Teorema de transversalidad

Describe las propiedades de intersección transversal de una familia suave de mapas suaves.

En topología diferencial , el teorema de transversalidad , también conocido como teorema de transversalidad de Thom en honor al matemático francés René Thom , es un resultado importante que describe las propiedades de intersección transversal de una familia suave de aplicaciones suaves. Dice que la transversalidad es una propiedad genérica : cualquier aplicación suave puede deformarse en una cantidad arbitrariamente pequeña para convertirse en una aplicación que sea transversal a una subvariedad dada . Junto con la construcción de Pontryagin-Thom , es el corazón técnico de la teoría del cobordismo y el punto de partida de la teoría de la cirugía . La versión de dimensión finita del teorema de transversalidad también es una herramienta muy útil para establecer la genericidad de una propiedad que depende de un número finito de parámetros reales y que se puede expresar utilizando un sistema de ecuaciones no lineales. Esto se puede extender a una parametrización de dimensión infinita utilizando la versión de dimensión infinita del teorema de transversalidad. ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle Z\subseteq Y}$

Versión de dimensión finita

Definiciones anteriores

Sea una función suave entre variedades suaves, y sea una subvariedad de . Decimos que es transversal a , denotada como , si y solo si para cada tenemos que ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f\pitchfork Z}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}\left(Z\right)}$

${\displaystyle \operatorname {im} \left(df_{x}\right)+T_{f\left(x\right)}Z=T_{f\left(x\right)}Y}$.

Un resultado importante sobre la transversalidad establece que si una función suave es transversal a , entonces es una subvariedad regular de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f^{-1}\left(Z\right)}$ ${\displaystyle X}$

Si es una variedad con borde , entonces podemos definir la restricción de la función al borde, como . La función es suave, y nos permite enunciar una extensión del resultado anterior: si tanto y , entonces es una subvariedad regular de con borde, y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \partial f\colon \partial X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \partial f}$ ${\displaystyle f\pitchfork Z}$ ${\displaystyle \partial f\pitchfork Z}$ ${\displaystyle f^{-1}\left(Z\right)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \partial f^{-1}\left(Z\right)=f^{-1}\left(Z\right)\cap \partial X}$.

Teorema de transversalidad paramétrica

Considere el mapa y defina . Esto genera una familia de aplicaciones . Requerimos que la familia varíe suavemente asumiendo que es una variedad (suave) y que es suave. ${\displaystyle F\colon X\times S\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f_{s}\left(x\right)=F\left(x,s\right)}$ ${\displaystyle f_{s}\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F}$

El enunciado del teorema de transversalidad paramétrica es:

Supóngase que es una función suave de variedades, donde solo tiene frontera, y sea cualquier subvariedad de sin frontera. Si tanto y son transversales a , entonces para casi todo , tanto y son transversales a . ${\displaystyle F\colon X\times S\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \partial F}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle \partial f_{s}}$ ${\displaystyle Z}$

Teoremas de transversalidad más generales

El teorema de transversalidad paramétrica anterior es suficiente para muchas aplicaciones elementales (véase el libro de Guillemin y Pollack).

Hay afirmaciones más poderosas (conocidas colectivamente como teoremas de transversalidad ) que implican el teorema de transversalidad paramétrica y son necesarias para aplicaciones más avanzadas.

De manera informal, el "teorema de transversalidad" establece que el conjunto de aplicaciones que son transversales a una subvariedad dada es un subconjunto denso abierto (o, en algunos casos, sólo un subconjunto denso ) del conjunto de aplicaciones. Para que tal afirmación sea precisa, es necesario definir el espacio de aplicaciones en consideración y cuál es la topología en él. Existen varias posibilidades; véase el libro de Hirsch. ${\displaystyle G_{\delta }}$

Lo que generalmente se entiende por teorema de transversalidad de Thom es una afirmación más contundente sobre la transversalidad de los chorros . Véanse los libros de Hirsch y de Golubitsky y Guillemin. La referencia original es Thom, Bol. Soc. Mat. Mexicana (2) 1 (1956), pp. 59–71.

En la década de 1970, John Mather demostró un resultado aún más general, denominado teorema de transversalidad de chorros múltiples . Véase el libro de Golubitsky y Guillemin.

Versión de dimensión infinita

La versión de dimensión infinita del teorema de transversalidad tiene en cuenta que las variedades pueden modelarse en espacios de Banach. ^{[ cita requerida ]}

Declaración formal

Supongamos que es una función de variedades de -Banach. Supongamos: ${\displaystyle F:X\times S\to Y}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

(i) y son variedades de Banach metrizables no vacías con espacios de gráficos sobre un cuerpo ${\displaystyle X,S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

(ii) El -map con tiene como valor regular. ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle F:X\times S\to Y}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle y}$

(iii) Para cada parámetro , el mapa es un mapa de Fredholm , donde para cada ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f_{s}(x)=F(x,s)}$ ${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)<k}$ ${\displaystyle x\in f_{s}^{-1}(\{y\}).}$

(iv) La convergencia en como y para todos implica la existencia de una subsecuencia convergente como con ${\displaystyle s_{n}\to s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle F(x_{n},s_{n})=y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{n}\to x}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle x\in X.}$

Si se cumplen (i)-(iv), entonces existe un subconjunto abierto y denso tal que es un valor regular de para cada parámetro ${\displaystyle S_{0}\subset S}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle s\in S_{0}.}$

Ahora, arregle un elemento Si existe un número con para todas las soluciones de , entonces el conjunto solución consiste en una variedad de Banach -dimensional o el conjunto solución está vacío. ${\displaystyle s\in S_{0}.}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)=n}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f_{s}(x)=y}$ ${\displaystyle f_{s}^{-1}(\{y\})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Nótese que si para todas las soluciones de entonces existe un subconjunto denso abierto de tal que hay como máximo un número finito de soluciones para cada parámetro fijo . Además, todas estas soluciones son regulares. ${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)=0}$ ${\displaystyle f_{s}(x)=y,}$ ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S_{0}.}$

Referencias

• Arnold, Vladimir I. (1988). Métodos geométricos en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias . Springer. ISBN 0-387-96649-8.
• Golubitsky, Martin ; Guillemin, Victor (1974). Aplicaciones estables y sus singularidades . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90073-X.
• Guillemin, Victor ; Pollack, Alan (1974). Topología diferencial . Prentice-Hall. ISBN 0-13-212605-2.
• Hirsch, Morris W. (1976). Topología diferencial. Springer. ISBN 0-387-90148-5.
• Thom, René (1954). "Quelques propriétés globales des variétés diferenciables". Comentarios Mathematici Helvetici . 28 (1): 17–86. doi :10.1007/BF02566923.
• Thom, René (1956). "Un déjame sur las aplicaciones diferenciables". bol. Soc. Estera. Mexicana . 2 (1): 59–71.
• Zeidler, Eberhard (1997). Análisis funcional no lineal y sus aplicaciones: Parte 4: Aplicaciones a la física matemática . Springer. ISBN 0-387-96499-1.