Álgebra de Dirichlet

En matemáticas , un álgebra de Dirichlet es un tipo particular de álgebra asociada a un espacio de Hausdorff compacto X. Es una subálgebra cerrada de C ( X ), el álgebra uniforme de funciones continuas acotadas en X , cuyas partes reales son densas en el álgebra de funciones reales continuas acotadas en X . El concepto fue introducido por Andrew Gleason  (1957).

Ejemplo

Sea el conjunto de todas las funciones racionales que son continuas en ; en otras palabras, funciones que no tienen polos en . Entonces ${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {R}}(X)+{\overline {{\mathcal {R}}(X)}}}$

es una *-subálgebra de , y de . Si es denso en , decimos que es un álgebra de Dirichlet . ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle C\left(\partial X\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle C\left(\partial X\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$

Se puede demostrar que si un operador tiene como conjunto espectral , y es un álgebra de Dirichlet, entonces tiene una dilatación normal en el límite . Esto generaliza el teorema de dilatación de Sz.-Nagy , que puede verse como una consecuencia de esto al dejar ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle X=\mathbb {D} .}$

Referencias

• Gleason, Andrew M. (1957), "Álgebras de funciones", en Morse, Marston; Beurling, Arne; Selberg, Atle (eds.), Seminarios sobre funciones analíticas: seminario III: superficies de Riemann; seminario IV: teoría de funciones automórficas; seminario V: funciones analíticas relacionadas con las álgebras de Banach , vol. 2, Instituto de Estudios Avanzados, Princeton, págs. 213–226, Zbl  0095.10103
• Nakazi, T. (2001) [1994], "Álgebra de Dirichlet", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Mapas completamente acotados y álgebras de operadores Vern Paulsen, 2002 ISBN 0-521-81669-6 
• Wermer, John (noviembre de 2009), Bolker, Ethan D. (ed.), "El trabajo de Gleason sobre las álgebras de Banach" (PDF) , Andrew M. Gleason 1921–2008, Notices of the American Mathematical Society , 56 (10): 1248–1251.