En matemáticas , el producto exterior o producto cuña de vectores es una construcción algebraica utilizada en geometría para estudiar áreas , volúmenes y sus análogos de dimensiones superiores. El producto exterior de dos vectores u y v , denotado por u ∧ v , se llama bivector y vive en un espacio llamado cuadrado exterior , un espacio vectorial que es distinto del espacio original de vectores. La magnitud [3] de u ∧ v se puede interpretar como el área del paralelogramo de lados u y v , que en tres dimensiones también se puede calcular usando el producto cruzado de los dos vectores. Al igual que el producto cruzado, el producto exterior es anticonmutativo , lo que significa que u ∧ v = −( v ∧ u ) para todos los vectores u y v , pero, a diferencia del producto cruzado, el producto exterior es asociativo . Una forma de visualizar un bivector es como una familia de paralelogramos que se encuentran todos en el mismo plano, que tienen la misma área y orientación , que es una elección de dirección de rotación dentro del plano (en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj desde alguna vista).
Considerado de esta manera, el producto exterior de dos vectores se denomina 2 palas . De manera más general, el producto exterior de cualquier número k de vectores se puede definir y, a veces, se denomina k -hoja. Vive en un espacio conocido como el késimo poder exterior. La magnitud de la k -hoja resultante es el volumen del k -paralelotopo dimensional cuyos bordes son los vectores dados, así como la magnitud del triple producto escalar de vectores en tres dimensiones da el volumen del paralelepípedo generado por esos vectores.
El álgebra exterior , o álgebra de Grassmann según Hermann Grassmann , [4] es el sistema algebraico cuyo producto es el producto exterior. El álgebra exterior proporciona un entorno algebraico para responder preguntas geométricas. Por ejemplo, las palas tienen una interpretación geométrica concreta y los objetos del álgebra exterior pueden manipularse según un conjunto de reglas inequívocas. El álgebra exterior contiene objetos que no son sólo k -láminas, sino sumas de k -láminas; tal suma se llama k -vector . [5] Las k -láminas, debido a que son productos simples de vectores, se llaman elementos simples del álgebra. El rango de cualquier k -vector se define como el número más pequeño de elementos simples de los que es suma. El producto exterior se extiende al álgebra exterior completa, por lo que tiene sentido multiplicar dos elementos cualesquiera del álgebra. Equipada con este producto, el álgebra exterior es un álgebra asociativa , lo que significa que α ∧ ( β ∧ γ ) = ( α ∧ β ) ∧ γ para cualquier elemento α , β , γ . Los k -vectores tienen grado k , lo que significa que son sumas de productos de k vectores. Cuando se multiplican elementos de diferentes grados, los grados se suman como multiplicación de polinomios. Esto significa que el álgebra exterior es un álgebra graduada .
La definición de álgebra exterior tiene sentido para espacios no sólo de vectores geométricos, sino también de otros objetos similares a vectores, como campos o funciones vectoriales . Con total generalidad, el álgebra exterior se puede definir para módulos sobre un anillo conmutativo , y para otras estructuras de interés en álgebra abstracta . Es en una de estas construcciones más generales donde el álgebra exterior encuentra una de sus aplicaciones más importantes, donde aparece como el álgebra de formas diferenciales que es fundamental en áreas que utilizan geometría diferencial . Las formas diferenciales son objetos matemáticos que representan áreas de paralelogramos infinitesimales (y cuerpos de dimensiones superiores) y, por lo tanto, pueden integrarse sobre superficies y variedades de dimensiones superiores de una manera que generaliza las integrales de línea del cálculo. El álgebra exterior también tiene muchas propiedades algebraicas que la convierten en una herramienta conveniente en el álgebra misma. La asociación del álgebra exterior a un espacio vectorial es un tipo de funtor en espacios vectoriales, lo que significa que es compatible con las transformaciones lineales de espacios vectoriales. El álgebra exterior es un ejemplo de biálgebra , lo que significa que su espacio dual también posee un producto, y este producto dual es compatible con el producto exterior. Este álgebra dual es el álgebra de formas multilineales alternas , y el emparejamiento entre el álgebra exterior y su dual viene dado por el producto interior .
Los dos primeros ejemplos suponen un campo tensorial métrico y una orientación; el tercer ejemplo no supone ninguna de las dos cosas.
El espacio vectorial euclidiano bidimensional es un espacio vectorial real equipado con una base que consta de un par de vectores unitarios .
con la orientación que da el pedido y con la métrica .
