Polinomio de Newton

Expresión matemática

En el campo matemático del análisis numérico , un polinomio de Newton , llamado así por su inventor Isaac Newton , ^[1] es un polinomio de interpolación para un conjunto dado de puntos de datos. El polinomio de Newton a veces se denomina polinomio de interpolación de diferencias divididas de Newton porque los coeficientes del polinomio se calculan utilizando el método de diferencias divididas de Newton .

Definición

Dado un conjunto de k  + 1 puntos de datos

${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}$

donde no hay dos x _j iguales, el polinomio de interpolación de Newton es una combinación lineal de polinomios de base de Newton

${\displaystyle N(x):=\sum _{j=0}^{k}a_{j}n_{j}(x)}$

con los polinomios de base de Newton definidos como

${\displaystyle n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})}$

para j > 0 y . ${\displaystyle n_{0}(x)\equiv 1}$

Los coeficientes se definen como

${\displaystyle a_{j}:=[y_{0},\ldots ,y_{j}]}$

dónde

${\displaystyle [y_{0},\ldots ,y_{j}]}$

es la notación para diferencias divididas .

Por lo tanto, el polinomio de Newton puede escribirse como

${\displaystyle N(x)=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}](x-x_{0})+\cdots +[y_{0},\ldots ,y_{k}](x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{k-1}).}$

Fórmula de diferencia dividida hacia adelante de Newton

El polinomio de Newton se puede expresar de forma simplificada cuando se disponen consecutivamente con igual espaciado. ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{k}}$

Si están ordenadas consecutivamente y espaciadas de manera uniforme con para i = 0, 1, ..., k y alguna variable x se expresa como , entonces la diferencia se puede escribir como . Por lo tanto, el polinomio de Newton se convierte en ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{k}}$ ${\displaystyle {x}_{i}={x}_{0}+ih}$ ${\displaystyle {x}={x}_{0}+sh}$ ${\displaystyle x-x_{i}}$ ${\displaystyle (s-i)h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}N(x)&=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}]sh+\cdots +[y_{0},\ldots ,y_{k}]s(s-1)\cdots (s-k+1){h}^{k}\\&=\sum _{i=0}^{k}s(s-1)\cdots (s-i+1){h}^{i}[y_{0},\ldots ,y_{i}]\\&=\sum _{i=0}^{k}{s \choose i}i!{h}^{i}[y_{0},\ldots ,y_{i}].\end{aligned}}}$

Esta fórmula se llama fórmula de diferencia dividida hacia adelante de Newton . ^{[ cita requerida ]}

Fórmula de diferencia dividida hacia atrás de Newton

Si los nodos se reordenan como , el polinomio de Newton se convierte en ${\displaystyle {x}_{k},{x}_{k-1},\dots ,{x}_{0}}$

${\displaystyle N(x)=[y_{k}]+[{y}_{k},{y}_{k-1}](x-{x}_{k})+\cdots +[{y}_{k},\ldots ,{y}_{0}](x-{x}_{k})(x-{x}_{k-1})\cdots (x-{x}_{1}).}$

Si están igualmente espaciados con para i = 0, 1, ..., k y , entonces, ${\displaystyle {x}_{k},\;{x}_{k-1},\;\dots ,\;{x}_{0}}$ ${\displaystyle {x}_{i}={x}_{k}-(k-i)h}$ ${\displaystyle {x}={x}_{k}+sh}$

${\displaystyle {\begin{aligned}N(x)&=[{y}_{k}]+[{y}_{k},{y}_{k-1}]sh+\cdots +[{y}_{k},\ldots ,{y}_{0}]s(s+1)\cdots (s+k-1){h}^{k}\\&=\sum _{i=0}^{k}{(-1)}^{i}{-s \choose i}i!{h}^{i}[{y}_{k},\ldots ,{y}_{k-i}].\end{aligned}}}$

Esta fórmula se llama fórmula de diferencia dividida hacia atrás de Newton . ^{[ cita requerida ]}

Significado

La fórmula de Newton es interesante porque es la versión diferencial sencilla y natural del polinomio de Taylor. El polinomio de Taylor indica hacia dónde irá una función, en función de su valor y y de sus derivadas (su tasa de cambio y la tasa de cambio de su tasa de cambio, etc.) en un valor x particular . La fórmula de Newton es el polinomio de Taylor basado en diferencias finitas en lugar de tasas de cambio instantáneas.

