Función de la pieza estándar

Función desde lo hiperreal limitado a los números reales

En el análisis no estándar , la función de la parte estándar es una función de los números hiperreales limitados (finitos) a los números reales. Brevemente, la función de la parte estándar "redondea" un hiperreal finito al real más cercano. Asocia a cada uno de esos hiperreales , el único real infinitamente cercano a él, es decir, es infinitesimal . Como tal, es una implementación matemática del concepto histórico de adecuación introducido por Pierre de Fermat , ^[1] así como la ley trascendental de homogeneidad de Leibniz . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x-x_{0}}$

La función de la parte estándar fue definida por primera vez por Abraham Robinson, quien utilizó la notación para la parte estándar de un hiperreal (ver Robinson 1974). Este concepto juega un papel clave en la definición de los conceptos del cálculo, como la continuidad, la derivada y la integral, en el análisis no estándar . Esta última teoría es una formalización rigurosa de los cálculos con infinitesimales . La parte estándar de x a veces se conoce como su sombra . ^[2] ${\displaystyle {}^{\circ }x}$ ${\displaystyle x}$

Definición

La función de la parte estándar "redondea" un hiperreal finito al número real más próximo. El "microscopio infinitesimal" se utiliza para observar una vecindad infinitesimal de un real estándar.

El análisis no estándar se ocupa principalmente del par , donde los hiperreales son una extensión de campo ordenado de los reales y contienen infinitesimales, además de los reales. En la línea hiperreal, cada número real tiene una colección de números (llamada mónada o halo ) de hiperreales infinitamente cercanos a él. La función de la parte estándar se asocia a un hiperreal finito x , el único número real estándar x ₀ que está infinitamente cerca de él. La relación se expresa simbólicamente escribiendo ${\displaystyle \mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {st} (x)=x_{0}.}$

La parte estándar de cualquier infinitesimal es 0. Por lo tanto, si N es un hipernatural infinito , entonces 1/ N es infinitesimal y st(1/ N ) = 0.

Si un hiperreal está representado por una secuencia de Cauchy en la construcción de ultrapotencia , entonces ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle }$

${\displaystyle \operatorname {st} (u)=\lim _{n\to \infty }u_{n}.}$

De manera más general, cada finito define un corte de Dedekind en el subconjunto (a través del orden total en ) y el número real correspondiente es la parte estándar de u . ${\displaystyle u\in {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} }$

No interno

La función de la parte estándar "st" no está definida por un conjunto interno . Hay varias formas de explicar esto. Quizás la más simple es que su dominio L, que es la colección de hiperreales limitados (es decir, finitos), no es un conjunto interno. Es decir, dado que L está acotado (por cualquier hiperreal infinito, por ejemplo), L tendría que tener un límite superior mínimo si L fuera interno, pero L no tiene un límite superior mínimo. Alternativamente, el rango de "st" es , que no es interno; de hecho, cada conjunto interno en que es un subconjunto de es necesariamente finito . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Aplicaciones

Todas las nociones tradicionales del cálculo se pueden expresar en términos de la función parcial estándar, de la siguiente manera.

Derivado

La función de la parte estándar se utiliza para definir la derivada de una función f . Si f es una función real, y h es infinitesimal, y si f ′( x ) existe, entonces

${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right).}$

Alternativamente, si , se toma un incremento infinitesimal y se calcula el correspondiente . Se forma la razón . La derivada se define entonces como la parte estándar de la razón: ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}$ ${\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right).}$

Integral

Dada una función en , se define la integral como la parte estándar de una suma de Riemann infinita cuando el valor de se toma como infinitesimal, explotando una partición hiperfinita del intervalo [ a , b ]. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ ${\displaystyle S(f,a,b,\Delta x)}$ ${\displaystyle \Delta x}$

Límite

Dada una secuencia , su límite se define por donde es un índice infinito. Aquí se dice que existe el límite si la parte estándar es la misma independientemente del índice infinito elegido. ${\displaystyle (u_{n})}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=\operatorname {st} (u_{H})}$ ${\displaystyle H\in {}^{*}\mathbb {N} \setminus \mathbb {N} }$

Continuidad

Una función real es continua en un punto real si y solo si la composición es constante en el halo de . Consulte microcontinuidad para obtener más detalles. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {st} \circ f}$ ${\displaystyle x}$

Véase también

• Adecuación
• Cálculo no estándar

Referencias

1. Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (marzo de 2012). "Una crítica burgessiana de las tendencias nominalistas en las matemáticas contemporáneas y su historiografía". Fundamentos de la ciencia . 17 (1): 51–89. arXiv : 1104.0375 . doi :10.1007/s10699-011-9223-1Los autores hacen referencia a la parte estándar de Fermat-Robinson.{{cite journal}}: Mantenimiento de CS1: postscript ( enlace )
2. Bascelli, Tiziana; Bottazzi, Emanuele; Herzberg, Frederik; Kanovei, Vladimir; Katz, Karin U.; Katz, Mikhail G.; Nowik, Tahl; Sherry, David; Shnider, Steven (1 de septiembre de 2014). "Fermat, Leibniz, Euler y la pandilla: la verdadera historia de los conceptos de límite y sombra" (PDF) . Avisos de la American Mathematical Society . 61 (08): 848. doi :10.1090/noti1149.
3. Goldblatt, Robert (1998). Lecciones sobre los hiperreales: una introducción al análisis no estándar. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-98464-3.

Lectura adicional

• H. Jerome Keisler . Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal . Primera edición, 1976; segunda edición, 1986. (Este libro ya no se imprime. El editor ha devuelto los derechos de autor al autor, que ha puesto a disposición la segunda edición en formato .pdf, disponible para su descarga en http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html.)
• Abraham Robinson . Análisis no estándar. Reimpresión de la segunda edición (1974). Con prólogo de Wilhelmus AJ Luxemburg . Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1996. xx+293 pp. ISBN 0-691-04490-2