Espacio Thom

En matemáticas , el espacio de Thom, complejo de Thom o construcción de Pontryagin-Thom (llamado así por René Thom y Lev Pontryagin ) de la topología algebraica y la topología diferencial es un espacio topológico asociado a un fibrado vectorial , sobre cualquier espacio paracompacto .

Construcción del espacio de Thom

Una forma de construir este espacio es la siguiente. Sea

${\displaystyle p\colon E\to B}$

sea ​​un fibrado vectorial real de rango n sobre el espacio paracompacto B . Entonces, para cada punto b en B , la fibra es un espacio vectorial real n -dimensional . Podemos formar un fibrado de n - esferas tomando la compactificación de un punto de cada fibra y pegándolas para obtener el espacio total. ^{[ se necesita más explicación ]} Finalmente, a partir del espacio total obtenemos el espacio de Thom como el cociente de por B ; es decir, identificando todos los nuevos puntos a un único punto , que tomamos como punto base de . Si B es compacto, entonces es la compactificación de un punto de E . ${\displaystyle E_{b}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)\to B}$ ${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}$ ${\displaystyle T(E)}$ ${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle T(E)}$ ${\displaystyle T(E)}$

Por ejemplo, si E es el fibrado trivial , entonces es y, escribiendo para B con un punto base disjunto, es el producto aplastante de y ; es decir, la n -ésima suspensión reducida de . ${\displaystyle B\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}$ ${\displaystyle B\times S^{n}}$ ${\displaystyle B_{+}}$ ${\displaystyle T(E)}$ ${\displaystyle B_{+}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle B_{+}}$

Alternativamente, ^{[ cita requerida ]} dado que B es paracompacto, a E se le puede dar una métrica euclidiana y luego se puede definir como el cociente del fibrado de discos unitarios de E por el fibrado de esferas unitarias de E. ${\displaystyle T(E)}$ ${\displaystyle (n-1)}$

El isomorfismo de Thom

La importancia de esta construcción comienza con el siguiente resultado, que pertenece al tema de la cohomología de los fibrados . (Hemos expresado el resultado en términos de coeficientes para evitar complicaciones derivadas de la orientabilidad ; véase también Orientación de un fibrado vectorial#Espacio de Thom ). ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Sea un fibrado vectorial real de rango n . Entonces existe un isomorfismo llamado isomorfismo de Thom. ${\displaystyle p:E\to B}$

${\displaystyle \Phi :H^{k}(B;\mathbb {Z} _{2})\to {\widetilde {H}}^{k+n}(T(E);\mathbb {Z} _{2}),}$

para todo k mayor o igual a 0, donde el lado derecho es cohomología reducida .

Este teorema fue formulado y demostrado por René Thom en su famosa tesis de 1952.

Podemos interpretar el teorema como una generalización global del isomorfismo de suspensión sobre trivializaciones locales, porque el espacio de Thom de un fibrado trivial en B de rango k es isomorfo a la k -ésima suspensión de , B con un punto disjunto añadido (cf. #Construcción del espacio de Thom). Esto se puede ver más fácilmente en la formulación del teorema que no hace referencia al espacio de Thom: ${\displaystyle B_{+}}$

Isomorfismo de Thom  :  Sea un anillo y un fibrado vectorial real orientado de rango n . Entonces existe una clase ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle p:E\to B}$

${\displaystyle u\in H^{n}(E,E\setminus B;\Lambda ),}$

donde B está incrustado en E como una sección cero, de modo que para cualquier fibra F la restricción de u

${\displaystyle u|_{(F,F\setminus 0)}\in H^{n}(F,F\setminus 0;\Lambda )}$

es la clase inducida por la orientación de F . Además,

${\displaystyle {\begin{cases}H^{k}(E;\Lambda )\to H^{k+n}(E,E\setminus B;\Lambda )\\x\longmapsto x\smile u\end{cases}}}$

es un isomorfismo.

