espacio de Thom

En matemáticas , el espacio Thom, complejo Thom o construcción Pontryagin-Thom (llamado así por René Thom y Lev Pontryagin ) de topología algebraica y topología diferencial es un espacio topológico asociado a un paquete vectorial , sobre cualquier espacio paracompacto .

Construcción del espacio Thom

Una forma de construir este espacio es la siguiente. Dejar

${\displaystyle p:E\to B}$

ser un paquete de vectores reales de rango n sobre el espacio paracompacto B . Entonces, para cada punto b en B , la fibra es un espacio vectorial real de dimensiones . Elija una estructura ortogonal en E, un producto interno que varía suavemente en las fibras; Podemos hacer esto usando particiones de unidad. Sea el paquete unitario de bolas con respecto a nuestra estructura ortogonal, y sea el paquete unitario de esferas, entonces el espacio de Thom es el cociente de espacios topológicos. es un espacio puntiagudo con la imagen de en el cociente como punto base. Si B es compacto, entonces es la compactación en un punto de E. ${\displaystyle E_{b}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D(E)}$ ${\displaystyle S(E)}$ ${\displaystyle T(E)}$ ${\displaystyle T(E):=D(E)/S(E)}$ ${\displaystyle T(E)}$ ${\displaystyle S(E)}$ ${\displaystyle T(E)}$

Por ejemplo, si E es el paquete trivial , entonces y . Escribir para B con un punto base disjunto es el producto aplastante de y ; es decir, la enésima suspensión reducida de . ${\displaystyle B\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle D(E)=B\times D^{n}}$ ${\displaystyle S(E)=B\times S^{n-1}}$ ${\displaystyle B_{+}}$ ${\displaystyle T(E)}$ ${\displaystyle B_{+}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle B_{+}}$

El isomorfismo de Thom

La importancia de esta construcción comienza con el siguiente resultado, que pertenece al tema de la cohomología de haces de fibras . (Hemos expresado el resultado en términos de coeficientes para evitar complicaciones que surjan de la orientabilidad ; consulte también Orientación de un conjunto de vectores#Espacio de Thom ). ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Sea un paquete de vectores reales de rango n . Luego existe un isomorfismo, ahora llamado isomorfismo de Thom. ${\displaystyle p:E\to B}$

${\displaystyle \Phi :H^{k}(B;\mathbb {Z} _{2})\to {\widetilde {H}}^{k+n}(T(E);\mathbb {Z} _{2}),}$

para todo k mayor o igual a 0, donde el lado derecho es cohomología reducida .

Este teorema fue formulado y demostrado por René Thom en su famosa tesis de 1952.

Podemos interpretar el teorema como una generalización global del isomorfismo de suspensión en trivializaciones locales, porque el espacio de Thom de un paquete trivial en B de rango k es isomorfo a la k -ésima suspensión de , B con un punto disjunto agregado (cf. #Construcción del espacio de Thom.) Esto se puede ver más fácilmente en la formulación del teorema que no hace referencia al espacio de Thom: ${\displaystyle B_{+}}$

Isomorfismo de Thom  :  sea un anillo y un paquete de vectores reales orientados de rango n . Entonces existe una clase ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle p:E\to B}$

${\displaystyle u\in H^{n}(E,E\setminus B;\Lambda ),}$

donde B está incrustado en E como una sección cero, de modo que para cualquier fibra F la restricción de u

${\displaystyle u|_{(F,F\setminus 0)}\in H^{n}(F,F\setminus 0;\Lambda )}$

es la clase inducida por la orientación de F . Además,

${\displaystyle {\begin{cases}H^{k}(E;\Lambda )\to H^{k+n}(E,E\setminus B;\Lambda )\\x\longmapsto x\smile u\end{cases}}}$

es un isomorfismo.

