Cálculo tensorial

Extensión del cálculo vectorial a tensores.

En matemáticas , el cálculo tensorial , el análisis tensorial o el cálculo de Ricci es una extensión del cálculo vectorial a campos tensoriales ( tensores que pueden variar en una variedad , por ejemplo, en el espacio-tiempo ).

Desarrollado por Gregorio Ricci-Curbastro y su alumno Tullio Levi-Civita , ^[1] fue utilizado por Albert Einstein para desarrollar su teoría general de la relatividad . A diferencia del cálculo infinitesimal , el cálculo tensorial permite la presentación de ecuaciones físicas en una forma que es independiente de la elección de las coordenadas en la variedad .

El cálculo tensorial tiene muchas aplicaciones en física , ingeniería e informática , incluida la elasticidad , la mecánica del continuo , el electromagnetismo (ver descripciones matemáticas del campo electromagnético ), la relatividad general (ver matemáticas de la relatividad general ), la teoría cuántica de campos y el aprendizaje automático .

Trabajando con uno de los principales defensores del cálculo exterior , Elie Cartan , el influyente geómetra Shiing-Shen Chern resume el papel del cálculo tensorial: ^[2]

En nuestro tema de geometría diferencial, donde hablas de variedades, una dificultad es que la geometría se describe mediante coordenadas, pero las coordenadas no tienen significado. Se les permite sufrir una transformación. Y para afrontar este tipo de situaciones, una herramienta importante es el llamado análisis tensorial o cálculo de Ricci, que era nuevo para los matemáticos. En matemáticas tienes una función, escribes la función, calculas, sumas, multiplicas o puedes diferenciar. Tienes algo muy concreto. En geometría, la situación geométrica se describe mediante números, pero puedes cambiar tus números arbitrariamente. Entonces, para manejar esto, necesitas el cálculo de Ricci.

Sintaxis

La notación tensorial utiliza índices superior e inferior en objetos que se utilizan para etiquetar un objeto variable como covariante (índice inferior), contravariante (índice superior) o covariante y contravariante mixtos (que tienen índices superior e inferior). De hecho, en la sintaxis matemática convencional utilizamos índices covariantes cuando trabajamos con sistemas de coordenadas cartesianas con frecuencia sin darnos cuenta de que se trata de un uso limitado de la sintaxis tensorial como componentes indexados covariantes. ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$

La notación tensorial permite un índice superior en un objeto que puede confundirse con las operaciones de potencia normales de la sintaxis matemática convencional.

Conceptos clave

Descomposición vectorial

La notación tensorial permite descomponer un vector ( ) en una suma de Einstein que representa la contracción tensorial de un vector base ( o ) con un vector componente ( o ). ${\displaystyle {\vec {V}}}$ ${\displaystyle {\vec {Z}}_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {Z}}^{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V^{i}}$

${\displaystyle {\vec {V}}=V^{i}{\vec {Z}}_{i}=V_{i}{\vec {Z}}^{i}}$

Cada vector tiene dos representaciones diferentes, una denominada componente contravariante ( ) con base covariante ( ), y la otra como componente covariante ( ) con base contravariante ( ). Los objetos tensoriales con todos los índices superiores se denominan contravariantes y los objetos tensoriales con todos los índices inferiores se denominan covariantes. La necesidad de distinguir entre contravariante y covariante surge del hecho de que cuando punteamos un vector arbitrario con su vector base relacionado con un sistema de coordenadas particular, hay dos formas de interpretar este producto escalar , o lo vemos como la proyección de la base. vector sobre el vector arbitrario, o lo vemos como la proyección del vector arbitrario sobre el vector base, ambas vistas del producto escalar son completamente equivalentes, pero tienen diferentes elementos componentes y diferentes vectores base: ${\displaystyle V^{i}}$ ${\displaystyle {\vec {Z}}_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {Z}}^{i}}$

$${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {Z}}_{i}=V_{i}={\vec {V}}^{T}{\vec {Z}}_{i}={\vec {Z}}_{i}^{T}{\vec {V}}={\mathrm {proj} _{{\vec {Z}}^{i}}({\vec {V}})}\cdot {\vec {Z}}_{i}={\mathrm {proj} _{\vec {V}}({\vec {Z}}^{i})}\cdot {\vec {V}}}$$

$${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {Z}}^{i}=V^{i}={\vec {V}}^{T}{\vec {Z}}^{i}={{\vec {Z}}^{i}}^{T}{\vec {V}}={\mathrm {proj} _{{\vec {Z}}_{i}}({\vec {V}})}\cdot {\vec {Z}}^{i}={\mathrm {proj} _{\vec {V}}({\vec {Z}}_{i})}\cdot {\vec {V}}}$$