Suponer que
son un par de vectores dados en , escritos en componentes. Existe un paralelogramo único que tiene y como dos de sus lados. El área de este paralelogramo viene dada por la fórmula determinante estándar :
Consideremos ahora el producto exterior de y :
donde el primer paso usa la ley distributiva para el producto exterior, y el último usa el hecho de que el producto exterior es un mapa alterno , y en particular (El hecho de que el producto exterior sea un mapa alterno también fuerza ) Tenga en cuenta que el coeficiente en esta última expresión es precisamente el determinante de la matriz [ v w ] . El hecho de que esto pueda ser positivo o negativo tiene el significado intuitivo de que v y w pueden orientarse en sentido antihorario o horario como los vértices del paralelogramo que definen. Tal área se llama área con signo del paralelogramo: el valor absoluto del área con signo es el área ordinaria y el signo determina su orientación.
El hecho de que este coeficiente sea el área firmada no es una coincidencia. De hecho, es relativamente fácil ver que el producto exterior debe estar relacionado con el área firmada si se intenta axiomatizar esta área como una construcción algebraica. En detalle, si A( v , w ) denota el área con signo del paralelogramo cuyo par de vectores v y w forman dos lados adyacentes, entonces A debe satisfacer las siguientes propiedades:
Con excepción de la última propiedad, el producto exterior de dos vectores satisface las mismas propiedades que el área. En cierto sentido, el producto exterior generaliza la propiedad final al permitir comparar el área de un paralelogramo con la de cualquier paralelogramo elegido en un plano paralelo (aquí, el de lados e 1 y e 2 ). En otras palabras, el producto exterior proporciona una formulación de área independiente de la base . [6]
Para los vectores en R 3 , el álgebra exterior está estrechamente relacionada con el producto cruzado y el producto triple . Usando la base estándar { e 1 , e 2 , e 3 } , el producto exterior de un par de vectores
y
es
donde { e 1 ∧ e 2 , e 3 ∧ e 1 , e 2 ∧ e 3 } es la base del espacio tridimensional ⋀ 2 ( R 3 ). Los coeficientes anteriores son los mismos que los de la definición habitual del producto vectorial de vectores en tres dimensiones, la única diferencia es que el producto exterior no es un vector ordinario, sino un vector de 2.
Trayendo un tercer vector
el producto exterior de tres vectores es
donde e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 es el vector base para el espacio unidimensional ⋀ 3 ( R 3 ). El coeficiente escalar es el triple producto de los tres vectores.
El producto cruz y el producto triple en tres dimensiones admiten interpretaciones tanto geométricas como algebraicas. El producto vectorial u × v se puede interpretar como un vector que es perpendicular tanto a u como a v y cuya magnitud es igual al área del paralelogramo determinada por los dos vectores. También se puede interpretar como el vector formado por los menores de la matriz con columnas u y v . El triple producto de u , v y w es geométricamente un volumen (con signo). Algebraicamente, es el determinante de la matriz con columnas u , v y w . El producto exterior en tres dimensiones permite interpretaciones similares. De hecho, en presencia de una base ortonormal orientada positivamente , el producto exterior generaliza estas nociones a dimensiones superiores.
El álgebra exterior Λ( V ) de un espacio vectorial V sobre un campo K se define como el álgebra cociente del álgebra tensorial por el ideal bilateral I generado por todos los elementos de la forma x ⊗ x tal que x ∈ V . [7] Simbólicamente,
El producto exterior ∧ de dos elementos de Λ( V ) está definido por
El producto exterior es por construcción alternada sobre elementos de , lo que significa que para todos por la construcción anterior. De ello se deduce que el producto también es anticonmutativo sobre elementos de , por suponer que ,
por eso
De manera más general, si es una permutación de los números enteros , y , , ..., son elementos de , se deduce que
¿ Dónde está la firma de la permutación ? [8]
En particular, si para algunos , entonces también se cumple la siguiente generalización de la propiedad alternante:
Junto con la propiedad distributiva del producto exterior, una generalización adicional es que una condición necesaria y suficiente para ser un conjunto de vectores linealmente dependiente es que
La k- ésima potencia exterior de , denotada , es el subespacio vectorial de abarcado por elementos de la forma
Si , entonces se dice que es un k -vector . Si, además, puede expresarse como producto exterior de elementos de , entonces se dice que es descomponible (o simple , por algunos autores; o una cuchilla , por otros). Aunque los -vectores son descomponibles , no todos los elementos de son descomponibles. Por ejemplo, dado con una base , el siguiente vector de 2 no es descomponible:
Si la dimensión de es y es una base para , entonces el conjunto
es una base para . La razón es la siguiente: dado cualquier producto exterior de la forma
cada vector se puede escribir como una combinación lineal de los vectores base ; utilizando la bilinealidad del producto exterior, esto se puede expandir a una combinación lineal de productos exteriores de esos vectores base. Cualquier producto exterior en el que el mismo vector base aparezca más de una vez es cero; cualquier producto exterior en el que los vectores base no aparezcan en el orden correcto se puede reordenar, cambiando el signo cada vez que dos vectores base cambian de lugar. En general, los coeficientes resultantes de los k -vectores de base se pueden calcular como los menores de la matriz que describe los vectores en términos de la base .