En términos concisos, la última parte del teorema dice que u se genera libremente como un módulo derecho . La clase u se suele llamar la clase de Thom de E. Dado que el pullback es un isomorfismo de anillo , se da por la ecuación: ${\displaystyle H^{*}(E,E\setminus B;\Lambda )}$ ${\displaystyle H^{*}(E;\Lambda )}$ ${\displaystyle p^{*}:H^{*}(B;\Lambda )\to H^{*}(E;\Lambda )}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi (b)=p^{*}(b)\smile u.}$

En particular, el isomorfismo de Thom envía el elemento identidad de a u . Nota: para que esta fórmula tenga sentido, u se trata como un elemento de (eliminamos el anillo ) ${\displaystyle H^{*}(B)}$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle {\tilde {H}}^{n}(T(E))=H^{n}(\operatorname {Sph} (E),B)\simeq H^{n}(E,E\setminus B).}$^[1]

La referencia estándar para el isomorfismo de Thom es el libro de Bott y Tu.

Importancia de la obra de Thom

En su artículo de 1952, Thom demostró que la clase de Thom, las clases de Stiefel–Whitney y las operaciones de Steenrod estaban todas relacionadas. Utilizó estas ideas para demostrar en el artículo de 1954 Quelques propriétés globales des variétés differentiables que los grupos de cobordismo podían calcularse como los grupos de homotopía de ciertos espacios de Thom MG ( n ). La prueba depende de y está íntimamente relacionada con las propiedades de transversalidad de las variedades suaves —véase el teorema de transversalidad de Thom . Al invertir esta construcción, John Milnor y Sergei Novikov (entre muchos otros) pudieron responder preguntas sobre la existencia y unicidad de las variedades de alta dimensión: esto ahora se conoce como teoría de la cirugía . Además, los espacios MG(n) encajan entre sí para formar espectros MG ahora conocidos como espectros de Thom , y los grupos de cobordismo son de hecho estables . La construcción de Thom también unifica la topología diferencial y la teoría de homotopía estable, y es en particular parte integral de nuestro conocimiento de los grupos de homotopía estable de esferas .

Si las operaciones de Steenrod están disponibles, podemos usarlas y el isomorfismo del teorema para construir las clases de Stiefel-Whitney. Recordemos que las operaciones de Steenrod (mód 2) son transformaciones naturales

${\displaystyle Sq^{i}:H^{m}(-;\mathbb {Z} _{2})\to H^{m+i}(-;\mathbb {Z} _{2}),}$

definido para todos los enteros no negativos m . Si , entonces coincide con el cuadrado de la copa. Podemos definir la i- ésima clase de Stiefel–Whitney del fibrado vectorial mediante: ${\displaystyle i=m}$ ${\displaystyle Sq^{i}}$ ${\displaystyle w_{i}(p)}$ ${\displaystyle p:E\to B}$

${\displaystyle w_{i}(p)=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(\Phi (1)))=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(u)).}$

Consecuencias para variedades diferenciables

Si tomamos el fibrado de arriba como el fibrado tangente de una variedad lisa, la conclusión de lo anterior se llama fórmula de Wu y tiene la siguiente consecuencia importante: dado que las operaciones de Steenrod son invariantes bajo equivalencia de homotopía, concluimos que las clases de Stiefel–Whitney de una variedad también lo son. Este es un resultado extraordinario que no se generaliza a otras clases características. Existe un resultado similar, famoso y difícil, que establece la invariancia topológica para las clases racionales de Pontryagin , debido a Sergei Novikov .

Espectro de Thom

Cobordismo real

Hay dos maneras de pensar en el bordismo: una es considerar que dos -variedades son cobordantes si hay una -variedad con borde tal que ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M,M'}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle \partial W=M\coprod M'}$

Otra técnica para codificar este tipo de información es tomar una incrustación y considerar el paquete normal. ${\displaystyle M\hookrightarrow \mathbb {R} ^{N+n}}$

${\displaystyle \nu :N_{\mathbb {R} ^{N+n}/M}\to M}$

La variedad incrustada junto con la clase de isomorfismo del fibrado normal en realidad codifica la misma información que la clase de cobordismo . Esto se puede demostrar ^[2] utilizando un cobordismo y encontrando una incrustación en alguna que dé una clase de homotopía de aplicaciones al espacio de Thom definido a continuación. Mostrando el isomorfismo de ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N_{W}+n}\times [0,1]}$ ${\displaystyle MO(n)}$

