En el campo matemático de la topología geométrica , un cuerpo de manija es una descomposición de una variedad en piezas estándar. Los handlebodies juegan un papel importante en la teoría Morse , la teoría del cobordismo y la teoría quirúrgica de variedades de alta dimensión. Los mangos se utilizan especialmente para estudiar 3 colectores .
Los handlebodies desempeñan un papel similar en el estudio de variedades al que desempeñan los complejos simpliciales y los complejos CW en la teoría de la homotopía , lo que permite analizar un espacio en términos de piezas individuales y sus interacciones.
Si es una variedad dimensional con límite, y
(donde representa una n-esfera y es una n-bola ) es una incrustación, la variedad dimensional con límite
se dice que se obtiene de
adjuntando un -handle . El límite se obtiene mediante cirugía . Como ejemplos triviales, tenga en cuenta que unir un controlador 0 es simplemente tomar una unión disjunta con una bola, y que unir un controlador n es pegar una bola a lo largo de cualquier componente esférico de . Thom y Milnor utilizaron la teoría de Morse para demostrar que cada variedad (con o sin límite) es un cuerpo de mango, lo que significa que tiene una expresión como una unión de mangos. La expresión no es única: la manipulación de las descomposiciones del cuerpo del mango es un ingrediente esencial de la prueba del teorema del cobordismo h de Smale y su generalización al teorema del cobordismo s . Una variedad se llama "cuerpo de manija k" si es la unión de manijas r, para r como máximo k. Esto no es lo mismo que la dimensión del colector. Por ejemplo, un cuerpo de 4 dimensiones y 2 manijas es una unión de 0 manijas, 1 manija y 2 manijas. Cualquier variedad es un n-cuerpo de manijas, es decir, cualquier variedad es la unión de manijas. No es demasiado difícil ver que una variedad es un cuerpo de mango (n-1) si y solo si tiene un límite no vacío. Cualquier descomposición del cuerpo del mango de una variedad define una descomposición compleja CW de la variedad, ya que adjuntar un mango r es lo mismo, hasta la equivalencia de homotopía, que unir una celda r. Sin embargo, una descomposición del cuerpo del mango proporciona más información que solo el tipo de homotopía del colector. Por ejemplo, una descomposición del cuerpo del mango describe completamente la variedad hasta el homeomorfismo. En la dimensión cuatro, incluso describen la estructura suave, siempre que los mapas adjuntos sean suaves. Esto es falso en dimensiones superiores; cualquier esfera exótica es la unión de un identificador 0 y un identificador n.
Un cuerpo de mango se puede definir como un colector orientable de 3 con límite que contiene 2 discos separados por pares y correctamente incrustados, de modo que el colector resultante del corte a lo largo de los discos sea una bola de 3. Es instructivo imaginar cómo revertir este proceso para obtener un mango. (A veces, la hipótesis de la orientabilidad se elimina de esta última definición y se obtiene un tipo más general de cuerpo de manija con un mango no orientable).
El género de un mango es el género de su superficie límite . Hasta el homeomorfismo , hay exactamente un cuerpo de mango de cualquier género entero no negativo.
La importancia de los cuerpos de manija en la teoría de las 3 variedades proviene de su conexión con las escisiones de Heegaard . La importancia de los cuerpos de mango en la teoría de grupos geométricos proviene del hecho de que su grupo fundamental es libre.
A veces, especialmente en la literatura antigua, se hace referencia a un cuerpo de mango tridimensional como cubo con asas .
Sea G un gráfico finito conectado incrustado en un espacio euclidiano de dimensión n. Sea V una vecindad regular cerrada de G en el espacio euclidiano. Entonces V es un cuerpo de mango n-dimensional. La gráfica G se llama columna de V.
Cualquier mango de género cero es homeomorfo al B 3 de tres bolas . Un mango de género uno es homeomorfo a B 2 × S 1 (donde S 1 es el círculo ) y se llama toro sólido . Todos los demás cuerpos de manija se pueden obtener tomando la suma conectada por límites de una colección de toros sólidos.
