Fórmula de Cauchy-Binet

En matemáticas , específicamente en álgebra lineal , la fórmula de Cauchy-Binet , llamada así en honor a Augustin-Louis Cauchy y Jacques Philippe Marie Binet , es una identidad para el determinante del producto de dos matrices rectangulares de formas transpuestas (de modo que el producto esté bien definido). y cuadrado ). Generaliza la afirmación de que el determinante de un producto de matrices cuadradas es igual al producto de sus determinantes. La fórmula es válida para matrices con entradas de cualquier anillo conmutativo .

Declaración

Sea A una matriz de m × n y B una matriz de n × m . Escriba [ n ] para el conjunto {1, ...,  n }, y para el conjunto de m - combinaciones de [ n ] (es decir, subconjuntos de [ n ] de tamaño m ; hay de ellos). Para , escriba A _{[ m ], S} para la matriz m × m cuyas columnas son las columnas de A en los índices de S , y B _{S ,[ m ]} para la matriz m × m cuyas filas son las filas de B en los índices de S . La fórmula Cauchy-Binet luego establece ${\displaystyle {\tbinom {[n]}{m}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$ ${\displaystyle S\in {\tbinom {[n]}{m}}}$

${\displaystyle \det(AB)=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det(A_{[m],S})\det(B_{S,[m]}).}$

Ejemplo: tomando m  = 2 y n  = 3, y matrices y , la fórmula de Cauchy-Binet da el determinante ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\3&1&-1\\\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle B={\begin{pmatrix}1&1\\3&1\\0&2\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det(AB)=\left|{\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}3&1\\0&2\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}1&1\\0&2\end{matrix}}\right|.}$

De hecho , y su determinante es cuál es igual al lado derecho de la fórmula. ${\displaystyle AB={\begin{pmatrix}4&6\\6&2\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle -28}$ ${\displaystyle -2\times -2+-3\times 6+-7\times 2}$

Casos especiales

Si n  <  m entonces es el conjunto vacío, y la fórmula dice que det( AB ) = 0 (su lado derecho es una suma vacía ); de hecho, en este caso el rango de la matriz AB de m × m es como máximo  n , lo que implica que su determinante es cero. Si n = m , el caso en el que A y B son matrices cuadradas (un conjunto singleton ), entonces la suma solo involucra S  = [ n ], y la fórmula establece que det( AB ) = det( A )det( B ) . ${\displaystyle {\tbinom {[n]}{m}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {[n]}{m}}=\{[n]\}}$

Para m  = 0, A y B son matrices vacías (pero de diferentes formas si n  > 0), al igual que su producto AB ; la suma involucra un solo término S  = Ø, y la fórmula dice 1 = 1, con ambos lados dados por el determinante de la matriz 0×0. Para m  = 1, la suma abarca la colección de n singletons diferentes tomados de [ n ], y ambos lados de la fórmula dan , el producto escalar del par de vectores representados por las matrices. El valor más pequeño de m para el cual la fórmula establece una igualdad no trivial es m  = 2; se analiza en el artículo sobre la identidad Binet-Cauchy . ${\displaystyle {\tbinom {[n]}{1}}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{n}A_{1,j}B_{j,1}}$

En el caso n  = 3

Sean vectores tridimensionales. ${\displaystyle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}},{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {z}},{\boldsymbol {w}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&1=1&(m=0)\\[10pt]&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}&(m=1)\\[10pt]&{\begin{vmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {y}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {y}}\end{vmatrix}}\\[4pt]={}&{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{3}&a_{1}\\b_{3}&b_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\\[4pt]={}&({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {x}}\times {\boldsymbol {y}})&(m=2)\\[10pt]&{\begin{vmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {z}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {z}}\\{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {z}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}\\[4pt]={}&[{\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})][{\boldsymbol {x}}\cdot ({\boldsymbol {y}}\times {\boldsymbol {z}})]&(m=3)\\[10pt]&{\begin{vmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {w}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {w}}\\{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {w}}\\{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {w}}\end{vmatrix}}=0&(m=4)\end{aligned}}}$