Interpolación polinómica

Para un polinomio de grado menor o igual a n, que interpola en los nodos donde . Sea el polinomio de grado menor o igual a n+1 que interpola en los nodos donde . Entonces viene dado por: ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i=0,1,2,3,\cdots ,n}$ ${\displaystyle p_{n+1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i=0,1,2,3,\cdots ,n,n+1}$ ${\displaystyle p_{n+1}}$

$${\displaystyle p_{n+1}(x)=p_{n}(x)+a_{n+1}w_{n}(x)}$$

donde y . ${\textstyle w_{n}(x):=\prod _{i=0}^{n}(x-x_{i})}$ ${\textstyle a_{n+1}:={f(x_{n+1})-p_{n}(x_{n+1}) \over w_{n}(x_{n+1})}}$

Prueba:

Esto se puede demostrar para el caso donde : y cuando : ${\displaystyle i=0,1,2,3,\cdots ,n}$ $${\displaystyle p_{n+1}(x_{i})=p_{n}(x_{i})+a_{n+1}\prod _{j=0}^{n}(x_{i}-x_{j})=p_{n}(x_{i})}$$ ${\displaystyle i=n+1}$

$${\displaystyle p_{n+1}(x_{n+1})=p_{n}(x_{n+1})+{f(x_{n+1})-p_{n}(x_{n+1}) \over w_{n}(x_{n+1})}w_{n}(x_{n+1})=f(x_{n+1})}$$

Por la unicidad de los polinomios interpolados de grado menor que , se obtiene la interpolación polinómica requerida. La función puede entonces expresarse como: ${\displaystyle n+1}$ ${\textstyle p_{n+1}(x)=p_{n}(x)+a_{n+1}w_{n}(x)}$

${\textstyle p_{n}(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+\cdots +a_{n}(x-x_{0})\cdots (x-x_{n-1})}$

donde los factores se dividen por diferencias . Por lo tanto, los polinomios de Newton se utilizan para proporcionar la fórmula de interpolación polinómica de n puntos. ^[2] ${\displaystyle a_{i}}$

Tomando como función desconocida las fórmulas de diferencias divididas de Newton, si la representación de x en las secciones anteriores se tomara en cambio como , en términos de diferencias hacia adelante , la fórmula de interpolación hacia adelante de Newton se expresa como: mientras que para lo mismo en términos de diferencias hacia atrás , la fórmula de interpolación hacia atrás de Newton se expresa como: Esto se deduce ya que la relación entre diferencias divididas y diferencias hacia adelante se da como: ^[3] mientras que para diferencias hacia atrás, se da como: ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle y_{i}=f(x_{i})}$ ${\displaystyle x=x_{j}+sh}$ $${\displaystyle f(x)\approx N(x)=N(x_{j}+sh)=\sum _{i=0}^{k}{s \choose i}\Delta ^{(i)}f(x_{j})}$$ $${\displaystyle f(x)\approx N(x)=N(x_{j}+sh)=\sum _{i=0}^{k}{(-1)}^{i}{-s \choose i}\nabla ^{(i)}f(x_{j}).}$$ $${\displaystyle [y_{j},y_{j+1},\ldots ,y_{j+n}]={\frac {1}{n!h^{n}}}\Delta ^{(n)}y_{j},}$$ $${\displaystyle [{y}_{j},y_{j-1},\ldots ,{y}_{j-n}]={\frac {1}{n!h^{n}}}\nabla ^{(n)}y_{j}.}$$

Adición de nuevos puntos

Al igual que con otras fórmulas diferenciales, el grado de un polinomio de interpolación de Newton se puede aumentar añadiendo más términos y puntos sin descartar los existentes. La fórmula de Newton tiene la simplicidad de que los nuevos puntos siempre se añaden en un extremo: la fórmula de Newton hacia delante puede añadir nuevos puntos a la derecha, y la fórmula de Newton hacia atrás puede añadir nuevos puntos a la izquierda.

La precisión de la interpolación polinómica depende de la proximidad del punto interpolado a la mitad de los valores x del conjunto de puntos utilizados. Obviamente, a medida que se agregan nuevos puntos en un extremo, esa mitad se aleja cada vez más del primer punto de datos. Por lo tanto, si no se sabe cuántos puntos se necesitarán para obtener la precisión deseada, la mitad de los valores x puede estar lejos de donde se realiza la interpolación.

