teoría k

rama de las matemáticas

En matemáticas , la teoría K es, en términos generales, el estudio de un anillo generado por haces de vectores sobre un espacio o esquema topológico . En topología algebraica , es una teoría de cohomología conocida como teoría K topológica . En álgebra y geometría algebraica , se la conoce como teoría K algebraica . También es una herramienta fundamental en el campo de las álgebras de operadores . Puede verse como el estudio de ciertos tipos de invariantes de matrices grandes . ^[1]

La teoría K implica la construcción de familias de K - functores que mapean desde espacios o esquemas topológicos hasta anillos asociados; Estos anillos reflejan algunos aspectos de la estructura de los espacios o esquemas originales. Al igual que con los functores de grupos en topología algebraica, la razón de este mapeo funtorial es que es más fácil calcular algunas propiedades topológicas a partir de los anillos mapeados que a partir de los espacios o esquemas originales. Ejemplos de resultados obtenidos del enfoque de la teoría K incluyen el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , la periodicidad de Bott , el teorema del índice de Atiyah-Singer y las operaciones de Adams .

En física de altas energías , la teoría K y, en particular, la teoría K retorcida han aparecido en la teoría de cuerdas de tipo II , donde se ha conjeturado que clasifican las D-branas , las intensidades de campo de Ramond-Ramond y también ciertos espinores en variedades complejas generalizadas . En física de la materia condensada, la teoría K se ha utilizado para clasificar aisladores topológicos , superconductores y superficies estables de Fermi . Para obtener más detalles, consulte Teoría K (física) .

Finalización de Grothendieck

La finalización de Grothendieck de un monoide abeliano en un grupo abeliano es un ingrediente necesario para definir la teoría K, ya que todas las definiciones comienzan construyendo un monoide abeliano a partir de una categoría adecuada y convirtiéndolo en un grupo abeliano a través de esta construcción universal. Dado un monoide abeliano sea la relación definida por ${\displaystyle (A,+')}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle A^{2}=A\times A}$

${\displaystyle (a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2})}$

si existe tal que Entonces, el conjunto tiene la estructura de un grupo donde: ${\displaystyle c\in A}$ ${\displaystyle a_{1}+'b_{2}+'c=a_{2}+'b_{1}+'c.}$ ${\displaystyle G(A)=A^{2}/\sim }$ ${\displaystyle (G(A),+)}$

${\displaystyle [(a_{1},a_{2})]+[(b_{1},b_{2})]=[(a_{1}+'b_{1},a_{2}+'b_{2})].}$

Las clases de equivalencia en este grupo deben considerarse como diferencias formales de elementos en el monoide abeliano. Este grupo también está asociado a un homomorfismo monoide dado por el cual tiene cierta propiedad universal . ${\displaystyle (G(A),+)}$ ${\displaystyle i:A\to G(A)}$ ${\displaystyle a\mapsto [(a,0)],}$

Para comprender mejor este grupo, considere algunas clases de equivalencia del monoide abeliano . Aquí denotaremos el elemento identidad de por de modo que será el elemento identidad de Primero, para cualquiera ya que podemos establecer y aplicar la ecuación de la relación de equivalencia para obtener Esto implica ${\displaystyle (A,+)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [(0,0)]}$ ${\displaystyle (G(A),+).}$ ${\displaystyle (0,0)\sim (n,n)}$ ${\displaystyle n\in A}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle n=n.}$

${\displaystyle [(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=[(0,0)]}$

por tanto tenemos un inverso aditivo para cada elemento en . Esto debería darnos una pista de que deberíamos pensar en las clases de equivalencia como diferencias formales. Otra observación útil es la invariancia de las clases de equivalencia bajo escala: ${\displaystyle G(A)}$ ${\displaystyle [(a,b)]}$ ${\displaystyle a-b.}$