${\displaystyle \pi _{n}MO\cong \Omega _{n}^{O}}$

requiere un poco más de trabajo. ^[3]

Definición del espectro de Thom

Por definición, el espectro de Thom ^[4] es una secuencia de espacios de Thom

${\displaystyle MO(n)=T(\gamma ^{n})}$

donde escribimos para el fibrado vectorial universal de rango n . La secuencia forma un espectro . ^[5] Un teorema de Thom dice que es el anillo de cobordismo no orientado ; ^[6] la prueba de este teorema se basa fundamentalmente en el teorema de transversalidad de Thom . ^[7] La ​​falta de transversalidad impide calcular anillos de cobordismo de, por ejemplo, variedades topológicas a partir de espectros de Thom. ${\displaystyle \gamma ^{n}\to BO(n)}$ ${\displaystyle \pi _{*}(MO)}$

Véase también

• Cobordismo
• Operación de cohomología
• Problema de Steenrod
• Teorema de Hattori-Strong

Notas

1. Prueba del isomorfismo. Podemos incrustar B en cualquiera de los dos, como sección cero; es decir, una sección en el vector cero, o como sección infinita; es decir, una sección en el vector infinito (topológicamente, la diferencia es irrelevante). Usando dos formas de incrustar, tenemos la tripleta: ${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)}$

   ${\displaystyle (\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B,B)}$.

   Claramente, la deformación se retrae hacia B. Tomando la secuencia larga exacta de este triple, vemos entonces: ${\displaystyle \operatorname {Sph} (E)\setminus B}$

   ${\displaystyle H^{n}(Sph(E),B)\simeq H^{n}(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus B),}$

   El último de los cuales es isomorfo a:

   ${\displaystyle H^{n}(E,E\setminus B)}$

   por escisión.
2. "Teorema de Thom" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 17 de enero de 2021.
3. "Transversalidad" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 17 de enero de 2021.
4. Véanse las págs. 8 y 9 en Greenlees, JPC (15 de septiembre de 2006). "Espectros para algebristas conmutativos". arXiv : matemáticas/0609452 .
5. Francis, J. "Matemáticas 465, lección 2: cobordismo" (PDF) . Notas de O. Gwilliam. Universidad Northwestern.
6. Stong 1968, pág. 18
7. Francis, J. "Matemáticas 465, lección 4: transversalidad" (PDF) . Notas de I. Bobovka. Universidad Northwestern.

Referencias

• Sullivan, Dennis (2004). "El trabajo de René Thom sobre homología geométrica y bordismo". Boletín de la Sociedad Americana de Matemáticas . 41 (3): 341–350. doi : 10.1090/S0273-0979-04-01026-2 .
• Bott, Raoul ; Tu, Loring (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-90613-4.Una referencia clásica para la topología diferencial , que trata el vínculo con la dualidad de Poincaré , la clase de Euler de fibrados esféricos , las clases de Thom y el isomorfismo de Thom, y más.
• Milnor, John . Clases características .es otra referencia estándar para la clase de Thom y el isomorfismo de Thom. Véase especialmente el párrafo 18.
• May, J. Peter (1999). Un curso conciso de topología algebraica . University of Chicago Press . Págs. 183-198. ISBN. 0-226-51182-0.Este libro de texto proporciona una construcción detallada de la clase de Thom para fibrados vectoriales triviales y también formula el teorema en el caso de fibrados vectoriales arbitrarios.
• Stong, Robert E. (1968). Notas sobre la teoría del cobordismo . Princeton University Press .
• Thom, René (1954). " Quelques propriétés globales des variétés différentiables ". Comentarios Mathematici Helvetici . 28 : 17–86. doi :10.1007/BF02566923. S2CID  120243638.
• Ando, ​​Matthew; Blumberg, Andrew J.; Gepner, David J.; Hopkins, Michael J .; Rezk, Charles (2014). "Unidades de espectros de anillo y espectros de Thom". Revista de topología . 7 (4): 1077–1117. arXiv : 0810.4535 . doi :10.1112/jtopol/jtu009. MR  0286898. S2CID  119613530.

Enlaces externos

• http://ncatlab.org/nlab/show/Thom+spectrum
• "Espacio de Thom", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]