En matemáticas , el teorema de Kuiper (después de Nicolaas Kuiper ) es un resultado de la topología de operadores en un espacio de Hilbert complejo H de dimensión infinita . Afirma que el espacio GL( H ) de endomorfismos acotados invertibles de H es tal que todos los mapas de cualquier complejo finito Y a GL( H ) son homotópicos a una constante, para la topología normal de los operadores.
Un corolario importante, también conocido como teorema de Kuiper , es que este grupo es débilmente contráctil , es decir. todos sus grupos de homotopía son triviales. Este resultado tiene usos importantes en la teoría K topológica .
Para H de dimensión finita , este grupo sería un grupo lineal general complejo y nada contráctil. De hecho , es homotopía equivalente a su subgrupo compacto máximo , el grupo unitario U de H. La prueba de que el grupo lineal general complejo y el grupo unitario tienen el mismo tipo de homotopía es mediante el proceso de Gram-Schmidt , o mediante la descomposición polar matricial , y se traslada al caso de dimensión infinita del espacio de Hilbert separable , básicamente porque el espacio de Las matrices triangulares superiores son contráctiles, como puede verse de forma bastante explícita. El fenómeno subyacente es que pasar a infinitas dimensiones hace que gran parte de la complejidad topológica de los grupos unitarios desaparezca; pero vea la sección sobre el grupo unitario de Bott, donde el paso al infinito está más restringido y el grupo resultante tiene grupos de homotopía no triviales.
Es un hecho sorprendente que la esfera unitaria , a veces denominada S ∞ , en el espacio de Hilbert H de dimensión infinita sea un espacio contráctil , mientras que ninguna esfera de dimensión finita es contráctil. Este resultado, ciertamente conocido décadas antes del de Kuiper, puede tener el estatus de folklore matemático , pero se cita con bastante frecuencia. [1] [2] De hecho, hay más cosas ciertas: S ∞ es difeomorfo a H , que ciertamente es contráctil por su convexidad. [3] Una consecuencia es que existen contraejemplos suaves para una extensión del teorema del punto fijo de Brouwer a la bola unitaria en H. [4] La existencia de tales contraejemplos que son homeomorfismos fue demostrada en 1943 por Shizuo Kakutani , quien pudo haber escrito por primera vez una prueba de la contractibilidad de la esfera unitaria. [5] Pero el resultado era esencialmente conocido (en 1935, Andrey Nikolayevich Tychonoff demostró que la esfera unitaria era una retracción de la bola unitaria). [6]
El resultado sobre el grupo de operadores acotados fue demostrado por el matemático holandés Nicolaas Kuiper , para el caso de un espacio de Hilbert separable; Posteriormente se levantó la restricción de separabilidad. [7] El mismo resultado, pero para la topología de operador fuerte en lugar de la topología normal, fue publicado en 1963 por Jacques Dixmier y Adrien Douady . [8] La relación geométrica de la esfera y el grupo de operadores es que la esfera unitaria es un espacio homogéneo para el grupo unitario U. El estabilizador de un único vector v de la esfera unitaria es el grupo unitario del complemento ortogonal de v ; por lo tanto, la secuencia exacta larga de homotopía predice que todos los grupos de homotopía de la esfera unitaria serán triviales. Esto muestra la estrecha relación topológica, pero no es suficiente en sí mismo, ya que la inclusión de un punto será solo una equivalencia de homotopía débil , y eso implica contractibilidad directa solo para un complejo CW . En un artículo publicado dos años después del de Kuiper, [9] Richard Palais proporcionó resultados técnicos sobre variedades de dimensión infinita suficientes para resolver este problema. [10]
Hay otro grupo unitario de dimensión infinita, de gran importancia en la teoría de la homotopía , aquel al que se aplica el teorema de periodicidad de Bott . Ciertamente no es contraíble. La diferencia con el grupo de Kuiper se puede explicar: el grupo de Bott es el subgrupo en el que un operador dado actúa de manera no trivial sólo en un subespacio abarcado por el primer N de una base ortonormal fija { e i }, para algún N , siendo la identidad en los vectores base restantes.
Una consecuencia inmediata, dada la teoría general de los haces de fibras , es que todo haz de Hilbert es un haz trivial . [11]
El resultado sobre la contractibilidad de S ∞ da una construcción geométrica de espacios clasificadores para ciertos grupos que actúan libremente sobre él, como el grupo cíclico con dos elementos y el grupo circular . El grupo unitario U en el sentido de Bott tiene un espacio de clasificación BU para paquetes de vectores complejos (ver Espacio de clasificación para U(n) ). Una aplicación más profunda proveniente del teorema de Kuiper es la prueba del teorema de Atiyah-Jänich (después de Klaus Jänich y Michael Atiyah ), que establece que el espacio de los operadores de Fredholm en H , con la topología normal, representa el funtor K (.) de topológico ( complejo) Teoría K, en el sentido de teoría de la homotopía. Esto lo da Atiyah. [12]
Se puede plantear la misma pregunta sobre los operadores invertibles en cualquier espacio de Banach de dimensión infinita. Aquí sólo hay resultados parciales. Algunos espacios de secuencia clásicos tienen la misma propiedad, es decir, que el grupo de operadores invertibles es contráctil. Por otro lado, se conocen ejemplos donde no logra ser un espacio conectado . [13] Cuando se sabe que todos los grupos de homotopía son triviales, la contractibilidad en algunos casos puede permanecer desconocida.