Producto triple

Operación ternaria sobre vectores.

En geometría y álgebra , el producto triple es un producto de tres vectores tridimensionales, generalmente vectores euclidianos . El nombre "producto triple" se utiliza para dos productos diferentes, el producto triple escalar de valor escalar y, con menos frecuencia, el producto triple vectorial de valor vectorial .

Producto triple escalar

Tres vectores que definen un paralelepípedo

El triple producto escalar (también llamado producto mixto , producto de caja o producto escalar triple ) se define como el producto escalar de uno de los vectores con el producto cruzado de los otros dos.

Interpretación geométrica

Geométricamente, el triple producto escalar

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$

es el volumen (con signo) del paralelepípedo definido por los tres vectores dados. Aquí, los paréntesis se pueden omitir sin causar ambigüedad, ya que el producto escalar no se puede evaluar primero. Si así fuera, quedaría el producto cruzado de un escalar y un vector, que no está definido.

Propiedades

• El triple producto escalar no cambia bajo un desplazamiento circular de sus tres operandos ( a , b , c ):

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )}$

• Intercambiar las posiciones de los operadores sin reordenar los operandos deja el producto triple sin cambios. Esto se deduce de la propiedad anterior y de la propiedad conmutativa del producto escalar:

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }$

• Intercambiar dos de los tres operandos niega el producto triple. Esto se deduce de la propiedad de desplazamiento circular y la anticonmutatividad del producto cruzado:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\\&=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\end{aligned}}}$

• El triple producto escalar también puede entenderse como el determinante de la matriz 3 × 3 que tiene los tres vectores ya sea como sus filas o como sus columnas (una matriz tiene el mismo determinante que su transpuesta ):

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{bmatrix}}.}$

• Si el triple producto escalar es igual a cero, entonces los tres vectores a , b y c son coplanares , ya que el paralelepípedo definido por ellos sería plano y no tendría volumen.
• Si dos vectores cualesquiera del triple producto escalar son iguales, entonces su valor es cero:

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=0}$

• También:

  ${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\,\mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$

• El producto simple de dos productos triples (o el cuadrado de un producto triple) puede ampliarse en términos de productos escalares: ^[1]
  $${\displaystyle ((\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} )\;((\mathbf {d} \times \mathbf {e} )\cdot \mathbf {f} )=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {f} \end{bmatrix}}}$$
  Esto reafirma en notación vectorial que el producto de los determinantes de dos matrices de 3×3 es igual al determinante de su producto matricial. Como caso especial, el cuadrado de un producto triple es un determinante de Gram .
• La relación entre el producto triple y el producto de las tres normas vectoriales se conoce como seno polar :
  $${\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}{\|{\mathbf {a} }\|\|{\mathbf {b} }\|\|{\mathbf {c} }\|}}=\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$$
  que oscila entre -1 y 1.

Escalar o pseudoescalar

Aunque el triple producto escalar da el volumen del paralelepípedo, es el volumen con signo, signo que depende de la orientación del marco o de la paridad de la permutación de los vectores. Esto significa que el producto se niega si se invierte la orientación, por ejemplo mediante una transformación de paridad , por lo que se describe más apropiadamente como pseudoescalar si la orientación puede cambiar.

Esto también se relaciona con la lateralidad del producto cruzado ; el producto vectorial se transforma como un pseudovector bajo transformaciones de paridad y, por lo tanto, se describe correctamente como un pseudovector. El producto escalar de dos vectores es un escalar, pero el producto escalar de un pseudovector y un vector es un pseudoescalar, por lo que el triple producto escalar (de vectores) debe tener un valor pseudoescalar.

Si T es una rotación adecuada , entonces

${\displaystyle \mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ),}$

pero si T es una rotación impropia entonces

${\displaystyle \mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).}$

Como producto exterior

Los tres vectores que abarcan un paralelepípedo tienen producto triple igual a su volumen. (Sin embargo, tenga en cuenta que la dirección de las flechas en este diagrama es incorrecta).

En álgebra exterior y álgebra geométrica el producto exterior de dos vectores es un bivector , mientras que el producto exterior de tres vectores es un trivector . Un bivector es un elemento plano orientado y un trivector es un elemento de volumen orientado, de la misma manera que un vector es un elemento lineal orientado.

Dados los vectores a , b y c , el producto

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} }$

es un trivector con magnitud igual al triple producto escalar, es decir

${\displaystyle |\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} |=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}$,

y es el dual de Hodge del triple producto escalar. Como el producto exterior es asociativo, no se necesitan paréntesis, ya que no importa cuál de a ∧ bo b ∧ c se calcula primero, aunque el orden de los vectores en el producto sí importa. Geométricamente, el trivector a ∧ b ∧ c corresponde al paralelepípedo abarcado por a , b y c , con bivectores a ∧ b , b ∧ c y a ∧ c que coinciden con las caras del paralelogramo del paralelepípedo.

Como función trilineal

El producto triple es idéntico a la forma de volumen del espacio tridimensional euclidiano aplicado a los vectores mediante el producto interior . También se puede expresar como una contracción de vectores con un tensor de rango 3 equivalente a la forma (o un pseudotensor equivalente a la pseudoforma de volumen); vea abajo.

Producto triple vectorial

El triple producto vectorial se define como el producto cruzado de un vector con el producto cruzado de los otros dos. Se cumple la siguiente relación:

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }$.