En el caso m  > 3, el lado derecho siempre es igual a 0.

una prueba sencilla

La siguiente prueba simple se basa en dos hechos que pueden probarse de varias maneras diferentes: ^[1]

1. Para cualquiera, el coeficiente de en el polinomio es la suma de los menores principales de . ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ ${\displaystyle z^{n-k}}$ ${\displaystyle \det(zI_{n}+X)}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle X}$
2. Si y es una matriz y una matriz, entonces ${\displaystyle m\leq n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times m}$

${\displaystyle \det(zI_{n}+BA)=z^{n-m}\det(zI_{m}+AB)}$.

Ahora, si comparamos el coeficiente de en la ecuación , el lado izquierdo dará la suma de los menores principales de mientras que el lado derecho dará el término constante de , que es simplemente , que es lo que establece la fórmula de Cauchy-Binet. , es decir ${\displaystyle z^{n-m}}$ ${\displaystyle \det(zI_{n}+BA)=z^{n-m}\det(zI_{m}+AB)}$ ${\displaystyle BA}$ ${\displaystyle \det(zI_{m}+AB)}$ ${\displaystyle \det(AB)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\det(AB)=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det((BA)_{S,S})=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det(B_{S,[m]})\det(A_{[m],S})\\[5pt]={}&\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det(A_{[m],S})\det(B_{S,[m]}).\end{aligned}}}$

Prueba

Hay varios tipos de demostraciones que se pueden dar para la fórmula de Cauchy-Binet. La siguiente prueba se basa únicamente en manipulaciones formales y evita el uso de cualquier interpretación particular de los determinantes, que pueden considerarse definidos por la fórmula de Leibniz . Sólo se utiliza su multilinealidad con respecto a filas y columnas, y su propiedad alternante (que desaparece en presencia de filas o columnas iguales); en particular, la propiedad multiplicativa de los determinantes de matrices cuadradas no se utiliza, sino que se establece (el caso n  =  m ). La prueba es válida para anillos de coeficientes conmutativos arbitrarios.

La fórmula se puede demostrar en dos pasos:

1. use el hecho de que ambos lados son multilineales (más precisamente 2 m -lineales) en las filas de A y las columnas de B , para reducir al caso de que cada fila de A y cada columna de B tenga solo una entrada distinta de cero, que es 1.
2. maneje ese caso usando las funciones [ m ] → [ n ] que asignan respectivamente los números de fila de A al número de columna de su entrada distinta de cero, y los números de columna de B al número de fila de su entrada distinta de cero.

Para el paso 1, observe que para cada fila de A o columna de B , y para cada combinación m S , los valores de det( AB ) y det( A _{[ m ], S} )det( B _{S ,[ m ]} ) de hecho dependen linealmente de la fila o columna. Para este último esto es inmediato de la propiedad multilineal del determinante; para el primero hay que comprobar además que tomar una combinación lineal para la fila de A o columna de B dejando el resto sin cambios sólo afecta a la fila o columna correspondiente del producto AB , y por la misma combinación lineal. Por lo tanto, se pueden calcular ambos lados de la fórmula de Cauchy-Binet mediante linealidad para cada fila de A y luego también para cada columna de B , escribiendo cada una de las filas y columnas como una combinación lineal de vectores de base estándar. Las sumas múltiples resultantes son enormes, pero tienen la misma forma para ambos lados: los términos correspondientes implican el mismo factor escalar (cada uno es un producto de las entradas de A y de B ), y estos términos sólo difieren porque involucran dos expresiones diferentes en términos de matrices constantes del tipo descrito anteriormente, cuyas expresiones deberían ser iguales según la fórmula de Cauchy-Binet. Con ello se consigue la reducción del primer paso.