Contando los elementos base, la dimensión de es igual a un coeficiente binomial :
donde es la dimensión de los vectores y es el número de vectores en el producto. El coeficiente binomial produce el resultado correcto, incluso en casos excepcionales; en particular, para .
Cualquier elemento del álgebra exterior se puede escribir como una suma de k -vectores . Por tanto, como espacio vectorial el álgebra exterior es una suma directa
(donde, por convención, , el campo subyacente a , y ), y por lo tanto su dimensión es igual a la suma de los coeficientes binomiales, que es .
Si , entonces es posible expresar como una combinación lineal de k -vectores descomponibles :
donde cada uno es descomponible, digamos
El rango del k -vector es el número mínimo de k -vectores descomponibles en tal expansión de . Esto es similar a la noción de rango tensorial .
El rango es particularmente importante en el estudio de 2 vectores (Sternberg 1964, §III.6) (Bryant et al. 1991). El rango de un 2 vectores se puede identificar con la mitad del rango de la matriz de coeficientes de en una base. Por lo tanto, si es una base para , entonces puede expresarse únicamente como
donde (la matriz de coeficientes es asimétrica ). Por tanto , el rango de la matriz es par y es el doble del rango de la forma .
En la característica 0, el vector 2 tiene rango si y sólo si
El producto exterior de un k -vector con un p -vector es un -vector, invocando una vez más la bilinealidad. En consecuencia, la descomposición por suma directa del apartado anterior
le da al álgebra exterior la estructura adicional de un álgebra graduada , es decir
Además, si K es el campo base, tenemos
El producto exterior se clasifica como anticonmutativo, lo que significa que si y , entonces
Además de estudiar la estructura graduada en el álgebra exterior, Bourbaki (1989) estudia estructuras graduadas adicionales en álgebras exteriores, como las del álgebra exterior de un módulo graduado (un módulo que ya lleva su propia gradación).
Sea V un espacio vectorial sobre el campo K. De manera informal, la multiplicación en se realiza manipulando símbolos e imponiendo una ley distributiva , una ley asociativa y usando la identidad para v ∈ V. Formalmente, es el álgebra "más general" en la que estas reglas se cumplen para la multiplicación, en el sentido de que cualquier K -álgebra asociativa unital que contenga V con multiplicación alterna en V debe contener una imagen homomórfica de . En otras palabras, el álgebra exterior tiene la siguiente propiedad universal : [9]
Dada cualquier K -álgebra A asociativa unital y cualquier K - aplicación lineal tal que para cada v en V , entonces existe precisamente un homomorfismo de álgebra unital tal que j ( v ) = f ( i ( v )) para toda v en V ( aquí i es la inclusión natural de V en , ver arriba).
Para construir el álgebra más general que contenga V y cuya multiplicación sea alterna en V , es natural comenzar con el álgebra asociativa más general que contenga V , el álgebra tensorial T ( V ) , y luego hacer cumplir la propiedad alterna tomando una adecuada cociente . Por tanto, tomamos el ideal bilateral I en T ( V ) generado por todos los elementos de la forma v ⊗ v para v en V , y lo definimos como el cociente
(y use ∧ como símbolo para la multiplicación en ). Entonces es sencillo demostrar que contiene V y satisface la propiedad universal anterior.
Como consecuencia de esta construcción, la operación de asignar a un espacio vectorial V su álgebra exterior es un funtor de la categoría de espacios vectoriales a la categoría de álgebras.
En lugar de definir primero y luego identificar las potencias exteriores como ciertos subespacios, alternativamente se pueden definir los espacios primero y luego combinarlos para formar el álgebra . Este enfoque se utiliza a menudo en geometría diferencial y se describe en la siguiente sección.
Dado un anillo conmutativo y un módulo , podemos definir el álgebra exterior tal como se indicó anteriormente, como un cociente adecuado del álgebra tensorial . Satisfará la propiedad universal análoga. Muchas de las propiedades de también requieren que sea un módulo proyectivo . Cuando se utiliza dimensionalidad finita, las propiedades requieren además que sean finitamente generadas y proyectivas. En Bourbaki (1989) se pueden encontrar generalizaciones a las situaciones más comunes.