En términos concisos, la última parte del teorema dice que u genera libremente como un módulo derecho . La clase u suele denominarse clase Thom de E. Dado que el retroceso es un isomorfismo de anillo , viene dado por la ecuación: ${\displaystyle H^{*}(E,E\setminus B;\Lambda )}$ ${\displaystyle H^{*}(E;\Lambda )}$ ${\displaystyle p^{*}:H^{*}(B;\Lambda )\to H^{*}(E;\Lambda )}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi (b)=p^{*}(b)\smile u.}$

En particular, el isomorfismo de Thom envía el elemento de identidad de a u . Nota: para que esta fórmula tenga sentido, u se trata como un elemento de (eliminamos el anillo ) ${\displaystyle H^{*}(B)}$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle {\tilde {H}}^{n}(T(E))=H^{n}(\operatorname {Sph} (E),B)\simeq H^{n}(E,E\setminus B).}$^[1]

La referencia estándar para el isomorfismo de Thom es el libro de Bott y Tu.

Importancia del trabajo de Thom

En su artículo de 1952, Thom demostró que la clase Thom, las clases Stiefel-Whitney y las operaciones Steenrod estaban todas relacionadas. Usó estas ideas para demostrar en el artículo de 1954 Quelques propriétés globales des variétés diferenciables que los grupos de cobordismo podrían calcularse como los grupos de homotopía de ciertos espacios de Thom MG ( n ). La prueba depende y está íntimamente relacionada con las propiedades de transversalidad de variedades suaves (ver teorema de transversalidad de Thom) . Al revertir esta construcción, John Milnor y Sergei Novikov (entre muchos otros) pudieron responder preguntas sobre la existencia y unicidad de las variedades de alta dimensión: esto ahora se conoce como teoría de la cirugía . Además, los espacios MG(n) encajan entre sí para formar espectros MG ahora conocidos como espectros de Thom , y los grupos de cobordismo son, de hecho, estables . Por lo tanto, la construcción de Thom también unifica la topología diferencial y la teoría de la homotopía estable y es, en particular, parte integral de nuestro conocimiento de los grupos de esferas de homotopía estable .

Si las operaciones de Steenrod están disponibles, podemos usarlas y el isomorfismo del teorema para construir las clases de Stiefel-Whitney. Recordemos que las operaciones de Steenrod (mod 2) son transformaciones naturales

${\displaystyle Sq^{i}:H^{m}(-;\mathbb {Z} _{2})\to H^{m+i}(-;\mathbb {Z} _{2}),}$

definido para todos los enteros no negativos m . Si , entonces coincide con el cuadrado de la copa. Podemos definir la i- ésima clase Stiefel-Whitney del paquete de vectores mediante: ${\displaystyle i=m}$ ${\displaystyle Sq^{i}}$ ${\displaystyle w_{i}(p)}$ ${\displaystyle p:E\to B}$

${\displaystyle w_{i}(p)=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(\Phi (1)))=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(u)).}$

Consecuencias para variedades diferenciables

Si tomamos el paquete de lo anterior como el paquete tangente de una variedad suave, la conclusión de lo anterior se llama fórmula de Wu y tiene la siguiente fuerte consecuencia: dado que las operaciones de Steenrod son invariantes bajo equivalencia de homotopía, concluimos que el Las clases Stiefel-Whitney de una variedad también lo son. Este es un resultado extraordinario que no se generaliza a otras clases de características. Existe un resultado similar famoso y difícil que establece la invariancia topológica para clases racionales de Pontryagin , debido a Sergei Novikov .

espectro de Thom

Cobordismo real

Hay dos formas de pensar sobre el bordismo: una considera que dos variedades son cobordantes si hay una variedad con límite tal que ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M,M'}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle \partial W=M\coprod M'}$

Otra técnica para codificar este tipo de información es incorporar y considerar el paquete normal. ${\displaystyle M\hookrightarrow \mathbb {R} ^{N+n}}$

${\displaystyle \nu :N_{\mathbb {R} ^{N+n}/M}\to M}$

La variedad incrustada junto con la clase de isomorfismo del paquete normal en realidad codifica la misma información que la clase de cobordismo . Esto se puede demostrar ^[2] usando un cobordismo y encontrando una incrustación en some que proporcione una clase de mapas de homotopía al espacio de Thom definido a continuación. Mostrando el isomorfismo de ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N_{W}+n}\times [0,1]}$ ${\displaystyle MO(n)}$