Concretamente, las sumatorias múltiples se pueden agrupar en dos sumatorias, una sobre todas las funciones f :[ m ] → [ n ] que para cada índice de fila de A da un índice de columna correspondiente, y una sobre todas las funciones g :[ m ] → [ n ] que para cada índice de columna de B da un índice de fila correspondiente. Las matrices asociadas a f y g son

${\displaystyle L_{f}={\bigl (}(\delta _{f(i),j})_{i\in [m],j\in [n]}{\bigr )}\quad {\text{and}}\quad R_{g}={\bigl (}(\delta _{j,g(k)})_{j\in [n],k\in [m]}{\bigr )}}$

donde " " es el delta de Kronecker , y la fórmula de Cauchy-Binet para demostrar se ha reescrito como ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{f:[m]\to [n]}\sum _{g:[m]\to [n]}p(f,g)\det(L_{f}R_{g})\\[5pt]={}&\sum _{f:[m]\to [n]}\sum _{g:[m]\to [n]}p(f,g)\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det((L_{f})_{[m],S})\det((R_{g})_{S,[m]}),\end{aligned}}}$

donde p ( f , g ) denota el factor escalar . Queda por demostrar la fórmula de Cauchy-Binet para A  =  L _f y B  =  R _g , para todo f , g :[ m ] → [ n ]. ${\displaystyle \textstyle (\prod _{i=1}^{m}A_{i,f(i)})(\prod _{k=1}^{m}B_{g(k),k})}$

Para este paso 2, si f no es inyectivo, entonces L _f y L _f R _g tienen dos filas idénticas, y si g no es inyectivo, entonces R _g y L _f R _g tienen dos columnas idénticas; en cualquier caso, ambos lados de la identidad son cero. Suponiendo ahora que tanto f como g son aplicaciones inyectivas [ m ] → [ n ], el factor de la derecha es cero a menos que S  =  f ([ m ]), mientras que el factor es cero a menos que S  =  g ([ m ]). Entonces, si las imágenes de f y g son diferentes, el lado derecho solo tiene términos nulos, y el lado izquierdo también es cero ya que L _f R _g tiene una fila nula (para i con ). En el caso restante donde las imágenes de f y g son iguales, digamos f ([ m ]) =  S  =  g ([ m ]), necesitamos demostrar que ${\displaystyle \det((L_{f})_{[m],S})}$ ${\displaystyle \det((R_{g})_{S,[m]})}$ ${\displaystyle f(i)\notin g([m])}$

${\displaystyle \det(L_{f}R_{g})=\det((L_{f})_{[m],S})\det((R_{g})_{S,[m]}).\,}$

Sea h la única biyección creciente [ m ] →  S , y π , σ las permutaciones de [ m ] tales que y ; entonces es la matriz de permutación para π , es la matriz de permutación para σ , y L _f R _g es la matriz de permutación para , y dado que el determinante de una matriz de permutación es igual a la firma de la permutación, la identidad se deduce del hecho de que las firmas son multiplicativo. ${\displaystyle f=h\circ \pi ^{-1}}$ ${\displaystyle g=h\circ \sigma }$ ${\displaystyle (L_{f})_{[m],S}}$ ${\displaystyle (R_{g})_{S,[m]}}$ ${\displaystyle \pi \circ \sigma }$

No es necesario utilizar multilinealidad con respecto a las filas de A y las columnas de B en la prueba; se podría usar solo uno de ellos, digamos el primero, y usar que un producto matricial L _f B consiste en una permutación de las filas de B _{f ([ m ]),[ m ]} (si f es inyectivo), o tiene al menos dos filas iguales.

