Teorema de transversalidad

Describe las propiedades de intersección transversal de una familia suave de mapas suaves.

En topología diferencial , el teorema de transversalidad , también conocido como teorema de transversalidad de Thom en honor al matemático francés René Thom , es un resultado importante que describe las propiedades de intersección transversal de una familia suave de mapas suaves. Dice que la transversalidad es una propiedad genérica : cualquier aplicación suave puede deformarse en una pequeña cantidad arbitraria en una aplicación que es transversal a una subvariedad dada . Junto con la construcción de Pontryagin-Thom , es el corazón técnico de la teoría del cobordismo y el punto de partida de la teoría de la cirugía . La versión de dimensión finita del teorema de transversalidad es también una herramienta muy útil para establecer la genericidad de una propiedad que depende de un número finito de parámetros reales y que es expresable mediante un sistema de ecuaciones no lineales. Esto se puede extender a una parametrización de dimensión infinita utilizando la versión de dimensión infinita del teorema de transversalidad. ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle Z\subseteq Y}$

Versión de dimensión finita

Definiciones anteriores

Sea un mapa suave entre variedades suaves y sea una subvariedad de . Decimos que es transversal a , denotada como , si y sólo si para cada tenemos eso ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f\pitchfork Z}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}\left(Z\right)}$

${\displaystyle \operatorname {im} \left(df_{x}\right)+T_{f\left(x\right)}Z=T_{f\left(x\right)}Y}$.

Un resultado importante sobre la transversalidad establece que si un mapa suave es transversal a , entonces es una subvariedad regular de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f^{-1}\left(Z\right)}$ ${\displaystyle X}$

Si es una variedad con límite , entonces podemos definir la restricción del mapa al límite, como . El mapa es fluido y nos permite establecer una extensión del resultado anterior: si ambos y , entonces es una subvariedad regular de con límite, y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \partial f\colon \partial X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \partial f}$ ${\displaystyle f\pitchfork Z}$ ${\displaystyle \partial f\pitchfork Z}$ ${\displaystyle f^{-1}\left(Z\right)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \partial f^{-1}\left(Z\right)=f^{-1}\left(Z\right)\cap \partial X}$.

Teorema de transversalidad paramétrica

Considere el mapa y defina . Esto genera una familia de mapeos . Requerimos que la familia varíe suavemente asumiendo que es una variedad (suave) y que es suave. ${\displaystyle F\colon X\times S\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f_{s}\left(x\right)=F\left(x,s\right)}$ ${\displaystyle f_{s}\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F}$

El enunciado del teorema de transversalidad paramétrica es:

Supongamos que es un mapa suave de variedades, donde solo tiene límite, y sea cualquier subvariedad sin límite. Si ambos y son transversales a , entonces, para casi todos , ambos y son transversales a . ${\displaystyle F\colon X\times S\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \partial F}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle \partial f_{s}}$ ${\displaystyle Z}$

Teoremas de transversalidad más generales

El teorema de transversalidad paramétrica anterior es suficiente para muchas aplicaciones elementales (ver el libro de Guillemin y Pollack).

Hay declaraciones más poderosas (conocidas colectivamente como teoremas de transversalidad ) que implican el teorema de transversalidad paramétrica y son necesarias para aplicaciones más avanzadas.

Informalmente, el "teorema de transversalidad" establece que el conjunto de asignaciones que son transversales a una subvariedad dada es un subconjunto denso abierto (o, en algunos casos, sólo un denso ) del conjunto de asignaciones. Para que tal afirmación sea precisa, es necesario definir el espacio de asignaciones bajo consideración y cuál es la topología en él. Hay varias posibilidades; ver el libro de Hirsch. ${\displaystyle G_{\delta }}$

Lo que normalmente se entiende por teorema de transversalidad de Thom es una afirmación más poderosa sobre la transversalidad del jet . Véanse los libros de Hirsch y de Golubitsky y Guillemin. La referencia original es Thom, Bol. Soc. Estera. Mexicana (2) 1 (1956), págs.

John Mather demostró en la década de 1970 un resultado aún más general llamado teorema de transversalidad multijet . Vea el libro de Golubitsky y Guillemin.

Versión de dimensión infinita

La versión de dimensión infinita del teorema de transversalidad tiene en cuenta que las variedades pueden modelarse en espacios de Banach. ^{[ cita necesaria ]}

Declaración formal

Supongamos que es un mapa de variedades -Banach. Asumir: ${\displaystyle F:X\times S\to Y}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

(i) y son variedades de Banach metrizables y no vacías con espacios de gráfico sobre un campo ${\displaystyle X,S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

(ii) El mapa con tiene un valor regular. ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle F:X\times S\to Y}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle y}$

(iii) Para cada parámetro , el mapa es un mapa de Fredholm , donde para cada ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f_{s}(x)=F(x,s)}$ ${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)<k}$ ${\displaystyle x\in f_{s}^{-1}(\{y\}).}$

(iv) La convergencia en como y para todos implica la existencia de una subsecuencia convergente como con ${\displaystyle s_{n}\to s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle F(x_{n},s_{n})=y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{n}\to x}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle x\in X.}$

Si (i)-(iv) se cumple, entonces existe un subconjunto denso y abierto tal que es un valor regular de para cada parámetro ${\displaystyle S_{0}\subset S}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle s\in S_{0}.}$

Ahora, arregle un elemento. Si existe un número con para todas las soluciones de , entonces el conjunto de soluciones consta de una variedad de Banach -dimensional o el conjunto de soluciones está vacío. ${\displaystyle s\in S_{0}.}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)=n}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f_{s}(x)=y}$ ${\displaystyle f_{s}^{-1}(\{y\})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Tenga en cuenta que si para todas las soluciones de entonces existe un subconjunto denso abierto de tal que hay como máximo un número finito de soluciones para cada parámetro fijo. Además, todas estas soluciones son regulares. ${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)=0}$ ${\displaystyle f_{s}(x)=y,}$ ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S_{0}.}$

Referencias

• Arnold, Vladimir I. (1988). Métodos geométricos en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias . Saltador. ISBN 0-387-96649-8.
• Golubitsky, Martín ; Guillemin, Víctor (1974). Mapeos estables y sus singularidades . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90073-X.
• Guillemin, Víctor ; Pollack, Alan (1974). Topología diferencial . Prentice Hall. ISBN 0-13-212605-2.
• Hirsch, Morris W. (1976). Topología diferencial. Saltador. ISBN 0-387-90148-5.
• Thom, René (1954). "Quelques propriétés globales des variétés diferenciables". Comentarios Mathematici Helvetici . 28 (1): 17–86. doi :10.1007/BF02566923.
• Thom, René (1956). "Un déjame sur las aplicaciones diferenciables". bol. Soc. Estera. Mexicana . 2 (1): 59–71.
• Zeidler, Eberhard (1997). Análisis funcional no lineal y sus aplicaciones: Parte 4: Aplicaciones a la física matemática . Saltador. ISBN 0-387-96499-1.