Las álgebras exteriores de haces de vectores se consideran con frecuencia en geometría y topología. No existen diferencias esenciales entre las propiedades algebraicas del álgebra exterior de haces de vectores de dimensión finita y las del álgebra exterior de módulos proyectivos generados finitamente, según el teorema de Serre-Swan . Se pueden definir álgebras exteriores más generales para haces de módulos.
Para un campo de característica no 2, [10] el álgebra exterior de un espacio vectorial puede identificarse canónicamente con el subespacio vectorial de que consta de tensores antisimétricos . Para la característica 0 (o superior a ), el espacio vectorial de tensores antisimétricos lineales es transversal al ideal , por lo que es una buena opción para representar el cociente. Pero para una característica distinta de cero, el espacio vectorial de los tensores antisimétricos lineales podría no ser transversal al ideal (en realidad, para , el espacio vectorial de los tensores antisimétricos lineales está contenido en ); sin embargo, transversal o no, se puede definir un producto en este espacio de manera que el álgebra resultante sea isomorfa al álgebra exterior: en el primer caso la elección natural para el producto es simplemente el producto cociente (usando la proyección disponible), en el En el segundo caso, este producto debe modificarse ligeramente como se indica a continuación (según la configuración de Arnold), pero de manera que el álgebra permanezca isomorfa con el álgebra exterior, es decir, el cociente de por el ideal generado por los elementos de la forma . Por supuesto, para característica (o mayor que la dimensión del espacio vectorial), se podría usar una u otra definición del producto, ya que las dos álgebras son isomorfas (ver VI Arnold o Kobayashi-Nomizu).
Sea el espacio de tensores de grado homogéneos . Esto está abarcado por tensores descomponibles.
La antisimetrización (o, a veces, la simetrización sesgada ) de un tensor descomponible se define por
y, cuando (para un campo característico distinto de cero podría ser 0):
donde la suma se toma sobre el grupo simétrico de permutaciones de los símbolos . Esto se extiende por linealidad y homogeneidad a una operación, también denotada por y , en el álgebra tensorial completa .
Tenga en cuenta que
Tal que, cuando se define, es la proyección del álgebra exterior (cociente) sobre el subespacio tensorial alterno homogéneo r. Por otro lado, la imagen es siempre el subespacio graduado del tensor alterno (aún no es un álgebra, ya que el producto aún no está definido), denotado . Este es un subespacio vectorial de y hereda la estructura de un espacio vectorial graduado a partir de ese momento . Además, el núcleo de es precisamente el subconjunto homogéneo del ideal , o el núcleo de es . Cuando está definido, lleva un producto graduado asociativo definido por (igual que el producto cuña)
Suponiendo que tiene la característica 0, como es un suplemento de in , con el producto dado anteriormente, existe un isomorfismo canónico
Cuando la característica del campo es distinta de cero, hará lo que hizo antes, pero el producto no se puede definir como se indicó anteriormente. En tal caso, el isomorfismo aún se mantiene, a pesar de no ser un complemento del ideal , pero entonces, el producto debe modificarse como se indica a continuación ( producto, configuración de Arnold).
Finalmente, siempre obtenemos isomórfico con , pero el producto podría (o debería) elegirse de dos maneras (o sólo una). En realidad, el producto podría elegirse de muchas maneras, reescalándolo en espacios homogéneos como para una secuencia arbitraria en el campo, siempre que la división tenga sentido (esto es tal que el producto redefinido también sea asociativo, es decir, defina un álgebra sobre ) . También tenga en cuenta que la definición del producto interior debe cambiarse en consecuencia para mantener su propiedad de derivación sesgada.
Supongamos que V tiene dimensión finita n y que se da una base e 1 , ..., e n de V. Entonces cualquier tensor alterno t ∈ A r ( V ) ⊂ T r ( V ) se puede escribir en notación de índice como
donde t i 1 ⋅⋅⋅ i r es completamente antisimétrico en sus índices.
El producto exterior de dos tensores alternos t y s de rangos r y p viene dado por
Los componentes de este tensor son precisamente la parte sesgada de los componentes del producto tensorial s ⊗ t , denotada por corchetes en los índices:
El producto interior también puede describirse en notación de índice de la siguiente manera. Sea un tensor de rango antisimétrico . Entonces, para α ∈ V ∗ , es un tensor alterno de rango , dado por
donde n es la dimensión de V .
Dados dos espacios vectoriales V y X y un número natural k , un operador alterno de V k a X es un mapa multilineal
tal que siempre que v 1 , ..., v k sean vectores linealmente dependientes en V , entonces
El mapa
que asocia a vectores a partir de su producto exterior, es decir, su correspondiente -vector, también es alterno. De hecho, este mapa es el operador alterno "más general" definido, dado que cualquier otro operador alterno existe un mapa lineal único con esta propiedad universal caracteriza el espacio y puede servir como su definición.
