Operador de Fredholm

En matemáticas , los operadores de Fredholm son ciertos operadores que surgen en la teoría de ecuaciones integrales de Fredholm . Reciben su nombre en honor a Erik Ivar Fredholm . Por definición, un operador de Fredholm es un operador lineal acotado T  :  X  →  Y entre dos espacios de Banach con núcleo de dimensión finita y conúcleo (algebraico) de dimensión finita , y con rango cerrado . La última condición es en realidad redundante. ^[1] ${\displaystyle \ker T}$ ${\displaystyle \operatorname {coker} T=Y/\operatorname {ran} T}$ ${\displaystyle \operatorname {ran} T}$

El índice de un operador de Fredholm es el número entero

${\displaystyle \operatorname {ind} T:=\dim \ker T-\operatorname {codim} \operatorname {ran} T}$

o en otras palabras,

${\displaystyle \operatorname {ind} T:=\dim \ker T-\operatorname {dim} \operatorname {coker} T.}$

Propiedades

Intuitivamente, los operadores de Fredholm son aquellos operadores que son invertibles "si se ignoran los efectos de dimensión finita". La afirmación formalmente correcta es la siguiente: un operador acotado T  :  X  →  Y entre espacios de Banach X e Y es Fredholm si y solo si es invertible módulo operadores compactos , es decir, si existe un operador lineal acotado

${\displaystyle S:Y\to X}$

de tal manera que

${\displaystyle \mathrm {Id} _{X}-ST\quad {\text{and}}\quad \mathrm {Id} _{Y}-TS}$

son operadores compactos en X e Y respectivamente.

Si un operador de Fredholm se modifica ligeramente, sigue siendo Fredholm y su índice sigue siendo el mismo. Formalmente: el conjunto de operadores de Fredholm de X a Y es abierto en el espacio de Banach L( X ,  Y ) de operadores lineales acotados, equipado con la norma del operador , y el índice es localmente constante. Más precisamente, si T ₀ es Fredholm de X a Y , existe ε  > 0 tal que cada T en L( X ,  Y ) con || T − T ₀ || < ε es Fredholm, con el mismo índice que el de  T ₀ .

Cuando T es Fredholm de X a Y y U Fredholm de Y a Z , entonces la composición es Fredholm de X a Z y ${\displaystyle U\circ T}$

${\displaystyle \operatorname {ind} (U\circ T)=\operatorname {ind} (U)+\operatorname {ind} (T).}$

Cuando T es Fredholm, el operador transpuesto (o adjunto) T  ′ es Fredholm de Y  ′ a X  ′ , e ind( T  ′) = −ind( T ) . Cuando X e Y son espacios de Hilbert , la misma conclusión se cumple para el adjunto hermítico  T ^∗ .

Cuando T es Fredholm y K un operador compacto, entonces T  +  K es Fredholm. El índice de T permanece invariable bajo tales perturbaciones compactas de T . Esto se deduce del hecho de que el índice i ( s ) de T + s  K es un entero definido para cada s en [0, 1], e i ( s ) es localmente constante, por lo tanto i (1) =  i (0).

La invariancia por perturbación es cierta para clases más grandes que la clase de operadores compactos. Por ejemplo, cuando U es Fredholm y T un operador estrictamente singular , entonces T  +  U es Fredholm con el mismo índice. ^[2] La clase de operadores no esenciales , que contiene propiamente la clase de operadores estrictamente singulares, es la "clase de perturbación" para los operadores de Fredholm. Esto significa que un operador es no esencial si y solo si T + U es Fredholm para cada operador de Fredholm . ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ ${\displaystyle U\in B(X,Y)}$

Ejemplos

Sea un espacio de Hilbert con una base ortonormal indexada por los enteros no negativos. El operador de desplazamiento (hacia la derecha) S sobre H se define por ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{e_{n}\}}$

${\displaystyle S(e_{n})=e_{n+1},\quad n\geq 0.\,}$

Este operador S es inyectivo (en realidad, isométrico) y tiene un rango cerrado de codimensión 1, por lo tanto S es Fredholm con . Las potencias , , son Fredholm con índice . El adjunto S* es el desplazamiento a la izquierda, ${\displaystyle \operatorname {ind} (S)=-1}$ ${\displaystyle S^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle -k}$

${\displaystyle S^{*}(e_{0})=0,\ \ S^{*}(e_{n})=e_{n-1},\quad n\geq 1.\,}$

El desplazamiento a la izquierda S* es Fredholm con índice 1.