${\displaystyle (a,b)\sim (a+k,b+k)}$para cualquier ${\displaystyle k\in A.}$

La terminación de Grothendieck puede verse como un functor y tiene la propiedad de que se deja junto al correspondiente functor olvidadizo. Eso significa que, dado un morfismo de un monoide abeliano al monoide abeliano subyacente de un grupo abeliano , existe un grupo abeliano único. morfismo ${\displaystyle G:\mathbf {AbMon} \to \mathbf {AbGrp} ,}$ ${\displaystyle U:\mathbf {AbGrp} \to \mathbf {AbMon} .}$ ${\displaystyle \phi :A\to U(B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle G(A)\to B.}$

Ejemplo de números naturales

Un ejemplo ilustrativo a considerar es la finalización de Grothendieck de . Podemos ver que para cualquier par podemos encontrar un representante mínimo utilizando la invariancia bajo escala. Por ejemplo, podemos ver a partir de la invariancia de escala que ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle G((\mathbb {N} ,+))=(\mathbb {Z} ,+).}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (a',b')}$

${\displaystyle (4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)}$

En general, si entonces ${\displaystyle k:=\min\{a,b\}}$

${\displaystyle (a,b)\sim (a-k,b-k)}$que es de la forma o ${\displaystyle (c,0)}$ ${\displaystyle (0,d).}$

Esto muestra que debemos pensar en los números enteros positivos y los números enteros negativos. ${\displaystyle (a,0)}$ ${\displaystyle (0,b)}$

Definiciones

Hay varias definiciones básicas de la teoría K: dos provienen de la topología y dos de la geometría algebraica.

Grupo Grothendieck para espacios compactos de Hausdorff

Dado un espacio compacto de Hausdorff , considere el conjunto de clases de isomorfismo de haces de vectores de dimensión finita sobre , denotado y denotemos la clase de isomorfismo de un paquete de vectores . Dado que las clases de isomorfismo de haces de vectores se comportan bien con respecto a sumas directas , podemos escribir estas operaciones en clases de isomorfismo mediante ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle [E]}$

${\displaystyle [E]\oplus [E']=[E\oplus E']}$

Debe quedar claro que es un monoide abeliano donde la unidad está dada por el paquete de vectores trivial . Luego podemos aplicar la terminación de Grothendieck para obtener un grupo abeliano a partir de este monoide abeliano. Esto se llama teoría K de y se denota . ${\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{0}\times X\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K^{0}(X)}$

Podemos usar el teorema de Serre-Swan y algo de álgebra para obtener una descripción alternativa de paquetes de vectores sobre el anillo de funciones continuas de valores complejos como módulos proyectivos . Entonces, estas pueden identificarse con matrices idempotentes en algún anillo de matrices . Podemos definir clases de equivalencia de matrices idempotentes y formar un monoide abeliano . Su terminación Grothendieck también se llama . Una de las principales técnicas para calcular el grupo de Grothendieck para espacios topológicos proviene de la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch , lo que la hace muy accesible. Los únicos cálculos necesarios para comprender las secuencias espectrales son calcular el grupo de las esferas . ^{[2] páginas 51-110} ${\displaystyle C^{0}(X;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C} ))}$ ${\displaystyle {\textbf {Idem}}(X)}$ ${\displaystyle K^{0}(X)}$ ${\displaystyle K^{0}}$ ${\displaystyle S^{n}}$

Grupo Grothendieck de haces de vectores en geometría algebraica

Existe una construcción análoga al considerar paquetes de vectores en geometría algebraica . Para un esquema noetheriano existe un conjunto de todas las clases de isomorfismos de paquetes de vectores algebraicos en . Entonces, como antes, la suma directa de clases de isomorfismos de haces de vectores está bien definida, dando un monoide abeliano . Entonces, el grupo de Grothendieck se define por la aplicación de la construcción de Grothendieck sobre este monoide abeliano. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}$ ${\displaystyle K^{0}(X)}$