La discusión anterior se especializa en el caso en que , el campo base. En este caso una función multilineal alterna
se llama forma multilineal alterna . El conjunto de todas las formas multilineales alternas es un espacio vectorial, ya que la suma de dos de esas aplicaciones, o el producto de dicha aplicación por un escalar, vuelve a ser alterna. Por la propiedad universal de la potencia exterior, el espacio de formas alternas de grado es naturalmente isomorfo con el espacio vectorial dual . Si es de dimensión finita, entonces este último es naturalmente isomorfo [ se necesita aclaración ] para . En particular, si es -dimensional, la dimensión del espacio de aplicaciones alternas desde a es el coeficiente binomial .
Bajo tal identificación, el producto exterior toma una forma concreta: produce un nuevo mapa antisimétrico a partir de dos dados. Supongamos que ω : V k → K y η : V m → K son dos aplicaciones antisimétricas. Como en el caso de los productos tensoriales de aplicaciones multilineales, el número de variables de su producto exterior es la suma de los números de sus variables. Dependiendo de la elección de identificación de elementos de poder exterior con formas multilineales, el producto exterior se define como
o como
donde, si la característica del campo base es 0, la alternancia Alt de un mapa multilineal se define como el promedio de los valores ajustados por signos sobre todas las permutaciones de sus variables:
Cuando el campo tiene característica finita , una versión equivalente de la segunda expresión sin factoriales ni constantes está bien definida:
donde aquí Sh k , m ⊂ S k + m es el subconjunto de ( k , m ) barajados : permutaciones σ del conjunto {1, 2, ..., k + m } tales que σ (1) < σ (2 ) < ⋯ < σ ( k ) , y σ ( k + 1 ) < σ ( k + 2 ) < ... < σ ( k + m ) . Como esto puede parecer muy específico y afinado, una versión sin formato equivalente consiste en sumar en la fórmula anterior las permutaciones en clases laterales izquierdas de S k + m / ( S k × S m ) .
Supongamos que es de dimensión finita. Si denota el espacio dual al espacio vectorial , entonces, para cada uno , es posible definir una antiderivación en el álgebra ,
Esta derivación se denomina producto interior con , o a veces operador de inserción , o contracción por .
Suponer que . Entonces es una aplicación multilineal de a , por lo que se define por sus valores en el producto cartesiano k veces mayor . Si u 1 , u 2 , ..., u k −1 son elementos de , entonces defina
Además, let always es un escalar puro (es decir, perteneciente a ).
El producto interior satisface las siguientes propiedades:
Estas tres propiedades son suficientes para caracterizar el producto interior así como para definirlo en el caso general de dimensión infinita.
Otras propiedades del producto interior incluyen:
Supongamos que tiene dimensión finita . Entonces el producto interior induce un isomorfismo canónico de espacios vectoriales
por la definición recursiva
En el entorno geométrico, un elemento distinto de cero de la potencia exterior superior (que es un espacio vectorial unidimensional) a veces se denomina forma de volumen (o forma de orientación , aunque este término a veces puede generar ambigüedad). El nombre de forma de orientación proviene del hecho de que la elección del elemento superior preferido determina la orientación de todo el álgebra exterior, ya que equivale a fijar una base ordenada del espacio vectorial. En relación con la forma de volumen preferida , el isomorfismo viene dado explícitamente por
Si, además de una forma de volumen, el espacio vectorial V está equipado con un producto interno que se identifica con , entonces el isomorfismo resultante se llama operador estrella de Hodge , que asigna un elemento a su dual de Hodge :
La composición de consigo mismo se mapea y es siempre un múltiplo escalar del mapa de identidad. En la mayoría de las aplicaciones, la forma del volumen es compatible con el producto interior en el sentido de que es un producto exterior de base ortonormal de . En este caso,
donde id es el mapeo de identidad y el producto interno tiene una firma métrica ( p , q ) - p más y q menos.
Para un espacio de dimensión finita, un producto interno (o un producto interno pseudoeuclidiano ) define un isomorfismo de con , y por lo tanto también un isomorfismo de con . El emparejamiento entre estos dos espacios también toma la forma de un producto interior. En vectores descomponibles,
el determinante de la matriz de productos internos. En el caso especial v i = w i , el producto interno es la norma cuadrada del k -vector, dada por el determinante de la matriz de Gramian (⟨ v i , v j ⟩) . Esto luego se extiende bilinealmente (o sesquilinealmente en el caso complejo) a un producto interno no degenerado en Si e i , i = 1, 2, ..., n , forman una base ortonormal de , entonces los vectores de la forma
constituyen una base ortonormal para , un enunciado equivalente a la fórmula de Cauchy-Binet .
