Relleno simpléctico

Cobordismo W entre X y el conjunto vacío

En matemáticas , un llenado de una variedad X es un cobordismo W entre X y el conjunto vacío . Más concretamente, la variedad topológica n -dimensional X es el límite de una variedad ( n  + 1)-dimensional W . Quizás el área más activa de la investigación actual es cuando n  = 3, donde se pueden considerar ciertos tipos de empastes.

Hay muchos tipos de empastes, y a continuación se muestran algunos ejemplos de estos tipos (dentro de una perspectiva probablemente limitada).

• Un relleno orientado de cualquier variedad orientable X es otra variedad W tal que la orientación de X viene dada por la orientación límite de W , que es aquella donde el primer vector base del espacio tangente en cada punto de la frontera es el que apunta directamente de W , con respecto a una métrica de Riemann elegida . Los matemáticos llaman a esta orientación la primera convención normal exterior .

Todos los cobordismos siguientes están orientados, con la orientación en W dada por una estructura simpléctica. Sea ξ el núcleo de la forma de contacto  α .

• Un llenado simpléctico débil de una variedad de contacto ( X , ξ ) es una variedad simpléctica ( W , ω ) con tal que . ${\displaystyle \partial W=X}$ ${\displaystyle \omega |_{\xi }>0}$
• Un relleno simpléctico fuerte de una variedad de contacto ( X , ξ ) es una variedad simpléctica ( W , ω ) tal que ω es exacta cerca del límite (que es X ) y α es una primitiva para ω . Es decir, ω = dα en una vecindad de la frontera . ${\displaystyle \partial W=X}$ ${\displaystyle \partial W=X}$
• Un relleno de Stein de una variedad de contacto ( X , ξ ) es una variedad de Stein W que tiene X como su límite estrictamente pseudoconvexo y ξ es el conjunto de tangencias complejas a X , es decir, aquellos planos tangentes a X que son complejos con respecto a la estructura compleja en W . El ejemplo canónico de esto son las 3 esferas donde la estructura compleja es la multiplicación por en cada coordenada y W es la bola {| x | < 1} delimitado por esa esfera. $${\displaystyle \{x\in \mathbb {C} ^{2}:|x|=1\}}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

Se sabe que esta lista está estrictamente aumentando en dificultad en el sentido de que hay ejemplos de colectores de contacto 3 con relleno débil pero no fuerte, y otros que tienen relleno fuerte pero sin relleno Stein. Además, se puede demostrar que cada tipo de relleno es un ejemplo del anterior, de modo que un relleno de Stein es un relleno simpléctico fuerte, por ejemplo. Solía ​​​​hablar de semirellenos en este contexto, lo que significa que X es uno de los posiblemente muchos componentes límite de W , pero se ha demostrado que cualquier semirelleno se puede modificar para que sea un relleno del mismo tipo. , de la misma variedad 3, en el mundo simpléctico (las variedades de Stein siempre tienen un componente límite).

Referencias

• Y. Eliashberg, Algunas observaciones sobre el relleno simpléctico , la geometría y la topología 8 , 2004, p. 277–293 arXiv : matemáticas/0311459
• J. Etnyre, Sobre el álgebra de empastes simplécticos. Geom. Tópol. 4 (2004), pág. 73–80 en línea
• H. Geiges, Introducción a la topología de contacto, Cambridge University Press, 2008