Grupo de Grothendieck de gavillas coherentes en geometría algebraica

En geometría algebraica, se puede aplicar la misma construcción a paquetes de vectores algebraicos sobre un esquema suave. Pero existe una construcción alternativa para cualquier esquema noetheriano . Si observamos las clases de isomorfismo de haces coherentes, podemos modificarlo mediante la relación si hay una secuencia corta y exacta. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Coh} (X)}$ ${\displaystyle [{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0.}$

Esto da como resultado el grupo de Grothendieck , que es isomorfo a if y es suave. El grupo es especial porque también hay una estructura en anillo: lo definimos como ${\displaystyle K_{0}(X)}$ ${\displaystyle K^{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$

${\displaystyle [{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operatorname {Tor} _{k}^{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\right].}$

Usando el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , tenemos que

${\displaystyle \operatorname {ch} :K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to A(X)\otimes \mathbb {Q} }$

es un isomorfismo de anillos. Por tanto, podemos utilizarlo para la teoría de la intersección . ^[3] ${\displaystyle K_{0}(X)}$

Historia temprana

Se puede decir que el tema comienza con Alexander Grothendieck (1957), quien lo utilizó para formular su teorema de Grothendieck-Riemann-Roch . Toma su nombre del alemán Klasse , que significa "clase". ^[4] Grothendieck necesitaba trabajar con gavillas coherentes en una variedad algebraica X. En lugar de trabajar directamente con las gavillas, definió un grupo utilizando clases de isomorfismo de gavillas como generadores del grupo, sujeto a una relación que identifica cualquier extensión de dos gavillas con su suma. El grupo resultante se denomina K ( X ) cuando solo se utilizan gavillas libres localmente , o G ( X ) cuando todas son gavillas coherentes. Cualquiera de estas dos construcciones se denomina grupo Grothendieck ; K ( X ) tiene comportamiento cohomológico y G ( X ) tiene comportamiento homológico .

Si X es una variedad suave , los dos grupos son iguales. Si es una variedad afín suave , entonces todas las extensiones de haces libres localmente se dividen, por lo que el grupo tiene una definición alternativa.

En topología , aplicando la misma construcción a haces de vectores , Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch definieron K ( X ) para un espacio topológico X en 1959, y utilizando el teorema de periodicidad de Bott lo convirtieron en la base de una extraordinaria teoría de cohomología . Desempeñó un papel importante en la segunda demostración del teorema del índice Atiyah-Singer (hacia 1962). Además, este enfoque condujo a una teoría K no conmutativa para álgebras C* .

Ya en 1955, Jean-Pierre Serre había utilizado la analogía de los haces de vectores con módulos proyectivos para formular la conjetura de Serre , que establece que todo módulo proyectivo finitamente generado sobre un anillo polinómico es libre ; esta afirmación es correcta, pero no se resolvió hasta 20 años después. ( El teorema de Swan es otro aspecto de esta analogía).

Desarrollos

El otro origen histórico de la teoría K algebraica fue el trabajo de JHC Whitehead y otros sobre lo que más tarde se conoció como torsión de Whitehead .

Siguió un período en el que hubo varias definiciones parciales de funtores superiores de la teoría K. Finalmente, Daniel Quillen dio dos definiciones útiles y equivalentes utilizando la teoría de la homotopía en 1969 y 1972. Friedhelm Waldhausen también dio una variante para estudiar la teoría K algebraica de los espacios, que está relacionada con el estudio de pseudoisotopías. . Gran parte de la investigación moderna sobre la teoría K superior está relacionada con la geometría algebraica y el estudio de la cohomología motívica .

Las construcciones correspondientes que involucran una forma cuadrática auxiliar recibieron el nombre general de teoría L. Es una herramienta importante de la teoría de la cirugía .