Con respecto al producto interior, la multiplicación exterior y el producto interior son mutuamente contiguos. Específicamente, para , y ,
donde x ♭ ∈ V ∗ es el isomorfismo musical , el funcional lineal definido por
para todos . Esta propiedad caracteriza completamente el producto interior en el álgebra exterior.
De hecho, de manera más general, para , y , la iteración de las propiedades adjuntas anteriores da
donde ahora está el vector dual definido por
para todos .
Existe una correspondencia entre el dual graduado del álgebra graduada y las formas multilineales alternas en . El álgebra exterior (así como el álgebra simétrica ) hereda una estructura biálgebra, y, de hecho, una estructura de álgebra de Hopf , del álgebra tensorial . Consulte el artículo sobre álgebras tensoriales para obtener un tratamiento detallado del tema.
El producto exterior de las formas multilineales definidas anteriormente es dual a un coproducto definido en , dando la estructura de una coalgebra . El coproducto es una función lineal , que viene dada por
sobre elementos . El símbolo representa el elemento unitario del campo . Recuerde esto , para que lo anterior realmente se encuentre en . Esta definición del coproducto se eleva al espacio completo mediante homomorfismo (lineal). La forma correcta de este homomorfismo no es la que uno podría escribir ingenuamente, sino que debe ser la que se define cuidadosamente en el artículo de coalgebra . En este caso se obtiene
Ampliando esto en detalle, se obtiene la siguiente expresión sobre elementos descomponibles:
donde la segunda suma se toma sobre todos ( p +1, k − p ) -shuffles . Lo anterior está escrito con un truco de notación, para realizar un seguimiento del elemento de campo : el truco consiste en escribir , y esto se mezcla en varias ubicaciones durante la expansión de la suma a través de mezclas. La mezcla se deriva directamente del primer axioma de una coálgebra: el orden relativo de los elementos se conserva en la mezcla aleatoria: la mezcla aleatoria simplemente divide la secuencia ordenada en dos secuencias ordenadas, una a la izquierda y otra a la derecha. .
Observe que el coproducto conserva la calificación del álgebra. Extendiéndose al espacio completo que uno tiene.
El símbolo tensorial ⊗ utilizado en esta sección debe entenderse con cierta precaución: no es el mismo símbolo tensor que el que se utiliza en la definición del producto alterno. Intuitivamente, tal vez sea más fácil pensar en otro producto tensorial, pero diferente: sigue siendo (bi)lineal, como deberían ser los productos tensoriales, pero es el producto apropiado para la definición de biálgebra, el que es decir, para crear el objeto . Cualquier duda persistente puede disiparse reflexionando sobre las igualdades (1 ⊗ v ) ∧ (1 ⊗ w ) = 1 ⊗ ( v ∧ w ) y ( v ⊗ 1) ∧ (1 ⊗ w ) = v ⊗ w , que se derivan de la definición de la coalgebra, a diferencia de manipulaciones ingenuas que involucran los símbolos del tensor y la cuña. Esta distinción se desarrolla con mayor detalle en el artículo sobre álgebras tensoriales . Aquí el problema es mucho menor, ya que el producto alterno corresponde claramente a la multiplicación en la biálgebra, dejando el símbolo libre para su uso en la definición de la biálgebra. En la práctica, esto no presenta ningún problema particular, siempre y cuando se evite la trampa fatal de reemplazar sumas alternas de por el símbolo de la cuña, con una excepción. Se puede construir un producto alterno a partir de , en el entendido de que funciona en un espacio diferente. Inmediatamente a continuación se da un ejemplo: el producto alterno para el espacio dual se puede dar en términos del coproducto. La construcción de la bialgebra aquí es casi exactamente paralela a la construcción del artículo de álgebra tensorial , excepto por la necesidad de seguir correctamente los signos alternos del álgebra exterior.
En términos del coproducto, el producto exterior en el espacio dual es simplemente el dual graduado del coproducto:
donde el producto tensor en el lado derecho es de aplicaciones lineales multilineales (extendidas por cero en elementos de grado homogéneo incompatible: más precisamente, α ∧ β = ε ∘ ( α ⊗ β ) ∘ Δ , donde está la unidad, como se define ahora).
La unidad es el homomorfismo que devuelve el componente de grado 0 de su argumento. El coproducto y la unidad, junto con el producto exterior, definen la estructura de una biálgebra sobre el álgebra exterior.