Gauss, Stirling y Bessel desarrollaron fórmulas para remediar ese problema. ^[4]

La fórmula de Gauss añade de forma alternada nuevos puntos en los extremos izquierdo y derecho, con lo que el conjunto de puntos se mantiene centrado cerca del mismo lugar (cerca del punto evaluado). Al hacerlo, utiliza términos de la fórmula de Newton, y los puntos de datos y los valores x se renombran de acuerdo con la elección del punto de datos que se designa como punto de datos x ₀ .

La fórmula de Stirling permanece centrada en un punto de datos particular, para usarse cuando el punto evaluado está más cerca de un punto de datos que de la mitad de dos puntos de datos.

La fórmula de Bessel permanece centrada en un punto medio particular entre dos puntos de datos, para usarse cuando el punto evaluado está más cerca de un punto medio que de un punto de datos.

Bessel y Stirling logran esto usando a veces el promedio de dos diferencias y a veces el promedio de dos productos de binomios en x , donde Newton o Gauss usarían solo una diferencia o producto. Stirling usa una diferencia promedio en términos de grado impar (cuya diferencia usa un número par de puntos de datos); Bessel usa una diferencia promedio en términos de grado par (cuya diferencia usa un número impar de puntos de datos).

Fortalezas y debilidades de varias fórmulas

Para cualquier conjunto finito de puntos de datos, sólo hay un polinomio de menor grado posible que pasa por todos ellos. Por lo tanto, es apropiado hablar de la "forma de Newton", o forma de Lagrange , etc., del polinomio de interpolación. Sin embargo, los diferentes métodos de cálculo de este polinomio pueden tener diferente eficiencia computacional. Hay varios métodos similares, como los de Gauss, Bessel y Stirling. Se pueden derivar del de Newton renombrando los valores x de los puntos de datos, pero en la práctica son importantes.

Bessel contra Stirling

La elección entre Bessel y Stirling depende de si el punto interpolado está más cerca de un punto de datos o más cerca de un punto intermedio entre dos puntos de datos.

El error de interpolación de un polinomio se acerca a cero a medida que el punto de interpolación se acerca a un punto de datos. Por lo tanto, la fórmula de Stirling mejora la precisión donde menos se necesita y la de Bessel mejora la precisión donde más se necesita.

Por lo tanto, se podría decir que la fórmula de Bessel es la fórmula de diferencia más consistente y precisa y, en general, la más consistente y precisa de las conocidas fórmulas de interpolación polinomial.

Métodos de diferencias divididas frente a métodos de Lagrange

A veces se dice que Lagrange requiere menos trabajo y a veces se recomienda para problemas en los que se sabe de antemano, a partir de experiencias previas, cuántos términos se necesitan para lograr una precisión suficiente.

Los métodos de diferencia dividida tienen la ventaja de que se pueden agregar más puntos de datos para mejorar la precisión. Los términos basados ​​en los puntos de datos anteriores se pueden seguir utilizando. Con la fórmula de Lagrange ordinaria, para resolver el problema con más puntos de datos se requeriría volver a resolver todo el problema.

Existe una versión "baricéntrica" ​​de Lagrange que evita la necesidad de volver a realizar todo el cálculo al añadir un nuevo punto de datos, pero exige que se registren los valores de cada término.

Pero la capacidad de Gauss, Bessel y Stirling de mantener los puntos de datos centrados cerca del punto interpolado les da una ventaja sobre Lagrange, cuando no se sabe de antemano cuántos puntos de datos se necesitarán.

Además, supongamos que se desea averiguar si, para un tipo particular de problema, la interpolación lineal es suficientemente precisa. Esto se puede determinar evaluando el término cuadrático de una fórmula de diferencia dividida. Si el término cuadrático es despreciable (es decir, que el término lineal es suficientemente preciso sin añadir el término cuadrático), entonces la interpolación lineal es suficientemente precisa. Si el problema es suficientemente importante, o si el término cuadrático es casi lo suficientemente grande como para tener importancia, entonces se podría querer determinar si la suma de los términos cuadrático y cúbico es lo suficientemente grande como para tener importancia en el problema.

Por supuesto, para tal determinación sólo se puede utilizar un método de diferencias divididas.

Para tal efecto, la fórmula de diferencia dividida y/o su punto x ₀ deben elegirse de modo que la fórmula utilice, para su término lineal, los dos puntos de datos entre los cuales se realizaría la interpolación lineal de interés.

Las fórmulas de diferencia dividida son más versátiles y útiles en más tipos de problemas.

La fórmula de Lagrange funciona mejor cuando toda la interpolación se realiza en un valor x , y solo los valores y de los puntos de datos varían de un problema a otro, y cuando se sabe, por experiencia pasada, cuántos términos se necesitan para lograr una precisión suficiente.