En teoría de cuerdas , la clasificación de la teoría K de las intensidades de campo de Ramond-Ramond y las cargas de las D-branas estables se propuso por primera vez en 1997. ^[5]

Ejemplos y propiedades

K 0 de un campo

El ejemplo más sencillo del grupo de Grothendieck es el grupo de Grothendieck de un punto por campo . Dado que un paquete de vectores sobre este espacio es solo un espacio vectorial de dimensión finita, que es un objeto libre en la categoría de haces coherentes, por lo tanto proyectivo, el monoide de las clases de isomorfismo corresponde a la dimensión del espacio vectorial. Es un ejercicio fácil demostrar que el grupo de Grothendieck es entonces ... ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {F} )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

K 0 de un álgebra artiniana sobre un campo

Una propiedad importante del grupo de Grothendieck de un esquema noetheriano es que es invariante bajo reducción, por lo tanto . ^[6] Por lo tanto, el grupo de Grothendieck de cualquier álgebra artiniana es una suma directa de copias de , una para cada componente conectado de su espectro. Por ejemplo, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K(X)=K(X_{\text{red}})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

$${\displaystyle K_{0}\left({\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {F} [x]}{(x^{9})}}\times \mathbb {F} \right)\right)=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$$

K 0 del espacio proyectivo

Uno de los cálculos más utilizados del grupo de Grothendieck es el cálculo del espacio proyectivo sobre un campo. Esto se debe a que los números de intersección de un proyectivo se pueden calcular incrustando y usando la fórmula push-pull . Esto permite hacer cálculos concretos con elementos sin tener que conocer explícitamente su estructura ya que ^[7] ${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle i^{*}([i_{*}{\mathcal {E}}]\cdot [i_{*}{\mathcal {F}}])}$ ${\displaystyle K(X)}$

$${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})={\frac {\mathbb {Z} [T]}{(T^{n+1})}}}$$

${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}=\mathbb {A} ^{n}\coprod \mathbb {A} ^{n-1}\coprod \cdots \coprod \mathbb {A} ^{0}}$$

${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1}},\mathbb {A} ^{n-k_{2}}}$

$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1}}\cap \mathbb {A} ^{n-k_{2}}=\mathbb {A} ^{n-k_{1}-k_{2}}}$$

${\displaystyle k_{1}+k_{2}\leq n}$

K 0 de un paquete proyectivo

Otra fórmula importante para el grupo de Grothendieck es la fórmula del paquete proyectivo: ^[8] dado un paquete de vectores de rango r sobre un esquema noetheriano , el grupo de Grothendieck del paquete proyectivo es un módulo libre de rango r con base . Esta fórmula permite calcular el grupo de Grothendieck de . Esto hace posible calcular las superficies de Hirzebruch. Además, esto se puede utilizar para calcular el grupo de Grothendieck observando que es un paquete proyectivo sobre el campo . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} ^{\bullet }({\mathcal {E}}^{\vee }))}$ ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{n}}$ ${\displaystyle K_{0}}$ ${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

K 0 de espacios singulares y espacios con singularidades cocientes aisladas

Una técnica reciente para calcular el grupo de espacios de Grothendieck con singularidades menores proviene de evaluar la diferencia entre y , que proviene del hecho de que cada paquete de vectores puede describirse de manera equivalente como un haz coherente. Esto se hace utilizando el grupo de Grothendieck de la categoría Singularidad ^{[9] [10]} a partir de geometría algebraica no conmutativa derivada . Da una secuencia larga y exacta que comienza con ${\displaystyle K^{0}(X)}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$ ${\displaystyle D_{sg}(X)}$

$${\displaystyle \cdots \to K^{0}(X)\to K_{0}(X)\to K_{sg}(X)\to 0}$$

la teoría K superior ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E\to X_{sm}}$ ${\displaystyle X_{sm}\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle G_{i}}$

$${\displaystyle K^{0}(X)\to K_{0}(X)}$$

^{[10] página 3} ${\displaystyle {\text{lcm}}(|G_{1}|,\ldots ,|G_{k}|)^{n-1}}$ ${\displaystyle n=\dim X}$