Relación con el delta de Kronecker generalizado

Como hemos visto, la fórmula de Cauchy-Binet equivale a la siguiente:

${\displaystyle \det(L_{f}R_{g})=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det((L_{f})_{[m],S})\det((R_{g})_{S,[m]}),}$

dónde

${\displaystyle L_{f}={\bigl (}(\delta _{f(i),j})_{i\in [m],j\in [n]}{\bigr )}\quad {\text{and}}\quad R_{g}={\bigl (}(\delta _{j,g(k)})_{j\in [n],k\in [m]}{\bigr )}.}$

En términos del delta de Kronecker generalizado , podemos derivar la fórmula equivalente a la fórmula de Cauchy-Binet:

${\displaystyle \delta _{g(1)\dots g(m)}^{f(1)\dots f(m)}=\sum _{k:[m]\to [n] \atop k(1)<\dots <k(m)}\delta _{k(1)\dots k(m)}^{f(1)\dots f(m)}\delta _{g(1)\dots g(m)}^{k(1)\dots k(m)}.}$

Interpretaciones geométricas

Si A es una matriz real de m × n , entonces det( A  A ^T ) es igual al cuadrado del volumen m -dimensional del paralelotopo abarcado en R ⁿ por las m filas de A . La fórmula de Binet establece que esto es igual a la suma de los cuadrados de los volúmenes que surgen si el paralelepípedo se proyecta ortogonalmente sobre los planos de coordenadas m -dimensionales (de los cuales hay ). ${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$

En el caso m  = 1 el paralelotopo se reduce a un solo vector y su volumen es su longitud. La afirmación anterior establece entonces que el cuadrado de la longitud de un vector es la suma de los cuadrados de sus coordenadas; De hecho, este es el caso según la definición de esa longitud, que se basa en el teorema de Pitágoras .

En álgebra tensorial , dado un espacio producto interno de dimensión n , la fórmula de Cauchy-Binet define un producto interno inducido en el álgebra exterior , a saber: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \wedge ^{m}V}$

${\displaystyle \langle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{m},w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{m}\rangle =\det \left(\langle v_{i},w_{j}\rangle \right)_{i,j=1}^{m}.}$

Generalización

La fórmula de Cauchy-Binet se puede ampliar de forma sencilla a una fórmula general para los menores del producto de dos matrices. El contexto de la fórmula se proporciona en el artículo sobre menores , pero la idea es que tanto la fórmula para la multiplicación de matrices ordinaria como la fórmula de Cauchy-Binet para el determinante del producto de dos matrices son casos especiales de la siguiente afirmación general sobre los menores. de un producto de dos matrices. Supongamos que A es una matriz m × n , B es una matriz n × p , I es un subconjunto de {1,..., m } con k elementos y J es un subconjunto de {1,..., p } con k elementos. Entonces

${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,}$

donde la suma se extiende sobre todos los subconjuntos K de {1,..., n } con k elementos.

Versión continua

Una versión continua de la fórmula de Cauchy-Binet, conocida como identidad de Andréief - Heine ^[2] o identidad de Andréief, aparece comúnmente en la teoría de matrices aleatorias. ^[3] Se establece de la siguiente manera: sean y dos secuencias de funciones integrables, apoyadas en . Entonces ${\displaystyle \left\{f_{j}(x)\right\}_{j=1}^{N}}$ ${\displaystyle \left\{g_{j}(x)\right\}_{j=1}^{N}}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle \int _{I}\cdots \int _{I}\det \left[f_{j}(x_{k})\right]_{j,k=1}^{N}\det \left[g_{j}(x_{k})\right]_{j,k=1}^{N}dx_{1}\cdots dx_{N}=N!\,\det \left[\int _{I}f_{j}(x)g_{k}(x)dx\right]_{j,k=1}^{N}.}$