Con una antípoda definida sobre elementos homogéneos por , el álgebra exterior es además un álgebra de Hopf . [13]
Supongamos que y son un par de espacios vectoriales y es un mapa lineal . Entonces, por la propiedad universal, existe un homomorfismo único de álgebras graduadas
tal que
En particular, conserva un grado homogéneo. Los k -componentes graduados de están dados en elementos descomponibles por
Dejar
Los componentes de la transformación relativos a una base de y es la matriz de menores de . En particular, si y es de dimensión finita , entonces es una aplicación de un espacio vectorial unidimensional a sí mismo y, por lo tanto, está dada por un escalar: el determinante de .
Si es una secuencia corta y exacta de espacios vectoriales, entonces
es una secuencia exacta de espacios vectoriales graduados, [14] tal como está
En particular, el álgebra exterior de una suma directa es isomorfa al producto tensorial de las álgebras exteriores:
Este es un isomorfismo graduado; es decir,
En mayor general, para una secuencia corta y exacta de espacios vectoriales existe una filtración natural
donde for está abarcado por elementos de la forma for y Los cocientes correspondientes admiten un isomorfismo natural
En particular, si U es unidimensional, entonces
es exacta, y si W es unidimensional entonces
es exacto. [dieciséis]
El entorno natural para el volumen (orientado) -dimensional y el álgebra exterior es el espacio afín . Esta es también la conexión íntima entre el álgebra exterior y las formas diferenciales , ya que para integrar necesitamos un objeto 'diferencial' para medir el volumen infinitesimal. Si es un espacio afín sobre el espacio vectorial y una colección ( simplex ) de puntos ordenados , podemos definir su volumen dimensional orientado como el producto exterior de vectores (usando concatenación para referirse al vector de desplazamiento de un punto a ); si se cambia el orden de los puntos, el volumen orientado cambia en un signo, según la paridad de la permutación. En el espacio -dimensional, el volumen de cualquier simplex -dimensional es un múltiplo escalar de cualquier otro.
La suma de las áreas orientadas en dimensiones de los símplex límite de un símplex de dimensiones es cero, como ocurre con la suma de los vectores alrededor de un triángulo o los triángulos orientados que delimitan el tetraedro en la sección anterior.
La estructura del espacio vectorial generaliza la suma de vectores en : tenemos y de manera similar una k -blade es lineal en cada factor.
En aplicaciones al álgebra lineal , el producto exterior proporciona una manera algebraica abstracta para describir el determinante y los menores de una matriz . Por ejemplo, es bien sabido que el determinante de una matriz cuadrada es igual al volumen del paralelotopo cuyos lados son las columnas de la matriz (con un signo para seguir la orientación). Esto sugiere que el determinante puede definirse en términos del producto exterior de los vectores columna. Asimismo, los k × k menores de una matriz se pueden definir observando los productos exteriores de los vectores columna elegidos k a la vez. Estas ideas pueden extenderse no sólo a matrices sino también a transformaciones lineales : el determinante de una transformación lineal es el factor por el cual escala el volumen orientado de cualquier paralelotopo de referencia dado. Entonces, el determinante de una transformación lineal se puede definir en términos de lo que la transformación le hace a la potencia exterior superior. La acción de una transformación sobre los poderes exteriores menores proporciona una base independiente para hablar de los poderes menores de la transformación.
En física, muchas cantidades se representan naturalmente mediante operadores alternos. Por ejemplo, si el movimiento de una partícula cargada se describe mediante vectores de velocidad y aceleración en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, entonces la normalización del vector de velocidad requiere que la fuerza electromagnética sea un operador alterno en la velocidad. Sus seis grados de libertad se identifican con los campos eléctrico y magnético.
En las teorías de la relatividad de Einstein , el campo electromagnético generalmente se da como una forma diferencial de 2 en un espacio de 4 o como el campo tensor alterno equivalente, el tensor electromagnético . Entonces o la identidad de Bianchi equivalente. Nada de esto requiere una métrica.
Agregar la métrica de Lorentz y una orientación proporciona el operador estrella de Hodge y, por lo tanto, hace posible definir la divergencia tensorial equivalente donde
Los k -vectores descomponibles tienen interpretaciones geométricas: el bivector representa el plano abarcado por los vectores, "ponderado" con un número, dado por el área del paralelogramo orientado con lados y . De manera análoga, el vector 3 representa el espacio 3 extendido ponderado por el volumen del paralelepípedo orientado con bordes , y .
Los k -vectores descomponibles corresponden a subespacios lineales k -dimensionales ponderados de . En particular, el Grassmanniano de subespacios k -dimensionales de , denotado , puede identificarse naturalmente con una subvariedad algebraica del espacio proyectivo . Esto se llama incrustación de Plücker , y la imagen de la incrustación puede caracterizarse por las relaciones de Plücker .
