Identidades de cálculo exterior

Este artículo resume varias identidades en el cálculo exterior , una notación matemática utilizada en geometría diferencial . ^{[1] [2] [3] [4] [5]}

Notación

A continuación se resumen breves definiciones y notaciones que se utilizan en este artículo.

Colector

${\displaystyle M}$, son variedades suaves de dimensión , donde . Es decir, variedades diferenciables que pueden diferenciarse suficientes veces para los propósitos de esta página. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle p\in M}$, denotan un punto en cada una de las variedades. ${\displaystyle q\in N}$

El límite de una variedad es una variedad , que tiene dimensión . Una orientación en induce una orientación en . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \partial M}$

Generalmente denotamos una subvariedad por . ${\displaystyle \Sigma \subset M}$

Fibrados tangentes y cotangentes

${\displaystyle TM}$, denotan el fibrado tangente y el fibrado cotangente , respectivamente, de la variedad suave . ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle T_{p}M}$, denotan los espacios tangentes de , en los puntos , , respectivamente. denota el espacio cotangente de en el punto . ${\displaystyle T_{q}N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle T_{p}^{*}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$

Las secciones de los fibrados tangentes, también conocidas como campos vectoriales , se denotan típicamente como tales que en un punto tenemos . Las secciones del fibrado cotangente, también conocidas como 1-formas diferenciales (o campos covectoriales ), se denotan típicamente como tales que en un punto tenemos . Una notación alternativa para es . ${\displaystyle X,Y,Z\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle X|_{p},Y|_{p},Z|_{p}\in T_{p}M}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Gamma (T^{*}M)}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \alpha |_{p},\beta |_{p}\in T_{p}^{*}M}$ ${\displaystyle \Gamma (T^{*}M)}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$

Diferenciala-formas

Las formas diferenciales , a las que nos referimos simplemente como formas aquí, son formas diferenciales definidas en . Denotamos el conjunto de todas las formas como . Porque normalmente escribimos , , . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle 0\leq k,\ l,\ m\leq n}$ ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle \beta \in \Omega ^{l}(M)}$ ${\displaystyle \gamma \in \Omega ^{m}(M)}$

${\displaystyle 0}$-Las formas son simplemente funciones escalares en . denota la constante -forma igual a en todas partes. ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {1} \in \Omega ^{0}(M)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

Elementos omitidos de una secuencia

Cuando se nos dan entradas y un formato - , denotamos la omisión de la entrada -ésima escribiendo ${\displaystyle (k+1)}$ ${\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \alpha (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k}):=\alpha (X_{0},\ldots ,X_{i-1},X_{i+1},\ldots ,X_{k}).}$

Producto exterior

El producto exterior también se conoce como producto de cuña . Se denota por . El producto exterior de una -forma y una -forma produce una -forma . Se puede escribir utilizando el conjunto de todas las permutaciones de tales que como ${\displaystyle \wedge :\Omega ^{k}(M)\times \Omega ^{l}(M)\rightarrow \Omega ^{k+l}(M)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \beta \in \Omega ^{l}(M)}$ ${\displaystyle (k+l)}$ ${\displaystyle \alpha \wedge \beta \in \Omega ^{k+l}(M)}$ ${\displaystyle S(k,k+l)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \sigma (1)<\ldots <\sigma (k),\ \sigma (k+1)<\ldots <\sigma (k+l)}$

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )(X_{1},\ldots ,X_{k+l})=\sum _{\sigma \in S(k,k+l)}{\text{sign}}(\sigma )\alpha (X_{\sigma (1)},\ldots ,X_{\sigma (k)})\otimes \beta (X_{\sigma (k+1)},\ldots ,X_{\sigma (k+l)}).}$

Derivada direccional

La derivada direccional de una forma 0 a lo largo de una sección es una forma 0 denotada ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)}$ ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle \partial _{X}f.}$