${\displaystyle \pi _{n}MO\cong \Omega _{n}^{O}}$

requiere un poco más de trabajo. ^[3]

Definición de espectro de Thom

Por definición, el espectro de Thom ^[4] es una secuencia de espacios de Thom

${\displaystyle MO(n)=T(\gamma ^{n})}$

donde escribimos para el paquete de vectores universal de rango n . La secuencia forma un espectro . ^[5] Un teorema de Thom dice que es el anillo de cobordismo no orientado ; ^[6] la prueba de este teorema se basa crucialmente en el teorema de transversalidad de Thom . ^[7] La ​​falta de transversalidad impide calcular anillos de cobordismo de, digamos, variedades topológicas a partir de espectros de Thom. ${\displaystyle \gamma ^{n}\to BO(n)}$ ${\displaystyle \pi _{*}(MO)}$

Ver también

• Cobordismo
• Operación de cohomología
• Problema de Steenrod
• Teorema de Hattori-Stong

Notas

1. Prueba del isomorfismo. Podemos incrustar B en cualquiera de las dos secciones como cero; es decir, una sección en el vector cero o como la sección infinita; es decir, una sección en el vector infinito (topológicamente la diferencia es irrelevante). Usando dos formas de incrustación tenemos el triple: ${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}$

   ${\displaystyle (\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B,B)}$.

   Claramente, la deformación se retrae a B . Tomando la secuencia larga exacta de este triple, vemos: ${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)\setminus B}$

   ${\displaystyle H^{n}(Sph(E),B)\simeq H^{n}(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B),}$

   el último de los cuales es isomorfo a:

   ${\displaystyle H^{n}(E,E\setminus B)}$

   por escisión.
2. "Teorema de Thom" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 17 de enero de 2021.
3. «Transversalidad» (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 17 de enero de 2021.
4. Véanse las págs. 8 y 9 en Greenlees, JPC (15 de septiembre de 2006). "Espectros para algebristas conmutativos". arXiv : matemáticas/0609452 .
5. Francis, J. "Matemáticas 465, conferencia 2: cobordismo" (PDF) . Notas de O. Gwilliam. Northwestern University.
6. Fuerte 1968, pag. 18
7. Francis, J. "Matemáticas 465, lección 4: transversalidad" (PDF) . Notas de I. Bobovka. Northwestern University.

Referencias

• Sullivan, Dennis (2004). "El trabajo de René Thom sobre homología geométrica y bordismo". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 41 (3): 341–350. doi : 10.1090/S0273-0979-04-01026-2 .
• Bott, Raúl ; Tu, Loring (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-90613-4.Una referencia clásica para la topología diferencial , que trata el vínculo con la dualidad de Poincaré , la clase de Euler de paquetes de esferas , las clases de Thom y el isomorfismo de Thom, y más.
• Milnor, Juan . Clases características .es otra referencia estándar para la clase Thom y el isomorfismo de Thom. Véase especialmente el párrafo 18.
• Mayo, J. Peter (1999). Un curso conciso en topología algebraica . Prensa de la Universidad de Chicago . págs. 183-198. ISBN 0-226-51182-0.Este libro de texto ofrece una construcción detallada de la clase Thom para paquetes de vectores triviales y también formula el teorema en el caso de paquetes de vectores arbitrarios.
• Fuerte, Robert E. (1968). Apuntes sobre la teoría del cobordismo . Prensa de la Universidad de Princeton .
• Thom, René (1954). " Quelques propriétés globales des variétés différentiables ". Comentarios Mathematici Helvetici . 28 : 17–86. doi :10.1007/BF02566923. S2CID  120243638.
• Ando, ​​Mateo; Blumberg, Andrew J.; Gepner, David J.; Hopkins, Michael J .; Rezk, Charles (2014). "Unidades de espectros de anillo y espectros de Thom". Revista de topología . 7 (4): 1077–1117. arXiv : 0810.4535 . doi :10.1112/jtopol/jtu009. SEÑOR  0286898. S2CID  119613530.

enlaces externos

• http://ncatlab.org/nlab/show/Thom+spectrum
• "Thom space", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]