Operación Adams

En matemáticas , una operación de Adams , denotada ψ ^k para los números naturales k , es una operación de cohomología en la teoría K topológica , o cualquier operación relacionada en la teoría K algebraica u otros tipos de construcción algebraica, definida según un patrón introducido por Frank Adams . La idea básica es implementar algunas identidades fundamentales en la teoría de funciones simétricas , a nivel de fibrados vectoriales u otros objetos de representación en teorías más abstractas.

Las operaciones de Adams se pueden definir de forma más general en cualquier anillo λ .

Operaciones de Adams en la teoría K

Las operaciones de Adams ψ ^k en la teoría K (algebraica o topológica) se caracterizan por las siguientes propiedades.

1. ψ ^k son homomorfismos de anillo .
2. ψ ^k (l)= l ^k si l es la clase de un fibrado de líneas .
3. ψ ^k son funtoriales .

La idea fundamental es que para un fibrado vectorial V en un espacio topológico X , existe una analogía entre los operadores de Adams y las potencias exteriores , en la que

ψ ^k ( V ) es a Λ ^k ( V )

como

La suma de potencias Σ α ^k es la k - ésima función simétrica elemental σ _k

de las raíces α de un polinomio P ( t ). (Cf. Identidades de Newton .) Aquí Λ ^k denota la k -ésima potencia exterior. Del álgebra clásica se sabe que las sumas de potencias son ciertos polinomios integrales Q _k en σ _k . La idea es aplicar los mismos polinomios a Λ ^k ( V ), ocupando el lugar de σ _k . Este cálculo se puede definir en un K -grupo, en el que los fibrados vectoriales se pueden combinar formalmente por adición, resta y multiplicación ( producto tensorial ). Los polinomios aquí se llaman polinomios de Newton (no, sin embargo, los polinomios de Newton de la teoría de interpolación ).

La justificación de las propiedades esperadas proviene del caso del fibrado lineal, donde V es una suma de Whitney de fibrados lineales. En este caso especial, el resultado de cualquier operación de Adams es naturalmente un fibrado vectorial, no una combinación lineal de unos en la teoría K. Tratar los factores directos del fibrado lineal formalmente como raíces es algo bastante estándar en topología algebraica (cf. el teorema de Leray-Hirsch ). En general, un mecanismo para reducir a ese caso proviene del principio de división para fibrados vectoriales.

Operaciones de Adams en la teoría de la representación de grupos

La operación de Adams tiene una expresión sencilla en la teoría de representación de grupos . ^[1] Sea G un grupo y ρ una representación de G con carácter χ. La representación ψ ^k (ρ) tiene carácter

${\displaystyle \chi _{\psi ^{k}(\rho )}(g)=\chi _{\rho }(g^{k})\ .}$

Referencias

1. Snaith, VP (1994). Inducción explícita de Brauer: con aplicaciones al álgebra y la teoría de números. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 40. Cambridge University Press . pág. 108. ISBN. 0-521-46015-8.Zbl 0991.20005  .

• Adams, JF (mayo de 1962). "Campos vectoriales en esferas". Anales de matemáticas . Segunda serie. 75 (3): 603–632. doi :10.2307/1970213. JSTOR  1970213. Zbl  0112.38102.