Derivado exterior

La derivada exterior se define para todo . Generalmente omitimos el subíndice cuando resulta claro a partir del contexto. ${\displaystyle d_{k}:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M)}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$

Para una forma tenemos como la forma que da la derivada direccional, es decir, para la sección tenemos , la derivada direccional de a lo largo de . ^[6] ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)}$ ${\displaystyle d_{0}f\in \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle (d_{0}f)(X)=\partial _{X}f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Para , ^[6] ${\displaystyle 0<k\leq n}$

${\displaystyle (d_{k}\omega )(X_{0},\ldots ,X_{k})=\sum _{0\leq j\leq k}(-1)^{j}d_{0}(\omega (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k}))(X_{j})+\sum _{0\leq i<j\leq k}(-1)^{i+j}\omega ([X_{i},X_{j}],X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k}).}$

Soporte de mentira

El soporte de Lie de secciones se define como la única sección que satisface ${\displaystyle X,Y\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle [X,Y]\in \Gamma (TM)}$

${\displaystyle \forall f\in \Omega ^{0}(M)\Rightarrow \partial _{[X,Y]}f=\partial _{X}\partial _{Y}f-\partial _{Y}\partial _{X}f.}$

Mapas tangentes

Si es una función suave, entonces define una función tangente de a . Se define mediante curvas en con derivada tal que ${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$ ${\displaystyle d\phi |_{p}:T_{p}M\rightarrow T_{\phi (p)}N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma '(0)=X\in T_{p}M}$

${\displaystyle d\phi (X):=(\phi \circ \gamma )'.}$

Tenga en cuenta que es un formato con valores en . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle N}$

Obstáculo

Si es un mapa suave, entonces el pull-back de una -forma se define de tal manera que para cualquier subvariedad -dimensional ${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(N)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Sigma \subset M}$

${\displaystyle \int _{\Sigma }\phi ^{*}\alpha =\int _{\phi (\Sigma )}\alpha .}$

El retroceso también se puede expresar como

${\displaystyle (\phi ^{*}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha (d\phi (X_{1}),\ldots ,d\phi (X_{k})).}$

Producto interior

También conocido como la derivada interior, el producto interior dada una sección es una función que sustituye efectivamente la primera entrada de una forma con . Si y entonces ${\displaystyle Y\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle \iota _{Y}:\Omega ^{k+1}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle (k+1)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k+1}(M)}$ ${\displaystyle X_{i}\in \Gamma (TM)}$

${\displaystyle (\iota _{Y}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha (Y,X_{1},\ldots ,X_{k}).}$

Tensor métrico

Dada una forma bilineal no degenerada en cada una que sea continua en , la variedad se convierte en una variedad pseudoriemanniana . Denotamos el tensor métrico , definido puntualmente por . Llamamos a la signatura de la métrica . Una variedad riemanniana tiene , mientras que el espacio de Minkowski tiene . ${\displaystyle g_{p}(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(X,Y)|_{p}=g_{p}(X|_{p},Y|_{p})}$ ${\displaystyle s=\operatorname {sign} (g)}$ ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle s=-1}$

Isomorfismos musicales

El tensor métrico induce aplicaciones de dualidad entre cuerpos vectoriales y formas monomoleculares: estos son los isomorfismos musicales bemol y sostenido . Una sección corresponde a la única forma monomolecular tal que para todas las secciones , tenemos: ${\displaystyle g(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle \flat }$ ${\displaystyle \sharp }$ ${\displaystyle A\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle A^{\flat }\in \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$

${\displaystyle A^{\flat }(X)=g(A,X).}$

Una forma única corresponde al campo vectorial único tal que para todo , tenemos: ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle \alpha ^{\sharp }\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$

${\displaystyle \alpha (X)=g(\alpha ^{\sharp },X).}$

Estas asignaciones se extienden a través de la multilinealidad a asignaciones de campos -vectoriales a -formas y de -formas a campos -vectoriales a través de ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle (A_{1}\wedge A_{2}\wedge \cdots \wedge A_{k})^{\flat }=A_{1}^{\flat }\wedge A_{2}^{\flat }\wedge \cdots \wedge A_{k}^{\flat }}$