K 0 de una curva proyectiva suave

Para una curva proyectiva suave, el grupo de Grothendieck es ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle K_{0}(C)=\mathbb {Z} \oplus {\text{Pic}}(C)}$$

el grupo Picardsecuencia espectral de Brown-Gersten-Quillen ^{[11] página 72}teoría K algebraicaesquema regular ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle E_{1}^{p,q}=\coprod _{x\in X^{(p)}}K^{-p-q}(k(x))\Rightarrow K_{-p-q}(X)}$$

^{[11] pg 80} ${\displaystyle X^{(p)}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x:Y\to X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k(x)}$

$${\displaystyle E_{2}^{p,-p}\cong {\text{CH}}^{p}(X)}$$

${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{0}(C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle E_{1}^{0,q},E_{1}^{1,q}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\infty }^{1,-1}\cong E_{2}^{1,-1}&\cong {\text{CH}}^{1}(C)\\E_{\infty }^{0,0}\cong E_{2}^{0,0}&\cong {\text{CH}}^{0}(C)\end{aligned}}}$$

${\displaystyle K_{0}(C)}$

$${\displaystyle 0\to F^{1}(K_{0}(X))\to K_{0}(X)\to K_{0}(X)/F^{1}(K_{0}(X))\to 0}$$

${\displaystyle {\text{CH}}^{1}(C)\cong {\text{Pic}}(C)}$ ${\displaystyle CH^{0}(C)\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\text{Ext}}_{\text{Ab}}^{1}(\mathbb {Z} ,G)=0}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle K_{0}(C)\cong \mathbb {Z} \oplus (\mathbb {C} ^{g}/\mathbb {Z} ^{2g})}$$

Cohen-Macaulay

Aplicaciones

Paquetes virtuales

Una aplicación útil del grupo Grothendieck es definir paquetes de vectores virtuales. Por ejemplo, si tenemos una incrustación de espacios suaves, entonces hay una secuencia corta y exacta. ${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$

${\displaystyle 0\to \Omega _{Y}\to \Omega _{X}|_{Y}\to C_{Y/X}\to 0}$

¿ Dónde está el paquete conormal de in ? Si tenemos un espacio singular incrustado en un espacio suave, definimos el paquete conormal virtual como ${\displaystyle C_{Y/X}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle [\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]}$

Otra aplicación útil de los paquetes virtuales es la definición de un paquete virtual tangente de una intersección de espacios: Sean subvariedades proyectivas de una variedad proyectiva suave. Entonces, podemos definir el paquete tangente virtual de su intersección como ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}\subset X}$ ${\displaystyle Z=Y_{1}\cap Y_{2}}$

${\displaystyle [T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}]|_{Z}.}$

Kontsevich utiliza esta construcción en uno de sus artículos. ^[12]

personajes de chern

Las clases de Chern se pueden utilizar para construir un homomorfismo de anillos desde la teoría K topológica de un espacio hasta (la finalización de) su cohomología racional. Para un paquete de líneas L , el carácter Chern ch está definido por

${\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$

De manera más general, si es una suma directa de paquetes de líneas, con las primeras clases de Chern el carácter Chern se define de forma aditiva ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\dots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\dots +x_{n}^{m}).}$

El carácter Chern es útil en parte porque facilita el cálculo de la clase Chern de un producto tensorial. El carácter de Chern se utiliza en el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch .

