Dos objetos matemáticos a y b se denominan "iguales hasta una relación de equivalencia R "
Esta figura retórica se utiliza principalmente en relación con expresiones derivadas de la igualdad, como unicidad o recuento. Por ejemplo, " x es único hasta R " significa que todos los objetos x considerados están en la misma clase de equivalencia con respecto a la relación R.
Además, la relación de equivalencia R a menudo se designa de manera bastante implícita mediante una condición generadora o transformación. Por ejemplo, la afirmación "la factorización de un número primo es única hasta el orden" es una forma concisa de decir que dos listas cualesquiera de factores primos de un número entero dado son equivalentes con respecto a la relación R que relaciona dos listas, si se puede obtener una. reordenando ( permutando ) el otro. [1] Como otro ejemplo, la afirmación "la solución de una integral indefinida es sin( x ) , hasta la suma de una constante" emplea tácitamente la relación de equivalencia R entre funciones, definida por fRg si la diferencia f − g es una constante función, y significa que la solución y la función sin( x ) son iguales hasta este R . En la imagen, "hay 4 particiones hasta la rotación" significa que el conjunto P tiene 4 clases de equivalencia con respecto a R definidas por aRb si b se puede obtener de a por rotación; Un representante de cada clase se muestra en la parte inferior izquierda de la imagen.
Las relaciones de equivalencia se utilizan a menudo para ignorar posibles diferencias de objetos, por lo que "hasta R " puede entenderse informalmente como "ignorar las mismas sutilezas que R ignora". En el ejemplo de factorización, "hasta ordenar" significa "ignorar el orden particular".
Otros ejemplos incluyen "hasta isomorfismo", "hasta permutaciones" y "hasta rotaciones", que se describen en la sección Ejemplos.
En contextos informales, los matemáticos suelen utilizar la palabra módulo (o simplemente mod ) para propósitos similares, como en "isomorfismo de módulo".
Consideremos las siete piezas de Tetris (I, J, L, O, S, T, Z), conocidas matemáticamente como tetrominós . Si considera todas las rotaciones posibles de estas piezas (por ejemplo, si considera que la "I" orientada verticalmente es distinta de la "I" orientada horizontalmente), encontrará que hay 19 formas distintas posibles que se mostrarán en la pantalla. (Estos 19 son los llamados tetrominós "fijos". [2] ) Pero si las rotaciones no se consideran distintas, de modo que tratamos tanto al "yo verticalmente" como al "yo horizontalmente" indiferentemente como "yo", entonces solo hay siete . Decimos que "hay siete tetrominós , hasta la rotación". También se podría decir que "hay cinco tetrominós, hasta la rotación y la reflexión", lo que explica el hecho de que L reflejado da J y S reflejado da Z.
En el rompecabezas de las ocho reinas , si las reinas se consideran distintas (por ejemplo, si están coloreadas con ocho colores diferentes), entonces hay 3709440 soluciones distintas. Normalmente, sin embargo, las reinas se consideran intercambiables, y se suele decir "hay 3.709.440 / 8! = 92 soluciones únicas hasta la permutación de las reinas", o que "hay 92 soluciones módulo los nombres de las reinas", lo que significa que dos disposiciones diferentes de las reinas se consideran equivalentes si las reinas han sido permutadas, siempre que el conjunto de casillas ocupadas siga siendo el mismo.
Si, además de tratar a las reinas como idénticas, se permitieran rotaciones y reflexiones del tablero, tendríamos sólo 12 soluciones distintas "hasta la simetría y el nombramiento de las reinas". Para obtener más información, consulte Rompecabezas de las ocho reinas § Soluciones .
El n -gon regular , para un n fijo , es único hasta la similitud . En otras palabras, la relación de equivalencia de "similitud" sobre los n -gons regulares (para un n fijo ) tiene sólo una clase de equivalencia; es imposible producir dos n -gonos regulares que no sean similares entre sí.
En teoría de grupos , uno puede tener un grupo G actuando sobre un conjunto X , en cuyo caso, se podría decir que dos elementos de X son equivalentes "hasta la acción del grupo", si se encuentran en la misma órbita .
Otro ejemplo típico es la afirmación de que "hay dos grupos diferentes de orden 4 hasta el isomorfismo ", o "módulo isomorfismo, hay dos grupos de orden 4". Esto significa que, si se consideran "equivalentes" los grupos isomórficos , sólo existen dos clases de equivalencia de grupos de orden 4.
Una x hiperreal y su parte estándar st( x ) son iguales hasta una diferencia infinitesimal .