${\displaystyle (\alpha _{1}\wedge \alpha _{2}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k})^{\sharp }=\alpha _{1}^{\sharp }\wedge \alpha _{2}^{\sharp }\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}^{\sharp }.}$

Estrella de Hodge

Para una variedad n M , el operador de estrella de Hodge es una función de dualidad que toma una forma a una forma . ${\displaystyle {\star }:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{n-k}(M)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle (n{-}k)}$ ${\displaystyle ({\star }\alpha )\in \Omega ^{n-k}(M)}$

Se puede definir en términos de un marco orientado para , ortonormal con respecto al tensor métrico dado : ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle ({\star }\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{n-k})=\alpha (X_{n-k+1},\ldots ,X_{n}).}$

Operador co-diferencial

El operador co-diferencial en una variedad dimensional se define por ${\displaystyle \delta :\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \delta :=(-1)^{k}{\star }^{-1}d{\star }=(-1)^{nk+n+1}{\star }d{\star }.}$

El operador de Hodge-Dirac, , es un operador de Dirac estudiado en el análisis de Clifford . ${\displaystyle d+\delta }$

Variedad orientada

Una variedad orientable -dimensional M es una variedad que puede estar equipada con una elección de una forma n que sea continua y distinta de cero en todas partes en M. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu \in \Omega ^{n}(M)}$

Forma de volumen

En una variedad orientable, la elección canónica de una forma de volumen dado un tensor métrico y una orientación es para cualquier base ordenada para que coincida con la orientación. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbf {det} :={\sqrt {|\det g|}}\;dX_{1}^{\flat }\wedge \ldots \wedge dX_{n}^{\flat }}$ ${\displaystyle dX_{1},\ldots ,dX_{n}}$

Formulario de área

Dada una forma de volumen y un vector normal unitario también podemos definir una forma de área en el límite ${\displaystyle \mathbf {det} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \sigma :=\iota _{N}{\textbf {det}}}$ ${\displaystyle \partial M.}$

Forma bilineal ena-formas

Una generalización del tensor métrico, la forma bilineal simétrica entre dos -formas , se define puntualmente por ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle |_{p}:={\star }(\alpha \wedge {\star }\beta )|_{p}.}$

La forma -bilineal para el espacio de -formas se define por ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle \langle \!\langle \alpha ,\beta \rangle \!\rangle :=\int _{M}\alpha \wedge {\star }\beta .}$

En el caso de una variedad de Riemann, cada una es un producto interno (es decir, es definida positiva).

Derivada de Lie

Definimos la derivada de Lie a través de la fórmula mágica de Cartan para una sección dada como ${\displaystyle {\mathcal {L}}:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=d\circ \iota _{X}+\iota _{X}\circ d.}$

Describe el cambio de una -forma a lo largo de un flujo asociado a la sección . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \phi _{t}}$ ${\displaystyle X}$

Operador de Laplace-Beltrami

El laplaciano se define como . ${\displaystyle \Delta :\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle \Delta =-(d\delta +\delta d)}$

Definiciones importantes

Definiciones de Ωa(METRO)

${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$se llama...

