Dilatación (teoría del operador)

En teoría de operadores , una dilatación de un operador T en un espacio de Hilbert H es un operador en un espacio de Hilbert más grande K , cuya restricción a H compuesta con la proyección ortogonal sobre H es T.

Más formalmente, sea T un operador acotado en algún espacio de Hilbert H y H un subespacio de un espacio de Hilbert más grande H' . Un operador acotado V en H' es una dilatación de T si

${\displaystyle P_{H}\;V|_{H}=T}$

donde es una proyección ortogonal sobre H . ${\displaystyle P_{H}}$

Se dice que V es una dilatación unitaria (respectivamente, normal, isométrica, etc.) si V es unitaria (respectivamente, normal, isométrica, etc.). Se dice que T es una compresión de V. Si un operador T tiene un conjunto espectral , decimos que V es una dilatación de frontera normal o una dilatación normal si V es una dilatación normal de T y . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \partial X}$ ${\displaystyle \sigma (V)\subseteq \partial X}$

Algunos textos imponen una condición adicional. Es decir, que una dilatación satisfaga la siguiente propiedad (de cálculo):

${\displaystyle P_{H}\;f(V)|_{H}=f(T)}$

donde f(T) es algún cálculo funcional específico (por ejemplo, el polinomio o el cálculo H ^∞ ). La utilidad de una dilatación es que permite el "levantamiento" de objetos asociados a T al nivel de V , donde los objetos elevados pueden tener propiedades más agradables. Véase, por ejemplo, el teorema de elevación de los conmutantes .

Aplicaciones

Podemos demostrar que toda contracción en los espacios de Hilbert tiene una dilatación unitaria. Una posible construcción de esta dilatación es la siguiente. Para una contracción T , el operador

${\displaystyle D_{T}=(I-T^{*}T)^{\frac {1}{2}}}$

es positivo, donde se utiliza el cálculo funcional continuo para definir la raíz cuadrada. El operador D _T se llama operador defecto de T . Sea V el operador de

${\displaystyle H\oplus H}$

definido por la matriz

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}T&D_{T^{*}}\\\ D_{T}&-T^{*}\end{bmatrix}}.}$

V es claramente una dilatación de T. Además, T ( I - T*T ) = ( I - TT* ) T y un argumento límite ^[1] implican

${\displaystyle TD_{T}=D_{T^{*}}T.}$

Usando esto se puede demostrar, calculando directamente, que V es unitario, por lo tanto una dilatación unitaria de T. Este operador V a veces se denomina operador Julia de T.

Observe que cuando T es un escalar real, digamos , tenemos ${\displaystyle T=\cos \theta }$

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\ \sin \theta &-\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

que es simplemente la matriz unitaria que describe la rotación por θ. Por esta razón, al operador de Julia V(T) a veces se le llama rotación elemental de T.

Observamos aquí que en la discusión anterior no hemos requerido la propiedad de cálculo para una dilatación. De hecho, el cálculo directo muestra que el operador de Julia no es una dilatación de "grado 2" en general, es decir, no tiene por qué ser cierto que

${\displaystyle T^{2}=P_{H}\;V^{2}|_{H}}$.

Sin embargo, también se puede demostrar que cualquier contracción tiene una dilatación unitaria que tiene la propiedad de cálculo anterior. Este es el teorema de dilatación de Sz.-Nagy . De manera más general, si es un álgebra de Dirichlet , cualquier operador T con un conjunto espectral tendrá una dilatación normal con esta propiedad. Esto generaliza el teorema de dilatación de Sz.-Nagy ya que todas las contracciones tienen el disco unitario como conjunto espectral. ${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \partial X}$

Notas

1. Sz.-Nagy y Foiaş 1970, 3.1.

Referencias

• Constantinescu, T. (1996), Parámetros de Schur, problemas de dilatación y factorización , vol. 82, Birkhauser Verlag, ISBN 3-7643-5285-X.
• Paulsen, V. (2002), Mapas completamente delimitados y álgebras de operadores , Cambridge University Press, ISBN 0-521-81669-6.
• Sz.-Nagy, B.; Foiaş, C. (1970), Análisis armónico de operadores en el espacio de Hilbert , North-Holland Publishing Company, ISBN 9780720420357.