Esto se conoce como expansión de producto triple , o fórmula de Lagrange , ^{[2] [3]} aunque este último nombre también se utiliza para varias otras fórmulas . Su lado derecho se puede recordar utilizando la mnemónica "ACB - ABC", siempre que se tenga en cuenta qué vectores están punteados. A continuación se proporciona una prueba. Algunos libros de texto escriben la identidad de tal manera que se obtiene una mnemónica más familiar "BAC - CAB", como en "parte trasera de la cabina". ${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$

Dado que el producto cruzado es anticonmutativo, esta fórmula también se puede escribir (hasta la permutación de las letras) como:

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} }$

De la fórmula de Lagrange se deduce que el triple producto vectorial satisface:

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} }$

que es la identidad de Jacobi para el producto cruzado. Otra fórmula útil es la siguiente:

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )-\mathbf {b} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$

Estas fórmulas son muy útiles para simplificar los cálculos vectoriales en física . Una identidad relacionada con respecto a los gradientes y útil en el cálculo vectorial es la fórmula de Lagrange de identidad del producto cruzado vectorial: ^[4]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} }$

Esto también puede considerarse como un caso especial del operador más general de Laplace-de Rham . ${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$

Prueba

El componente de viene dado por: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{x}&=\mathbf {u} _{y}(\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{y}-\mathbf {v} _{y}\mathbf {w} _{x})-\mathbf {u} _{z}(\mathbf {v} _{z}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})+(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {w} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{x}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{x}\end{aligned}}}$

De manera similar, los componentes y de están dados por: ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{y}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{y}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{y}\\(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{z}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{z}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{z}\end{aligned}}}$

Combinando estos tres componentes obtenemos:

${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\ \mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\ \mathbf {w} }$^[5]

Usando álgebra geométrica

Si se utiliza álgebra geométrica, el producto cruzado b × c de los vectores se expresa como su producto exterior b ∧ c , un bivector . El segundo producto cruz no se puede expresar como producto exterior, de lo contrario resultaría el triple producto escalar. En su lugar, se puede utilizar una contracción hacia la izquierda ^{[6] , por lo que la fórmula se convierte en [7]}

${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )&=\mathbf {b} \wedge (\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {c} )-(\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \end{aligned}}}$

La prueba se desprende de las propiedades de la contracción. ^[6] El resultado es el mismo vector calculado usando a × ( b × c ).

Interpretaciones

cálculo tensorial

En notación tensorial , el producto triple se expresa utilizando el símbolo de Levi-Civita : ^[8]

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ]=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}}$$

$${\displaystyle (\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}\varepsilon ^{k\ell m}b_{\ell }c_{m}=\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}a^{j}b_{\ell }c_{m},}$$

contracciónsímbolos de Levi-Civitafunción delta de Kroneckerfunción delta de Kronecker generalizada ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}=\delta _{ij}^{\ell m}=\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^{m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell }\,,}$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}=1}$ ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle \delta _{ij}^{\ell m}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i=l}$ ${\displaystyle j=m}$ ${\displaystyle i=m}$ ${\displaystyle l=j}$

Volviendo al producto cruzado triple,

$${\displaystyle (\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=(\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^{m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell })a^{j}b_{\ell }c_{m}=a^{j}b_{i}c_{j}-a^{j}b_{j}c_{i}=b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-c_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,.}$$

Cálculo vectorial

Considere la integral de flujo del campo vectorial a través de la superficie definida paramétricamente : . El vector unitario normal a la superficie viene dado por , por lo que el integrando es un triple producto escalar. ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle S=\mathbf {r} (u,v)}$ ${\textstyle \iint _{S}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\textstyle {\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}}$ ${\textstyle \mathbf {F} \cdot {\frac {(\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v})}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}}$

Ver también

• Producto cuádruple
• Relaciones de álgebra vectorial

Notas

1. Wong, Chun Wa (2013). Introducción a la Física Matemática: Métodos y Conceptos. Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 215.ISBN _ 9780199641390.
2. Joseph Louis Lagrange no desarrolló el producto vectorial como un producto algebraico en vectores, pero utilizó una forma equivalente en componentes: ver Lagrange, JL (1773). "Soluciones analíticas de quelques problèmes sur les pirámides triangulares". Obras . vol. 3.Es posible que haya escrito una fórmula similar a la expansión del producto triple en forma de componente. Véase también la identidad de Lagrange y Kiyosi Itô (1987). Diccionario enciclopédico de matemáticas . Prensa del MIT. pag. 1679.ISBN _ 0-262-59020-4.
3. Kiyosi Itô (1993). "§C: Producto vectorial". Diccionario enciclopédico de matemáticas (2ª ed.). Prensa del MIT. pag. 1679.ISBN _ 0-262-59020-4.
4. Pengzhi Lin (2008). Modelado numérico de ondas de agua: una introducción para ingenieros y científicos. Rutledge. pag. 13.ISBN _ 978-0-415-41578-1.
5. J. Rumbo (1970). Métodos matemáticos en ciencias e ingeniería . American Elsevier Publishing Company, Inc. págs. 262–263.
6. Pertti Lounesto (2001). Álgebras y espinores de Clifford (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 46.ISBN _ 0-521-00551-5.
7. Janne Pesonen. "Álgebra geométrica de una y muchas variables multivectoriales" (PDF) . pag. 37.
8. "Tensor de permutación". Wolframio . Consultado el 21 de mayo de 2014 .

Referencias

• Muchacha, Harry (1950). Análisis vectorial y tensorial . McGraw-Hill Book Company, Inc. págs. 23-25.

enlaces externos

• Vídeo de Khan Academy de la prueba de la triple expansión del producto