Con la forma de Newton del polinomio interpolador existe un algoritmo compacto y efectivo para combinar los términos para encontrar los coeficientes del polinomio. ^[5]

Exactitud

Cuando, con Stirling o Bessel, el último término utilizado incluye el promedio de dos diferencias, entonces se está utilizando un punto más del que se utilizaría con Newton u otras interpolaciones polinómicas para el mismo grado de polinomio. Por lo tanto, en ese caso, Stirling o Bessel no están haciendo pasar un polinomio de grado N -1 a través de N puntos, sino que, en cambio, están intercambiando la equivalencia con Newton para un mejor centrado y precisión, lo que a veces les da a esos métodos una precisión potencialmente mayor, para un grado de polinomio dado, que otras interpolaciones polinómicas.

Caso general

Para el caso especial de x _i = i , existe un conjunto de polinomios estrechamente relacionados, también llamados polinomios de Newton, que son simplemente los coeficientes binomiales para el argumento general. Es decir, también se tienen los polinomios de Newton dados por ${\displaystyle p_{n}(z)}$

${\displaystyle p_{n}(z)={z \choose n}={\frac {z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}}}$

De esta forma, los polinomios de Newton generan las series de Newton , que son a su vez un caso especial de los polinomios diferenciales generales que permiten representar funciones analíticas mediante ecuaciones diferenciales generalizadas.

Idea principal

La solución de un problema de interpolación nos lleva a un problema de álgebra lineal en el que tenemos que resolver un sistema de ecuaciones lineales. Si utilizamos una base monomial estándar para nuestro polinomio de interpolación, obtenemos la muy complicada matriz de Vandermonde . Si elegimos otra base, la base de Newton, obtenemos un sistema de ecuaciones lineales con una matriz triangular inferior mucho más simple que se puede resolver más rápido.

Para k  + 1 puntos de datos construimos la base de Newton como

${\displaystyle n_{0}(x):=1,\qquad n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})\qquad j=1,\ldots ,k.}$

Usando estos polinomios como base tenemos que resolver ${\displaystyle \Pi _{k}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&\ldots &&0\\1&x_{1}-x_{0}&&&\\1&x_{2}-x_{0}&(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})&&\vdots \\\vdots &\vdots &&\ddots &\\1&x_{k}-x_{0}&\ldots &\ldots &\prod _{j=0}^{k-1}(x_{k}-x_{j})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{0}\\\\\vdots \\\\a_{k}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\\\\\vdots \\\\y_{k}\end{bmatrix}}}$

para resolver el problema de interpolación polinomial.

Este sistema de ecuaciones se puede resolver iterativamente resolviendo

${\displaystyle \sum _{i=0}^{j}a_{i}n_{i}(x_{j})=y_{j}\qquad j=0,\dots ,k.}$

Derivación

Si bien la fórmula de interpolación se puede encontrar resolviendo un sistema lineal de ecuaciones, se pierde la intuición sobre lo que muestra la fórmula y no resulta evidente por qué funciona la fórmula de interpolación de Newton. Para comenzar, primero tendremos que establecer dos hechos:

Hecho 1. Invertir los términos de una diferencia dividida la deja inalterada: ${\displaystyle [y_{0},\ldots ,y_{n}]=[y_{n},\ldots ,y_{0}].}$

La prueba de esto es una inducción fácil: calculamos ${\displaystyle n=1}$ $${\displaystyle [y_{0},y_{1}]={\frac {[y_{1}]-[y_{0}]}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {[y_{0}]-[y_{1}]}{x_{0}-x_{1}}}=[y_{1},y_{0}].}$$

Paso de inducción: Supongamos que el resultado es válido para cualquier diferencia dividida que involucre como máximo términos. Luego, utilizando la hipótesis de inducción en la segunda igualdad siguiente, vemos que para una diferencia dividida que involucre términos, tenemos ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n+2}$

$${\displaystyle [y_{0},\ldots ,y_{n+1}]={\frac {[y_{1},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{0},\ldots ,y_{n}]}{x_{n+1}-x_{0}}}={\frac {[y_{n},\ldots ,y_{0}]-[y_{n+1},\ldots ,y_{1}]}{x_{0}-x_{n+1}}}=[y_{n+1},\ldots ,y_{0}].}$$

Formulamos a continuación el Hecho 2 que para efectos de inducción y claridad también llamamos Afirmación ( ): ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{Stm}}_{n}}$