• cerrado si ${\displaystyle d\alpha =0}$
• exacto si para algunos ${\displaystyle \alpha =d\beta }$ ${\displaystyle \beta \in \Omega ^{k-1}}$
• co-cerrado si ${\displaystyle \delta \alpha =0}$
• coexacto si para algunos ${\displaystyle \alpha =\delta \beta }$ ${\displaystyle \beta \in \Omega ^{k+1}}$
• Armónico si está cerrado y cocerrado

Cohomología

La -ésima cohomología de una variedad y sus operadores derivados exteriores está dada por ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d_{0},\ldots ,d_{n-1}}$

${\displaystyle H^{k}(M):={\frac {{\text{ker}}(d_{k})}{{\text{im}}(d_{k-1})}}}$

Dos formas cerradas están en la misma clase de cohomología si su diferencia es una forma exacta, es decir ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle [\alpha ]=[\beta ]\ \ \Longleftrightarrow \ \ \alpha {-}\beta =d\eta \ {\text{ for some }}\eta \in \Omega ^{k-1}(M)}$

Una superficie cerrada de género tendrá generadores que son armónicos. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 2g}$

Energía de Dirichlet

Dado , su energía de Dirichlet es ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{\text{D}}(\alpha ):={\dfrac {1}{2}}\langle \!\langle d\alpha ,d\alpha \rangle \!\rangle +{\dfrac {1}{2}}\langle \!\langle \delta \alpha ,\delta \alpha \rangle \!\rangle }$

Propiedades

Propiedades derivadas exteriores

${\displaystyle \int _{\Sigma }d\alpha =\int _{\partial \Sigma }\alpha }$( Teorema de Stokes )

${\displaystyle d\circ d=0}$( complejo de cocadena )

${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta }$ para ( regla de Leibniz ) ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M),\ \beta \in \Omega ^{l}(M)}$

${\displaystyle df(X)=\partial _{X}f}$ para ( derivada direccional ) ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M),\ X\in \Gamma (TM)}$

${\displaystyle d\alpha =0}$ para ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{n}(M),\ {\text{dim}}(M)=n}$

Propiedades exteriores del producto

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kl}\beta \wedge \alpha }$ para ( alternando ) ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M),\ \beta \in \Omega ^{l}(M)}$

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )\wedge \gamma =\alpha \wedge (\beta \wedge \gamma )}$( asociatividad )

${\displaystyle (\lambda \alpha )\wedge \beta =\lambda (\alpha \wedge \beta )}$para ( compatibilidad de la multiplicación escalar ) ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \alpha \wedge (\beta _{1}+\beta _{2})=\alpha \wedge \beta _{1}+\alpha \wedge \beta _{2}}$( distributividad sobre la suma )

${\displaystyle \alpha \wedge \alpha =0}$para cuando es impar o . El rango de una forma - significa el número mínimo de términos monomiales (productos externos de formas uno) que deben sumarse para producir . ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} \alpha \leq 1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Propiedades de retroceso

${\displaystyle d(\phi ^{*}\alpha )=\phi ^{*}(d\alpha )}$( conmutativo con ${\displaystyle d}$ )

${\displaystyle \phi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=(\phi ^{*}\alpha )\wedge (\phi ^{*}\beta )}$( distribuye sobre ${\displaystyle \wedge }$ )

${\displaystyle (\phi _{1}\circ \phi _{2})^{*}=\phi _{2}^{*}\phi _{1}^{*}}$( contravariante )

${\displaystyle \phi ^{*}f=f\circ \phi }$para ( composición de funciones ) ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(N)}$

Propiedades del isomorfismo musical

${\displaystyle (X^{\flat })^{\sharp }=X}$

${\displaystyle (\alpha ^{\sharp })^{\flat }=\alpha }$

Propiedades interiores del producto

${\displaystyle \iota _{X}\circ \iota _{X}=0}$( nilpotente )

${\displaystyle \iota _{X}\circ \iota _{Y}=-\iota _{Y}\circ \iota _{X}}$

${\displaystyle \iota _{X}(\alpha \wedge \beta )=(\iota _{X}\alpha )\wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge (\iota _{X}\beta )}$para ( regla de Leibniz ) ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M),\ \beta \in \Omega ^{l}(M)}$

${\displaystyle \iota _{X}\alpha =\alpha (X)}$para ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M)}$

${\displaystyle \iota _{X}f=0}$para ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)}$

${\displaystyle \iota _{X}(f\alpha )=f\iota _{X}\alpha }$para ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)}$