Si H es el espacio de Hardy clásico en el círculo unitario T en el plano complejo, entonces el operador de desplazamiento con respecto a la base ortonormal de exponenciales complejas ${\displaystyle H^{2}(\mathbf {T} )}$

${\displaystyle e_{n}:\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\in \mathbf {T} \mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt},\quad n\geq 0,\,}$

es el operador de multiplicación M _φ con la función . De manera más general, sea φ una función continua compleja en T que no se anula en , y sea T _φ el operador de Toeplitz con símbolo φ , igual a la multiplicación por φ seguida de la proyección ortogonal : ${\displaystyle \varphi =e_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle P:L^{2}(\mathbf {T} )\to H^{2}(\mathbf {T} )}$

${\displaystyle T_{\varphi }:f\in H^{2}(\mathrm {T} )\mapsto P(f\varphi )\in H^{2}(\mathrm {T} ).\,}$

Entonces T _φ es un operador de Fredholm en , con índice relacionado con el número de bobinado alrededor de 0 de la trayectoria cerrada : el índice de T _φ , como se define en este artículo, es el opuesto de este número de bobinado. ${\displaystyle H^{2}(\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]\mapsto \varphi (e^{it})}$

Aplicaciones

Cualquier operador elíptico puede extenderse a un operador de Fredholm. El uso de operadores de Fredholm en ecuaciones diferenciales parciales es una forma abstracta del método parametrix .

El teorema del índice de Atiyah-Singer proporciona una caracterización topológica del índice de ciertos operadores en variedades.

El teorema de Atiyah-Jänich identifica la K-teoría K ( X ) de un espacio topológico compacto X con el conjunto de clases de homotopía de aplicaciones continuas de X al espacio de operadores de Fredholm H → H , donde H es el espacio de Hilbert separable y el conjunto de estos operadores lleva la norma del operador.

Generalizaciones

Operadores de Semi-Fredholm

Un operador lineal acotado T se denomina semi-Fredholm si su rango es cerrado y al menos uno de , es de dimensión finita. Para un operador semi-Fredholm, el índice se define por ${\displaystyle \ker T}$ ${\displaystyle \operatorname {coker} T}$

${\displaystyle \operatorname {ind} T={\begin{cases}+\infty ,&\dim \ker T=\infty ;\\\dim \ker T-\dim \operatorname {coker} T,&\dim \ker T+\dim \operatorname {coker} T<\infty ;\\-\infty ,&\dim \operatorname {coker} T=\infty .\end{cases}}}$

Operadores ilimitados

También se pueden definir operadores de Fredholm ilimitados. Sean X e Y dos espacios de Banach.

1. El operador lineal cerrado se llama Fredholm si su dominio es denso en , su rango es cerrado y tanto el núcleo como el co-núcleo de T son de dimensión finita. ${\displaystyle T:\,X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {D}}(T)}$ ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle T:\,X\to Y}$se llama semi-Fredholm si su dominio es denso en , su rango es cerrado y el núcleo o conúcleo de T (o ambos) es de dimensión finita. ${\displaystyle {\mathfrak {D}}(T)}$ ${\displaystyle X}$

Como se señaló anteriormente, el rango de un operador cerrado es cerrado siempre que el co-núcleo sea de dimensión finita (Edmunds y Evans, Teorema I.3.2).

Notas

1. Abramovich, Yuri A.; Aliprantis, Charalambos D. (2002). Una invitación a la teoría de operadores . Estudios de posgrado en matemáticas. Vol. 50. Sociedad matemática estadounidense. pág. 156. ISBN. 978-0-8218-2146-6.
2. Kato, Tosio (1958). "Teoría de la perturbación para la deficiencia de nulidad y otras cantidades de operadores lineales". Journal d'Analyse Mathématique . 6 : 273–322. doi :10.1007/BF02790238. S2CID  120480871.

Referencias

• DE Edmunds y WD Evans (1987), Teoría espectral y operadores diferenciales, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2 . 
• AG Ramm, "Una prueba simple de la alternativa de Fredholm y una caracterización de los operadores de Fredholm", American Mathematical Monthly , 108 (2001) pág. 855 (NB: En este artículo la palabra "operador de Fredholm" se refiere al "operador de Fredholm de índice 0").
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Fredholm". MathWorld .
• BV Khvedelidze (2001) [1994], "Teoremas de Fredholm", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Bruce K. Driver, "Operadores compactos y de Fredholm y el teorema espectral", Herramientas de análisis con aplicaciones , Capítulo 35, págs. 579–600.
• Robert C. McOwen, "Teoría de Fredholm de ecuaciones diferenciales parciales en variedades riemannianas completas", Pacific J. Math. 87 , no. 1 (1980), 169–185.
• Tomasz Mrowka, Una breve introducción al análisis lineal: operadores de Fredholm, geometría de variedades, otoño de 2004 (Instituto Tecnológico de Massachusetts: MIT OpenCouseWare)