Tensor igual al negativo de cualquiera de sus transposiciones
En matemáticas y física teórica , un tensor es antisimétrico en (o con respecto a ) un subconjunto de índices si alterna el signo (+/-) cuando se intercambian dos índices cualesquiera del subconjunto. [1] [2] El subconjunto de índices generalmente debe ser totalmente covariante o totalmente contravariante .
Por ejemplo,
![{\displaystyle T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }=T_{jki\dots }=-T_{kji\dots }=T_{kij\dots }=-T_{ikj\dots }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si un tensor cambia de signo al intercambiar cada par de sus índices, entonces el tensor es completamente (o totalmente ) antisimétrico . Un campo tensor covariante de orden completamente antisimétrico puede denominarse forma diferencial , y un campo tensorial contravariante completamente antisimétrico puede denominarse campo vectorial .![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tensores antisimétricos y simétricos.
Un tensor A que es antisimétrico en índices y tiene la propiedad de que la contracción con un tensor B que es simétrico en índices y es idénticamente 0.![{\displaystyle i}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle j}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle j}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para un tensor general U con componentes y un par de índices y U tiene partes simétricas y antisimétricas definidas como:![{\displaystyle U_{ijk\dots}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Se pueden dar definiciones similares para otros pares de índices. Como sugiere el término "parte", un tensor es la suma de su parte simétrica y su parte antisimétrica para un par de índices dado, como en
![{\displaystyle U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Notación
Una notación abreviada para la antisimetrización se indica mediante un par de corchetes. Por ejemplo, en dimensiones arbitrarias, para un tensor covariante M de orden 2 ,
![{\displaystyle M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}(M_{ab}-M_{ba}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
T![{\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba }).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En cualquier dimensión 2 y 3, estos se pueden escribir como
![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{[ab]}&={\frac {1}{2!}}\,\delta _{ab}^{cd}M_{cd},\\[2pt] T_{[abc]}&={\frac {1}{3!}}\,\delta _{abc}^{def}T_{def}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
delta de Kroneckernotación de Einstein![{\displaystyle \delta _{ab\dots }^{cd\dots }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De manera más general, independientemente del número de dimensiones, la antisimetrización sobre índices puede expresarse como![{\displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T_{[a_{1}\dots a_{p}]}={\frac {1}{p!}}\delta _ {a_{1}\dots a_{p}}^{b_{1 }\dots b_{p}}T_{b_{1}\dots b_{p}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En general, todo tensor de rango 2 se puede descomponer en un par simétrico y antisimétrico como:
![{\displaystyle T_{ij}={\frac {1}{2}}(T_{ij}+T_{ji})+{\frac {1}{2}}(T_{ij}-T_{ji} ).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En general, esta descomposición no es cierta para los tensores de rango 3 o más, que tienen simetrías más complejas.
Ejemplos
Los tensores totalmente antisimétricos incluyen:
Ver también
- Matriz antisimétrica : forma de una matrizPages displaying short descriptions of redirect targets
- Álgebra exterior – Álgebra de productos exteriores/cuña
- Símbolo de Levi-Civita : objeto de permutación antisimétrica que actúa sobre tensores
- Cálculo de Ricci : notación de índice tensorial para cálculos basados en tensor
- Tensor simétrico : tensor invariante bajo permutaciones de vectores sobre los que actúa
- Simetrización : proceso que convierte cualquier función en n variables en una función simétrica en n variablesPages displaying wikidata descriptions as a fallback
Notas
- ^ KF Riley; el diputado Hobson; SJ Bence (2010). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-86153-3.
- ^ Juan Ramón Ruíz-Tolosa; Enrique Castillo (2005). De vectores a tensores. Saltador. pag. 225.ISBN 978-3-540-22887-5.sección §7.
Referencias
enlaces externos
- Tensor antisimétrico - mathworld.wolfram.com