Propiedades de la estrella Hodge

${\displaystyle {\star }(\lambda _{1}\alpha +\lambda _{2}\beta )=\lambda _{1}({\star }\alpha )+\lambda _{2}({\star }\beta )}$para ( linealidad ) ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\star }{\star }\alpha =s(-1)^{k(n-k)}\alpha }$para , , y el signo de la métrica ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle n=\dim(M)}$ ${\displaystyle s=\operatorname {sign} (g)}$

${\displaystyle {\star }^{(-1)}=s(-1)^{k(n-k)}{\star }}$( inversión )

${\displaystyle {\star }(f\alpha )=f({\star }\alpha )}$para ( conmutativo con -formas ) ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \langle \!\langle \alpha ,\alpha \rangle \!\rangle =\langle \!\langle {\star }\alpha ,{\star }\alpha \rangle \!\rangle }$para ( la estrella de Hodge conserva la norma de forma ) ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\star }\mathbf {1} =\mathbf {det} }$( El dual de Hodge de la función constante 1 es la forma de volumen )

Propiedades del operador codiferencial

${\displaystyle \delta \circ \delta =0}$( nilpotente )

${\displaystyle {\star }\delta =(-1)^{k}d{\star }}$ y ( Hodge adjunto a ) ${\displaystyle {\star }d=(-1)^{k+1}\delta {\star }}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \langle \!\langle d\alpha ,\beta \rangle \!\rangle =\langle \!\langle \alpha ,\delta \beta \rangle \!\rangle }$si ( adjunto a ) ${\displaystyle \partial M=0}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle d}$

En general, ${\displaystyle \int _{M}d\alpha \wedge \star \beta =\int _{\partial M}\alpha \wedge \star \beta +\int _{M}\alpha \wedge \star \delta \beta }$

${\displaystyle \delta f=0}$para ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)}$

Propiedades derivadas de Lie

${\displaystyle d\circ {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{X}\circ d}$( conmutativo con ${\displaystyle d}$ )

${\displaystyle \iota _{X}\circ {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{X}\circ \iota _{X}}$( conmutativo con ${\displaystyle \iota _{X}}$ )

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\alpha )=\iota _{[X,Y]}\alpha +\iota _{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )}$( Regla de Leibniz )

Identidades de cálculo exterior

${\displaystyle \iota _{X}({\star }\mathbf {1} )={\star }X^{\flat }}$

${\displaystyle \iota _{X}({\star }\alpha )=(-1)^{k}{\star }(X^{\flat }\wedge \alpha )}$si ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle \iota _{X}(\phi ^{*}\alpha )=\phi ^{*}(\iota _{d\phi (X)}\alpha )}$

${\displaystyle \nu ,\mu \in \Omega ^{n}(M),\mu {\text{ non-zero }}\ \Rightarrow \ \exists \ f\in \Omega ^{0}(M):\ \nu =f\mu }$

${\displaystyle X^{\flat }\wedge {\star }Y^{\flat }=g(X,Y)({\star }\mathbf {1} )}$( forma bilineal )

${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0}$( Identidad de Jacobi )

Dimensiones

Si ${\displaystyle n=\dim M}$

${\displaystyle \dim \Omega ^{k}(M)={\binom {n}{k}}}$para ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$

${\displaystyle \dim \Omega ^{k}(M)=0}$para ${\displaystyle k<0,\ k>n}$

Si es una base, entonces una base de es ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle \{X_{\sigma (1)}^{\flat }\wedge \ldots \wedge X_{\sigma (k)}^{\flat }\ :\ \sigma \in S(k,n)\}}$

Productos para exteriores

Sean y campos vectoriales. ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha _{i}\in \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle X,Y,Z,X_{i}}$