Por ejemplo, en física se empieza con un campo vectorial , lo descompones con respecto a la base covariante y así se obtienen las coordenadas contravariantes. Para coordenadas cartesianas ortonormales, la base covariante y contravariante son idénticas, ya que la base establecida en este caso es solo la matriz identidad; sin embargo, para sistemas de coordenadas no afines como polares o esféricos, es necesario distinguir entre descomposición mediante el uso de Conjunto de bases contravariantes o covariantes para generar los componentes del sistema de coordenadas.

Descomposición del vector covariante

${\displaystyle {\vec {V}}=V^{i}{\vec {Z}}_{i}}$

Descomposición de vectores contravariantes

${\displaystyle {\vec {V}}=V_{i}{\vec {Z}}^{i}}$

tensor métrico

El tensor métrico representa una matriz con elementos escalares ( o ) y es un objeto tensor que se utiliza para subir o bajar el índice de otro objeto tensor mediante una operación llamada contracción, permitiendo así convertir un tensor covariante en un tensor contravariante, y viceversa. ${\displaystyle Z_{ij}}$ ${\displaystyle Z^{ij}}$

Ejemplo de reducción de índice usando tensor métrico:

${\displaystyle T_{i}=Z_{ij}T^{j}}$

Ejemplo de aumento de índice usando tensor métrico:

${\displaystyle T^{i}=Z^{ij}T_{j}}$

El tensor métrico se define como:

${\displaystyle Z_{ij}={\vec {Z}}_{i}\cdot {\vec {Z}}_{j}}$

${\displaystyle Z^{ij}={\vec {Z}}^{i}\cdot {\vec {Z}}^{j}}$

Esto significa que si tomamos cada permutación de un conjunto de vectores base y las comparamos entre sí, y luego las organizamos en una matriz cuadrada, tendríamos un tensor métrico. La advertencia aquí es cuál de los dos vectores en la permutación se usa para la proyección contra el otro vector, es decir, la propiedad distintiva del tensor métrico covariante en comparación con el tensor métrico contravariante.

Existen dos tipos de tensores métricos: (1) el tensor métrico contravariante ( ) y (2) el tensor métrico covariante ( ). Estos dos tipos de tensor métrico están relacionados por la identidad: ${\displaystyle Z^{ij}}$ ${\displaystyle Z_{ij}}$

${\displaystyle Z_{ik}Z^{jk}=\delta _{i}^{j}}$

Para un sistema de coordenadas cartesiano ortonormal , el tensor métrico es simplemente el delta de Kronecker o , que es simplemente un tensor equivalente de la matriz identidad , y . ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta ^{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=\delta ^{ij}=\delta _{j}^{i}}$

jacobiano

Además, un tensor se puede convertir fácilmente de un sistema de coordenadas sin barras () a un sistema de coordenadas con barras () que tiene diferentes conjuntos de vectores base: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$

$${\displaystyle f(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})=f{\bigg (}x^{1}({\bar {x}}),x^{2}({\bar {x}}),\dots ,x^{n}({\bar {x}}){\bigg )}={\bar {f}}({\bar {x}}^{1},{\bar {x}}^{2},\dots ,{\bar {x}}^{n})={\bar {f}}{\bigg (}{\bar {x}}^{1}(x),{\bar {x}}^{2}(x),\dots ,{\bar {x}}^{n}(x){\bigg )}}$$

mediante el uso de relaciones matriciales jacobianas entre el sistema de coordenadas barrado y no barrado ( ). El jacobiano entre el sistema barrado y no barrado es fundamental para definir los vectores base covariantes y contravariantes, ya que para que estos vectores existan deben satisfacer la siguiente relación relativa al sistema barrado y no barrado: ${\displaystyle {\bar {J}}=J^{-1}}$

Se requieren vectores contravariantes para obedecer las leyes:

${\displaystyle v^{i}={\bar {v}}^{r}{\frac {\partial x^{i}({\bar {x}})}{\partial {\bar {x}}^{r}}}}$

