operador de toeplitz

En la teoría de operadores , un operador de Toeplitz es la compresión de un operador de multiplicación en el círculo al espacio de Hardy .

Detalles

Sea el círculo unitario complejo, con la medida estándar de Lebesgue, y sea el espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado. Una función medible acotada define un operador de multiplicación en . Sea la proyección desde el espacio de Hardy . El operador Toeplitz con símbolo está definido por ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}(S^{1})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle M_{g}}$ ${\displaystyle L^{2}(S^{1})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L^{2}(S^{1})}$ ${\displaystyle H^{2}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle T_{g}=PM_{g}\vert _{H^{2}},}$

donde " | " significa restricción.

Un operador acotado en es Toeplitz si y sólo si su representación matricial, en la base , tiene diagonales constantes. ${\displaystyle H^{2}}$ ${\displaystyle \{z^{n},z\in \mathbb {C} ,n\geq 0\}}$

Teoremas

• Teorema: Si es continuo , entonces es Fredholm si y sólo si no está en el conjunto . Si es Fredholm, su índice es menos el número de vueltas de la curva trazada por respecto al origen. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle T_{g}-\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g(S^{1})}$ ${\displaystyle g}$

Para una prueba, véase Douglas (1972, p.185). Atribuye el teorema a Mark Kerin , Harold Widom y Allen Devinatz. Esto puede considerarse como un caso especial importante del teorema del índice de Atiyah-Singer .

• Teorema de Axler - Chang - Sarason : El operador es compacto si y sólo si . ${\displaystyle T_{f}T_{g}-T_{fg}}$ ${\displaystyle H^{\infty }[{\bar {f}}]\cap H^{\infty }[g]\subseteq H^{\infty }+C^{0}(S^{1})}$

Aquí, denota la subálgebra cerrada de funciones analíticas (funciones con coeficientes de Fourier negativos evanescentes), es la subálgebra cerrada de generada por y , y es el espacio (como un conjunto algebraico) de funciones continuas en el círculo. Véase S. Axler, SY. Chang, D. Sarason (1978). ${\displaystyle H^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }(S^{1})}$ ${\displaystyle H^{\infty }[f]}$ ${\displaystyle L^{\infty }(S^{1})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{0}(S^{1})}$

Ver también

• Matriz de Toeplitz  : matriz con filas cambiantes

Referencias

• S. Axler, SY. Chang, D. Sarason (1978), "Productos de los operadores de Toeplitz", Ecuaciones integrales y teoría del operador , 1 (3): 285–309, doi :10.1007/BF01682841, S2CID  120610368{{citation}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• Böttcher, Albrecht; Grudsky, Sergei M. (2000), Matrices de Toeplitz, álgebra lineal asintótica y análisis funcional, Birkhäuser , ISBN 978-3-0348-8395-5.
• Böttcher, A .; Silbermann, B. (2006), Análisis de operadores de Toeplitz , Monografías de Springer en Matemáticas (2ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-32434-8.
• Douglas, Ronald (1972), Técnicas de álgebra de Banach en la teoría del operador , Academic Press.
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1985), Clases de Hardy y teoría del operador , Oxford University Press. Reimpreso por Dover Publications, 1997, ISBN 978-0-486-69536-5 .