Prueba

Sea el grupo de permutaciones de orden N, sea el signo de una permutación, sea el "producto interno". ${\displaystyle S_{N}}$ ${\displaystyle |s|}$ ${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{I}f(x)g(x)dx}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{left side}}&=\sum _{s,s'\in S_{N}}(-1)^{|s|+|s'|}\int _{I^{N}}\prod _{j}f_{s(j)}(x_{j})\prod _{k}g_{s'(k)}(x_{k})\\&=\sum _{s,s'\in S_{N}}(-1)^{|s|+|s'|}\int _{I^{N}}\prod _{j}f_{s(j)}(x_{j})g_{s'(j)}(x_{j})\\&=\sum _{s,s'\in S_{N}}(-1)^{|s|+|s'|}\prod _{j}\int _{I}f_{s(j)}(x_{j})g_{s'(j)}(x_{j})dx_{j}\\&=\sum _{s,s'\in S_{N}}(-1)^{|s|+|s'|}\prod _{j}\langle f_{s(j)},g_{s'(j)}\rangle \\&=\sum _{s'\in S_{N}}(-1)^{|s'|+|s'|}\sum _{s\in S_{N}}(-1)^{|s|+|s'^{-1}|}\prod _{j}\langle f_{(s\circ s'^{-1})(j)},g_{j}\rangle \\&=\sum _{s'\in S_{N}}\sum _{s\in S_{N}}(-1)^{|s\circ s'^{-1}|}\prod _{j}\langle f_{(s\circ s'^{-1})(j)},g_{j}\rangle \\&={\text{right side}}\\\end{aligned}}}$$

Forrester ^[4] describe cómo recuperar la fórmula habitual de Cauchy-Binet como una discretización de la identidad anterior.

Prueba

Elija , seleccione , de modo que y lo mismo se aplica a y . Ahora conectando y dentro de la identidad de Andreev, y simplificando ambos lados, obtenemos: ${\displaystyle t_{1}<\cdots <t_{m}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,g_{n}}$ ${\displaystyle f_{j}(t_{k})=A_{j,k}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f_{j}(x_{k})\sum _{l}\delta (x_{k}-t_{l})}$ ${\displaystyle g_{j}(x_{k})}$

$${\displaystyle \sum _{l_{1},\ldots ,l_{n}\in [1:m]}\det[f_{j}(t_{l_{k}})]\det[g_{j}(t_{l_{k}})]=n!\det \left[\sum _{l}f_{j}(t_{l})g_{k}(t_{l})\right]}$$

El lado derecho es y el lado izquierdo es . ${\displaystyle n!\det(AB)}$ ${\displaystyle n!\sum _{S\subset [1:m],|S|=n}\det(A_{[1:m],S})\det(B_{S,[1:m]})}$

Referencias

1. Tao, Terence (2012). Temas de la teoría de matrices aleatorias (PDF) . Estudios de Posgrado en Matemáticas. vol. 132. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 253. doi :10.1090/gsm/132. ISBN 978-0-8218-7430-1.
2. C. Andréief, memoria. de la Soc. Ciencia. de Burdeos 2, 1 (1883)
3. Mehta, ML (2004). Matrices aleatorias (3ª ed.). Ámsterdam: Elsevier/Academic Press. ISBN 0-12-088409-7.
4. Forrester, Peter J. (2018). "Conozca a Andréief, Burdeos 1886 y Andreev, Jarkov 1882-1883". arXiv : 1806.10411 [matemáticas-ph].

• Joel G. Broida y S. Gill Williamson (1989) Una introducción completa al álgebra lineal , §4.6 Teorema de Cauchy-Binet, págs. 208-14, Addison-Wesley ISBN 0-201-50065-5 . 
• Jin Ho Kwak y Sungpyo Hong (2004) Álgebra lineal, segunda edición, ejemplo 2.15 Fórmula de Binet-Cauchy, págs. 66,7, Birkhäuser ISBN 0-8176-4294-3 . 
• IR Shafarevich y AO Remizov (2012) Álgebra y geometría lineales , §2.9 (p. 68) y §10.5 (p. 377), Springer ISBN 978-3-642-30993-9 . 
• ML Mehta (2004) Matrices aleatorias , 3.ª ed., Elsevier ISBN 9780120884094 .