Teoría K equivalente

La teoría K algebraica equivariante es una teoría K algebraica asociada a la categoría de haces coherentes equivariantes en un esquema algebraico con acción de un grupo algebraico lineal , vía la construcción Q de Quillen ; así, por definición, ${\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatorname {Coh} ^{G}(X)).}$

En particular, es el grupo de Grothendieck . La teoría fue desarrollada por RW Thomason en la década de 1980. ^[13] Específicamente, demostró análogos equivariantes de teoremas fundamentales como el teorema de localización. ${\displaystyle K_{0}^{G}(C)}$ ${\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}$

Ver también

• Periodicidad del bot
• teoría KK
• teoría KR
• Lista de teorías de cohomología
• Teoría K algebraica
• Teoría K topológica
• Teoría K del operador
• Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch

Notas

1. Atiyah, Michael (2000). "Pasado y presente de la teoría K". arXiv : matemáticas/0012213 .
2. Parque, Efton. (2008). Teoría K topológica compleja. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-511-38869-9. OCLC  227161674.
3. Grothendieck. "SGA 6 - Formalismo de las intersecciones sobre los esquemas algebriques propios".
4. Karoubi, 2006
5. por Ruben Minasian (http://string.lpthe.jussieu.fr/members.pl?key=7) y Gregory Moore en K-theory y Ramond-Ramond Charge.
6. "Grupo de Grothendieck para el espacio proyectivo sobre números duales". mathoverflow.net . Consultado el 16 de abril de 2017 .
7. "Teoría y homología de kt.k: grupo de Grothendieck para el espacio proyectivo sobre los números duales". Desbordamiento matemático . Consultado el 20 de octubre de 2020 .
8. Manin, Yuri I (1 de enero de 1969). "Conferencias sobre el functor K en geometría algebraica". Encuestas matemáticas rusas . 24 (5): 1–89. Código bibliográfico : 1969RuMaS..24....1M. doi :10.1070/rm1969v024n05abeh001357. ISSN  0036-0279.
9. "geometría algebraica agrícola: ¿se genera de forma finita el grupo algebraico de Grothendieck de un espacio proyectivo ponderado?". Desbordamiento matemático . Consultado el 20 de octubre de 2020 .
10. Pavic, Nebojsa; Shinder, Evgeny (2021). "Teoría K y la categoría de singularidad de singularidades cocientes". Anales de la teoría K. 6 (3): 381–424. arXiv : 1809.10919 . doi :10.2140/akt.2021.6.381. S2CID  85502709.
11. Srinivas, V. (1991). Teoría K algebraica. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-1-4899-6735-0. OCLC  624583210.
12. Kontsevich, Maxim (1995), "Enumeración de curvas racionales mediante acciones de toro", El espacio de módulos de las curvas (Texel Island, 1994) , Progress in Mathematics, vol. 129, Boston, MA: Birkhäuser Boston, págs. 335–368, arXiv : hep-th/9405035 , SEÑOR  1363062
13. Charles A. Weibel, Robert W. Thomason (1952-1995).

Referencias

• Atiyah, Michael Francis (1989). Teoría K. Clásicos del libro avanzado (2ª ed.). Addison-Wesley . ISBN 978-0-201-09394-0. SEÑOR  1043170.
• Friedlander, Eric; Grayson, Daniel, eds. (2005). Manual de teoría K. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-540-27855-9. ISBN 978-3-540-30436-4. SEÑOR  2182598.
• Parque, Efton (2008). Teoría K topológica compleja . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 111. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-85634-8.
• Cisne, RG (1968). Teoría K algebraica . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 76. Saltador . ISBN 3-540-04245-8.
• Karoubi, Max (1978). Teoría K: una introducción . Clásicos en Matemáticas. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-540-79890-3. ISBN 0-387-08090-2.
• Karoubi, Max (2006). "Teoría K. Una introducción elemental". arXiv : matemáticas/0602082 .
• Hatcher, Allen (2003). "Paquetes de vectores y teoría K".
• Weibel, Charles (2013). El libro K: una introducción a la teoría K algebraica . Graduado. Estudios en Matemáticas. vol. 145. Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 978-0-8218-9132-2.

enlaces externos

• Grothendieck-Riemann-Roch
• Página de Max Karoubi
• Archivo de preimpresión de teoría K