Problema de Steenrod

En matemáticas , y particularmente en teoría de homología , el problema de Steenrod (llamado así por el matemático Norman Steenrod ) es un problema relacionado con la realización de clases de homología mediante variedades singulares. ^[1]

Formulación

Sea una variedad cerrada y orientada de dimensión , y sea su clase de orientación. Aquí denota el grupo de homología integral y -dimensional de . Cualquier función continua define un homomorfismo inducido . ^[2] Una clase de homología de se llama realizable si tiene la forma donde . El problema de Steenrod se ocupa de describir las clases de homología realizables de . ^[3] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [M]\in H_{n}(M)}$ ${\displaystyle H_{n}(M)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f\colon M\to X}$ ${\displaystyle f_{*}\colon H_{n}(M)\to H_{n}(X)}$ ${\displaystyle H_{n}(X)}$ ${\displaystyle f_{*}[M]}$ ${\displaystyle [M]\in H_{n}(M)}$ ${\displaystyle H_{n}(X)}$

Resultados

Todos los elementos de son realizables mediante variedades suaves siempre que . Además, cualquier ciclo puede realizarse mediante la aplicación de una pseudovariedad . ^[3] ${\displaystyle H_{k}(X)}$ ${\displaystyle k\leq 6}$

La suposición de que M sea orientable puede ser relajada. En el caso de variedades no orientables, cada clase de homología de , donde denota los enteros módulo 2, puede ser realizada por una variedad no orientada, . ^[3] ${\displaystyle H_{n}(X,\mathbb {Z} _{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle f\colon M^{n}\to X}$

Conclusiones

Para variedades suaves M el problema se reduce a encontrar la forma del homomorfismo , donde es el grupo de bordismo orientado de X . ^[4] La conexión entre los grupos de bordismo y los espacios de Thom MSO( k ) aclaró el problema de Steenrod al reducirlo al estudio de los homomorfismos . ^{[3] [5]} En su artículo de referencia de 1954, ^[5] René Thom produjo un ejemplo de una clase no realizable, , donde M es el espacio de Eilenberg–MacLane . ${\displaystyle \Omega _{n}(X)\to H_{n}(X)}$ ${\displaystyle \Omega _{n}(X)}$ ${\displaystyle \Omega _{*}}$ ${\displaystyle H_{*}(\operatorname {MSO} (k))\to H_{*}(X)}$ ${\displaystyle [M]\in H_{7}(X)}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} _{3}\oplus \mathbb {Z} _{3},1)}$

Véase también

• Homología singular
• Construcción de Pontryagin-Thom
• Cobordismo

Referencias

1. Eilenberg, Samuel (1949). "Sobre los problemas de la topología". Anales de Matemáticas . 50 (2): 247–260. doi :10.2307/1969448. JSTOR  1969448.
2. Hatcher, Allen (2001), Topología algebraica , Cambridge University Press , ISBN 0-521-79540-0
3. Enciclopedia de Matemáticas. «Problema de Steenrod» . Consultado el 29 de octubre de 2020 .
4. Rudyak, Yuli B. (1987). "Realización de clases de homología de variedades PL con singularidades". Notas matemáticas . 41 (5): 417–421. doi :10.1007/bf01159869. S2CID  122228542.
5. Thom, René (1954). "Quelques propriétés globales des variétés diferenciables". Commentarii Mathematici Helvetici (en francés). 28 : 17–86. doi :10.1007/bf02566923. S2CID  120243638.

Enlaces externos

• La construcción de Thom y el problema de Steenrod en MathOverflow
• Explicación de la construcción de Pontryagin-Thom