puede considerar que dichos mapas seleccionan un punto base en Los morfismos en ( Top ) son morfismos en Top para los cuales conmuta el siguiente diagrama : _{${\displaystyle \bullet }$} ${\displaystyle \{\bullet \}\downarrow }$ ${\displaystyle \{\bullet \}}$ ${\displaystyle \{\bullet \}/}$ ${\displaystyle \{\bullet \}\to X.}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \{\bullet \}\downarrow }$

Es fácil ver que la conmutatividad del diagrama es equivalente a la condición que preserva los puntos base. ${\displaystyle f}$

Como espacio puntiagudo, es un objeto cero en Top , mientras que es solo un objeto terminal en Top . ${\displaystyle \{\bullet \}}$ _{${\displaystyle \{\bullet \}}$}

Hay un funtor olvidadizo Top Top que "olvida" qué punto es el punto base. Este functor tiene un adjunto izquierdo que asigna a cada espacio topológico la unión disjunta de un espacio de un punto cuyo único elemento se toma como el punto base. _{${\displaystyle \{\bullet \}}$} ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\bullet \}}$

Operaciones en espacios puntiagudos.

• Un subespacio de un espacio puntiagudo es un subespacio topológico con el que comparte su punto base, de modo que el mapa de inclusión preserva el punto base. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$
• Se puede formar el cociente de un espacio puntiagudo bajo cualquier relación de equivalencia . El punto base del cociente es la imagen del punto base debajo del mapa del cociente. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Se puede formar el producto de dos espacios puntiagudos como producto topológico sirviendo como punto base. ${\displaystyle \left(X,x_{0}\right),}$ ${\displaystyle \left(Y,y_{0}\right)}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$
• El coproducto en la categoría de espacios puntiagudos es la suma de cuñas , que puede considerarse como la "unión de un punto" de espacios.
• El producto aplastante de dos espacios puntiagudos es esencialmente el cociente del producto directo y la suma de la cuña. Nos gustaría decir que el producto smash convierte la categoría de espacios puntiagudos en una categoría monoidal simétrica con la esfera 0 puntiaguda como objeto unitario, pero esto es falso para espacios generales: la condición de asociatividad podría fallar. Pero es cierto para algunas categorías de espacios más restringidas, como los débiles Hausdorff generados de forma compacta .
• La suspensión reducida de un espacio puntiagudo es (hasta un homeomorfismo ) el producto aplastante de y el círculo puntiagudo. ${\displaystyle \Sigma X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{1}.}$
• La suspensión reducida es un funtor de la categoría de espacios puntiagudos hacia sí misma. Este funtor se deja junto al funtor tomando un espacio puntiagudo en su espacio de bucle . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega X}$

Ver también

• Categoría de grupos  – categoría en matemáticasPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Categoría de espacios métricos  : categoría matemática con espacios métricos como objetos y mapas de distancia que no aumentan como morfismos.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Categoría de conjuntos  : categoría en matemáticas donde los objetos son conjuntos.
• Categoría de espacios topológicos  - categoría cuyos objetos son espacios topológicos y cuyos morfismos son mapas continuosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Categoría de espacios vectoriales topológicos  - Categoría topológica

Referencias

• Gamelin, Theodore W.; Greene, Robert Everist (1999) [1983]. Introducción a la topología (segunda ed.). Publicaciones de Dover . ISBN 0-486-40680-6.
• Mac Lane, Saunders (septiembre de 1998). Categorías para el matemático trabajador (segunda ed.). Saltador. ISBN 0-387-98403-8.

• Discusión de Mathoverflow sobre varios puntos base y grupoides.