${\displaystyle \alpha (X)=\det {\begin{bmatrix}\alpha (X)\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )(X,Y)=\det {\begin{bmatrix}\alpha (X)&\alpha (Y)\\\beta (X)&\beta (Y)\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta \wedge \gamma )(X,Y,Z)=\det {\begin{bmatrix}\alpha (X)&\alpha (Y)&\alpha (Z)\\\beta (X)&\beta (Y)&\beta (Z)\\\gamma (X)&\gamma (Y)&\gamma (Z)\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle (\alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{l})(X_{1},\ldots ,X_{l})=\det {\begin{bmatrix}\alpha _{1}(X_{1})&\alpha _{1}(X_{2})&\dots &\alpha _{1}(X_{l})\\\alpha _{2}(X_{1})&\alpha _{2}(X_{2})&\dots &\alpha _{2}(X_{l})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{l}(X_{1})&\alpha _{l}(X_{2})&\dots &\alpha _{l}(X_{l})\end{bmatrix}}}$

Proyección y rechazo

${\displaystyle (-1)^{k}\iota _{X}{\star }\alpha ={\star }(X^{\flat }\wedge \alpha )}$( producto interior dual a cuña ${\displaystyle \iota _{X}{\star }}$ ${\displaystyle X^{\flat }\wedge }$ )

${\displaystyle (\iota _{X}\alpha )\wedge {\star }\beta =\alpha \wedge {\star }(X^{\flat }\wedge \beta )}$para ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k+1}(M),\beta \in \Omega ^{k}(M)}$

Si , entonces ${\displaystyle |X|=1,\ \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$

• ${\displaystyle \iota _{X}\circ (X^{\flat }\wedge ):\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)}$es la proyección de sobre el complemento ortogonal de . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle (X^{\flat }\wedge )\circ \iota _{X}:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)}$es el rechazo de , el resto de la proyección. ${\displaystyle \alpha }$
• Por lo tanto ( descomposición proyección-rechazo ) ${\displaystyle \iota _{X}\circ (X^{\flat }\wedge )+(X^{\flat }\wedge )\circ \iota _{X}={\text{id}}}$

Dado el límite con el vector normal unitario ${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle N}$

• ${\displaystyle \mathbf {t} :=\iota _{N}\circ (N^{\flat }\wedge )}$extrae el componente tangencial del límite.
• ${\displaystyle \mathbf {n} :=({\text{id}}-\mathbf {t} )}$extrae el componente normal del límite.

Expresiones de suma

${\displaystyle (d\alpha )(X_{0},\ldots ,X_{k})=\sum _{0\leq j\leq k}(-1)^{j}d(\alpha (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k}))(X_{j})+\sum _{0\leq i<j\leq k}(-1)^{i+j}\alpha ([X_{i},X_{j}],X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k})}$

${\displaystyle (d\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}(\nabla _{X_{i}}\alpha )(X_{1},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k})}$

${\displaystyle (\delta \alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k-1})=-\sum _{i=1}^{n}(\iota _{E_{i}}(\nabla _{E_{i}}\alpha ))(X_{1},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k})}$dado un marco ortonormal orientado positivamente . ${\displaystyle E_{1},\ldots ,E_{n}}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{Y}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=(\nabla _{Y}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})-\sum _{i=1}^{k}\alpha (X_{1},\ldots ,\nabla _{X_{i}}Y,\ldots ,X_{k})}$

Descomposición de Hodge

Si , tal que ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \partial M=\emptyset }$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)\Rightarrow \exists \alpha \in \Omega ^{k-1},\ \beta \in \Omega ^{k+1},\ \gamma \in \Omega ^{k}(M),\ d\gamma =0,\ \delta \gamma =0}$

${\displaystyle \omega =d\alpha +\delta \beta +\gamma }$

Lema de Poincaré

Si una variedad sin límites tiene cohomología trivial , entonces cualquier variedad cerrada es exacta. Este es el caso si M es contráctil . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H^{k}(M)=\{0\}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$

