En matemáticas , un círculo unitario es un círculo de radio unitario , es decir, un radio de 1. [1] Con frecuencia, especialmente en trigonometría , el círculo unitario es el círculo de radio 1 centrado en el origen (0, 0) en el Sistema de coordenadas cartesianas en el plano euclidiano . En topología , a menudo se denota como S 1 porque es una unidad unidimensional n -esfera . [2] [nota 1]
Si ( x , y ) es un punto en la circunferencia del círculo unitario , entonces | x | y | y | son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud 1. Así, según el teorema de Pitágoras , x e y satisfacen la ecuación
Dado que x 2 = (− x ) 2 para todo x , y dado que la reflexión de cualquier punto en el círculo unitario alrededor del eje x o y también está en el círculo unitario, la ecuación anterior es válida para todos los puntos ( x , y ) en el círculo unitario, no solo los del primer cuadrante.
El interior del círculo unitario se llama disco unitario abierto , mientras que el interior del círculo unitario combinado con el círculo unitario mismo se llama disco unitario cerrado.
También se pueden utilizar otras nociones de otros "círculos unitarios", como el círculo de Riemann ; consulte el artículo sobre normas matemáticas para obtener ejemplos adicionales.
En el plano complejo , los números de magnitud unitaria se denominan números complejos unitarios . Este es el conjunto de números complejos z tales que cuando se dividen en componentes reales e imaginarios esta condición es
El círculo unitario complejo se puede parametrizar mediante la medida del ángulo desde el eje real positivo utilizando la función exponencial compleja ( consulte la fórmula de Euler ).
En la operación de multiplicación compleja, los números complejos unitarios se denominan grupo circular , generalmente denotado en mecánica cuántica , un número complejo unitario se denomina factor de fase .
Las funciones trigonométricas coseno y seno del ángulo θ se pueden definir en el círculo unitario de la siguiente manera: Si ( x , y ) es un punto en el círculo unitario, y si el rayo desde el origen (0, 0) hasta ( x , y ) forma un ángulo θ desde el eje x positivo (donde el giro en sentido antihorario es positivo), entonces
La ecuación x 2 + y 2 = 1 da la relación
El círculo unitario también demuestra que el seno y el coseno son funciones periódicas , con las identidades
Los triángulos construidos sobre el círculo unitario también se pueden utilizar para ilustrar la periodicidad de las funciones trigonométricas. Primero, construya un radio OP desde el origen O hasta un punto P( x 1 , y 1 ) en el círculo unitario tal que un ángulo t con 0 < t <π/2se forma con el brazo positivo del eje x . Ahora considere un punto Q( x 1 ,0) y segmentos de recta PQ ⊥ OQ . El resultado es un triángulo rectángulo △OPQ con ∠QOP = t . Debido a que PQ tiene longitud y 1 , OQ longitud x 1 y OP tiene longitud 1 como radio en el círculo unitario, sin( t ) = y 1 y cos( t ) = x 1 . Habiendo establecido estas equivalencias, tome otro radio OR desde el origen hasta un punto R(− x 1 , y 1 ) en el círculo tal que se forme el mismo ángulo t con el brazo negativo del eje x . Ahora considere un punto S(− x 1 ,0) y segmentos de recta RS ⊥ OS . El resultado es un triángulo rectángulo △ORS con ∠SOR = t . Por lo tanto, se puede ver que, debido a que ∠ROQ = π − t , R está en (cos(π − t ), sin(π − t )) de la misma manera que P está en (cos( t ), sin( t )) . La conclusión es que, dado que (− x 1 , y 1 ) es lo mismo que (cos(π − t ), sin(π − t )) y ( x 1 , y 1 ) es lo mismo que (cos( t ) ,sin( t )) , es cierto que sin( t ) = sin(π − t ) y −cos( t ) = cos(π − t ) . Se puede inferir de manera similar que tan(π − t ) = −tan( t ) , ya que tan( t ) =y 1/x1y tan(π − t ) =y 1/−x1. Una simple demostración de lo anterior se puede ver en la igualdad sin(π/4) = pecado(3π/4) =1/√ 2.
Cuando se trabaja con triángulos rectángulos, el seno, el coseno y otras funciones trigonométricas sólo tienen sentido para medidas de ángulos mayores que cero y menores queπ/2. Sin embargo, cuando se definen con el círculo unitario, estas funciones producen valores significativos para cualquier medida de ángulo con valor real , incluso aquellos mayores que 2 π . De hecho, las seis funciones trigonométricas estándar (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, así como funciones arcaicas como verseno y exsecante ) se pueden definir geométricamente en términos de un círculo unitario, como se muestra a la derecha.
Usando el círculo unitario, los valores de cualquier función trigonométrica para muchos ángulos distintos de los etiquetados se pueden calcular fácilmente a mano usando las fórmulas de suma y diferencia de ángulos .
El conjunto de Julia de sistema dinámico no lineal discreto con función de evolución :