El álgebra exterior tiene aplicaciones notables en geometría diferencial , donde se utiliza para definir formas diferenciales . [17] Las formas diferenciales son objetos matemáticos que evalúan la longitud de vectores, áreas de paralelogramos y volúmenes de cuerpos de dimensiones superiores , por lo que pueden integrarse sobre curvas, superficies y variedades de dimensiones superiores de una manera que generalice las integrales de línea y de superficie. Integrales del cálculo. Una forma diferencial en un punto de una variedad diferenciable es una forma multilineal alterna en el espacio tangente en el punto. De manera equivalente, una forma diferencial de grado k es un funcional lineal en la k- ésima potencia exterior del espacio tangente. Como consecuencia, el producto exterior de formas multilineales define un producto exterior natural de formas diferenciales. Las formas diferenciales juegan un papel importante en diversas áreas de la geometría diferencial.
Un enfoque alternativo define formas diferenciales en términos de gérmenes de funciones .
En particular, la derivada exterior le da al álgebra exterior de formas diferenciales en una variedad la estructura de un álgebra graduada diferencial . La derivada exterior conmuta con retroceso a lo largo de asignaciones suaves entre variedades y, por lo tanto, es un operador diferencial natural . El álgebra exterior de formas diferenciales, equipada con la derivada exterior, es un complejo de cocadenas cuya cohomología se llama cohomología de De Rham de la variedad subyacente y juega un papel vital en la topología algebraica de variedades diferenciables.
En teoría de la representación , el álgebra exterior es uno de los dos functores de Schur fundamentales en la categoría de espacios vectoriales, siendo el otro el álgebra simétrica . Juntas, estas construcciones se utilizan para generar las representaciones irreducibles del grupo lineal general (ver Representación fundamental ).
El álgebra exterior sobre los números complejos es el ejemplo arquetípico de superálgebra , que juega un papel fundamental en las teorías físicas relativas a los fermiones y la supersimetría . Un solo elemento del álgebra exterior se llama supernúmero [ 18] o número de Grassmann . El álgebra exterior en sí es entonces sólo un superespacio unidimensional : es sólo el conjunto de todos los puntos del álgebra exterior. La topología en este espacio es esencialmente la topología débil , siendo los conjuntos abiertos los conjuntos de cilindros . Un superespacio de n dimensiones es simplemente el producto de álgebras exteriores.
Sea un álgebra de Lie sobre un campo , entonces es posible definir la estructura de un complejo de cadenas en el álgebra exterior de . Este es un mapeo lineal
definido en elementos descomponibles por
La identidad de Jacobi se cumple si y sólo si , por lo que ésta es una condición necesaria y suficiente para que un álgebra no asociativa anticonmutativa sea un álgebra de Lie. Además, en ese caso es una cadena compleja con operador de frontera . La homología asociada a este complejo es la homología del álgebra de Lie .
El álgebra exterior es el ingrediente principal en la construcción del complejo de Koszul , objeto fundamental en el álgebra homológica .
El álgebra exterior fue introducido por primera vez por Hermann Grassmann en 1844 bajo el término general de Ausdehnungslehre , o Teoría de la Extensión . [19] Esto se refería más generalmente a una teoría algebraica (o axiomática) de cantidades extendidas y fue uno de los primeros precursores de la noción moderna de espacio vectorial . Saint-Venant también publicó ideas similares de cálculo exterior por las que reivindicaba prioridad sobre Grassmann. [20]
El álgebra en sí se construyó a partir de un conjunto de reglas, o axiomas, que capturan los aspectos formales de la teoría de los multivectores de Cayley y Sylvester. Era, pues, un cálculo muy parecido al cálculo proposicional , excepto que se centraba exclusivamente en la tarea de razonamiento formal en términos geométricos. [21] En particular, este nuevo desarrollo permitió una caracterización axiomática de la dimensión, una propiedad que anteriormente sólo había sido examinada desde el punto de vista de las coordenadas.
La importancia de esta nueva teoría de vectores y multivectores se perdió para los matemáticos de mediados del siglo XIX, [22] hasta que Giuseppe Peano la examinó minuciosamente en 1888. El trabajo de Peano también permaneció algo oscuro hasta principios de siglo, cuando el tema fue unificado por miembros de la escuela de geometría francesa (notablemente Henri Poincaré , Élie Cartan y Gaston Darboux ) que aplicaron las ideas de Grassmann al cálculo de formas diferenciales .
Poco tiempo después, Alfred North Whitehead , tomando prestadas las ideas de Peano y Grassmann, introdujo su álgebra universal . Esto luego allanó el camino para los desarrollos del álgebra abstracta en el siglo XX al colocar la noción axiomática de un sistema algebraico sobre una base lógica firme.