Relaciones con el cálculo vectorial

Identidades en el espacio tridimensional euclidiano

Sea la métrica euclidiana . ${\displaystyle g(X,Y):=\langle X,Y\rangle =X\cdot Y}$

Usamos el operador diferencial ${\displaystyle \nabla =\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \iota _{X}\alpha =g(X,\alpha ^{\sharp })=X\cdot \alpha ^{\sharp }}$para . ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(M)}$

${\displaystyle \mathbf {det} (X,Y,Z)=\langle X,Y\times Z\rangle =\langle X\times Y,Z\rangle }$( producto triple escalar )

${\displaystyle X\times Y=({\star }(X^{\flat }\wedge Y^{\flat }))^{\sharp }}$( producto vectorial )

${\displaystyle \iota _{X}\alpha =-(X\times A)^{\flat }}$si ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{2}(M),\ A=({\star }\alpha )^{\sharp }}$

${\displaystyle X\cdot Y={\star }(X^{\flat }\wedge {\star }Y^{\flat })}$( producto escalar )

${\displaystyle \nabla f=(df)^{\sharp }}$( gradiente )

${\displaystyle X\cdot \nabla f=df(X)}$( derivada direccional )

${\displaystyle \nabla \cdot X={\star }d{\star }X^{\flat }=-\delta X^{\flat }}$( divergencia )

${\displaystyle \nabla \times X=({\star }dX^{\flat })^{\sharp }}$( rizo )

${\displaystyle \langle X,N\rangle \sigma ={\star }X^{\flat }}$donde es el vector normal unitario de y es la forma del área en . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle \sigma =\iota _{N}\mathbf {det} }$ ${\displaystyle \partial M}$

${\displaystyle \int _{\Sigma }d{\star }X^{\flat }=\int _{\partial \Sigma }{\star }X^{\flat }=\int _{\partial \Sigma }\langle X,N\rangle \sigma }$( teorema de divergencia )

Derivados de Lie

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=X\cdot \nabla f}$( -formas ) ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\alpha =(\nabla _{X}\alpha ^{\sharp })^{\flat }+g(\alpha ^{\sharp },\nabla X)}$( -formas ) ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\star }{\mathcal {L}}_{X}\beta =\left(\nabla _{X}B-\nabla _{B}X+({\text{div}}X)B\right)^{\flat }}$si ( -formas en -variedades ) ${\displaystyle B=({\star }\beta )^{\sharp }}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$

${\displaystyle {\star }{\mathcal {L}}_{X}\rho =dq(X)+({\text{div}}X)q}$si ( -formas ) ${\displaystyle \rho ={\star }q\in \Omega ^{0}(M)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\mathbf {det} )=({\text{div}}(X))\mathbf {det} }$

Referencias

1. Crane, Keenan; de Goes, Fernando; Desbrun, Mathieu; Schröder, Peter (21 de julio de 2013). "Procesamiento de geometría digital con cálculo exterior discreto". Cursos ACM SIGGRAPH 2013. págs. 1–126. doi :10.1145/2504435.2504442. ISBN 9781450323390.S2CID168676  .​
2. Schwarz, Günter (1995). Descomposición de Hodge: un método para resolver problemas de valores en la frontera . Springer. ISBN 978-3-540-49403-4.
3. Cartan, Henri (26 de mayo de 2006). Formas diferenciales (ed. Dover). Publicaciones Dover. ISBN 978-0486450100.
4. Bott, Raoul; Tu, Loring W. (16 de mayo de 1995). Formas diferenciales en topología algebraica . Springer. ISBN 978-0387906133.
5. Abraham, Ralph; JE, Marsden; Ratiu, Tudor (6 de diciembre de 2012). Variedades, análisis tensorial y aplicaciones (2.ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-1029-0.
6. Tu, Loring W. (2011). Introducción a las variedades (2.ª ed.). Nueva York: Springer. pp. 34, 233. ISBN 9781441974006.OCLC 682907530  .