${\displaystyle {\bar {v}}^{i}=v^{r}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}(x)}{\partial x^{r}}}}$

Se requieren vectores covariantes para obedecer las leyes:

${\displaystyle v_{i}={\bar {v}}_{r}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}(x)}{\partial x^{r}}}}$

${\displaystyle {\bar {v}}_{i}=v_{r}{\frac {\partial x^{r}({\bar {x}})}{\partial {\bar {x}}^{i}}}}$

Hay dos sabores de matriz jacobiana:

1. La matriz J que representa el cambio de coordenadas sin barras a coordenadas con barras. Para encontrar J, tomamos el "gradiente barrado", es decir, la derivada parcial con respecto a : ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}}$

${\displaystyle J={\bar {\nabla }}f(x({\bar {x}}))}$

2. La matriz, que representa el cambio de coordenadas barradas a coordenadas no barradas. Para encontrar , tomamos el "gradiente sin barras", es decir, derivación parcial con respecto a : ${\displaystyle {\bar {J}}}$ ${\displaystyle {\bar {J}}}$ ${\displaystyle x^{i}}$

${\displaystyle {\bar {J}}=\nabla {\bar {f}}({\bar {x}}(x))}$

Vector degradado

El cálculo tensorial proporciona una generalización de la fórmula vectorial de gradiente del cálculo estándar que funciona en todos los sistemas de coordenadas:

${\displaystyle \nabla F=\nabla _{i}F{\vec {Z}}^{i}}$

Dónde:

${\displaystyle \nabla _{i}F={\frac {\partial F}{\partial Z^{i}}}}$

Por el contrario, para el cálculo estándar, la fórmula del vector de gradiente depende del sistema de coordenadas en uso (ejemplo: fórmula del vector de gradiente cartesiano frente a la fórmula del vector de gradiente polar frente a la fórmula del vector de gradiente esférico, etc.). En el cálculo estándar, cada sistema de coordenadas tiene su propia fórmula específica, a diferencia del cálculo tensorial que tiene sólo una fórmula de gradiente que es equivalente para todos los sistemas de coordenadas. Esto es posible gracias a la comprensión del tensor métrico que utiliza el cálculo tensorial.

Ver también

• Portal de matemáticas

• Análisis vectorial
• Cálculo matricial
• cálculo de ricci
• Coordenadas curvilíneas
  • Tensores en coordenadas curvilíneas
• Aprendizaje subespacial multilineal
• Álgebra multilineal
• Geometría diferencial

Referencias

1. Ricci, Gregorio ; Levi-Civita, Tullio (marzo de 1900). "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs apps" [Métodos del cálculo diferencial absoluto y sus aplicaciones]. Mathematische Annalen (en francés). Saltador. 54 (1–2): 125–201. doi :10.1007/BF01454201. S2CID  120009332.
2. "Entrevista con Shiing Shen Chern" (PDF) . Avisos de la AMS . 45 (7): 860–5. Agosto de 1998.

Otras lecturas

• Dimitrienko, Yuriy (2002). Análisis tensorial y funciones tensoriales no lineales. Saltador. ISBN 1-4020-1015-X.
• Sokolnikoff, Ivan S (1951). Análisis tensorial: teoría y aplicaciones a la geometría y mecánica de Continua . Wiley. ISBN 0471810525.
• Borisenko, AI; Tarapov, IE (1979). Análisis vectorial y tensorial con aplicaciones (2ª ed.). Dover. ISBN 0486638332.
• Itskov, Mikhail (2015). Álgebra tensorial y análisis tensorial para ingenieros: con aplicaciones a la mecánica continua (2ª ed.). Saltador. ISBN 9783319163420.
• Tyldesley, JR (1973). Una introducción al análisis tensorial: para ingenieros y científicos aplicados . Longman. ISBN 0-582-44355-5.
• Kay, DC (1988). Cálculo tensorial . Esquemas de Schaum. McGraw-Hill. ISBN 0-07-033484-6.
• Grinfeld, P. (2014). Introducción al análisis tensorial y al cálculo de superficies en movimiento . Saltador. ISBN 978-1-4614-7866-9.

enlaces externos

• Dullemond, Kees; Peeters, Kasper (1991-2010). "Introducción al cálculo tensorial" (PDF) . Consultado el 17 de mayo de 2018 .