Hecho 2. ( ) : Si hay puntos con coordenadas distintas y es el único polinomio de grado (como máximo) cuyo gráfico pasa por estos puntos, entonces se cumple la relación ${\displaystyle {\text{Stm}}_{n}}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P=P(x)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle [y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{n}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n}-x_{n-1})=y_{n}-P(x_{n})}$$

Prueba. (Será útil para una lectura fluida de la prueba tener en mente la afirmación precisa y su sutileza: se define pasando por pero la fórmula también habla en ambos lados de un punto arbitrario adicional con una coordenada distinta de la otra ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),...,(x_{n-1},y_{n-1})}$ ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Demostramos nuevamente estas afirmaciones por inducción. Para demostrarlo, sea un punto cualquiera y sea el único polinomio de grado 0 que pasa por . Entonces, evidentemente , y podemos escribir como queremos. ${\displaystyle {\text{Stm}}_{1},}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle P(x)=y_{0}}$ $${\displaystyle [y_{0},y_{1}](x_{1}-x_{0})={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x_{1}-x_{0})=y_{1}-y_{0}=y_{1}-P(x_{1})}$$

Prueba de suponer ya establecido: Sea el polinomio de grado (como máximo) que pasa por ${\displaystyle {\text{Stm}}_{n+1},}$ ${\displaystyle {\text{Stm}}_{n}}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n},y_{n}).}$

Siendo el único polinomio de grado (como máximo) que pasa por los puntos , podemos escribir la siguiente cadena de igualdades, donde usamos en la penúltima igualdad que Stm aplica a : ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle _{n}}$ ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&[y_{0},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&={\frac {[y_{1},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{0},\ldots ,y_{n}]}{x_{n+1}-x_{0}}}(x_{n+1}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=\left([y_{1},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{0},\ldots ,y_{n}]\right)(x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=[y_{1},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})-[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=(y_{n+1}-Q(x_{n+1}))-[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=y_{n+1}-(Q(x_{n+1})+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})).\end{aligned}}}$$

La hipótesis de inducción para también se aplica a la segunda igualdad en el siguiente cálculo, donde se añade a los puntos que definen  : ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&Q(x_{0})+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{0}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{0}-x_{n})\\&=Q(x_{0})+[y_{n},\ldots ,y_{0}](x_{0}-x_{n})\cdot \ldots \cdot (x_{0}-x_{1})\\&=Q(x_{0})+y_{0}-Q(x_{0})\\&=y_{0}\\&=P(x_{0}).\\\end{aligned}}}$$

Ahora observemos que por la definición de este polinomio pasa por y, como acabamos de demostrar, también pasa por Por lo tanto, es el único polinomio de grado que pasa por estos puntos. Por lo tanto, este polinomio es , es decir: ${\displaystyle Q(x)+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n}).}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}).}$ ${\displaystyle \leq n}$ ${\displaystyle P(x);}$ ${\displaystyle P(x)=Q(x)+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n}).}$

Por lo tanto, podemos escribir la última línea en la primera cadena de igualdades como ` ' y así hemos establecido que Así que establecimos , y por lo tanto completamos la prueba del Hecho 2. ${\displaystyle y_{n+1}-P(x_{n+1})}$ $${\displaystyle [y_{0},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})=y_{n+1}-P(x_{n+1}).}$$ ${\displaystyle {\text{Stm}}_{n+1}}$

Ahora observemos el hecho 2: se puede formular de esta manera: Si es el único polinomio de grado como máximo cuyo gráfico pasa por los puntos , entonces es el único polinomio de grado como máximo que pasa por los puntos. Así vemos que la interpolación de Newton permite, de hecho, agregar nuevos puntos de interpolación sin destruir lo que ya se ha calculado. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),...,(x_{n-1},y_{n-1}),}$ ${\displaystyle P(x)+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n-1})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),...,(x_{n-1},y_{n-1}),(x_{n},y_{n}).}$

Polinomio de Taylor

El límite del polinomio de Newton si todos los nodos coinciden es un polinomio de Taylor , porque las diferencias divididas se convierten en derivadas. $${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{(x_{0},\dots ,x_{n})\to (z,\dots ,z)}f[x_{0}]+f[x_{0},x_{1}]\cdot (\xi -x_{0})+\dots +f[x_{0},\dots ,x_{n}]\cdot (\xi -x_{0})\cdot \dots \cdot (\xi -x_{n-1})\\&=f(z)+f'(z)\cdot (\xi -z)+\dots +{\frac {f^{(n)}(z)}{n!}}\cdot (\xi -z)^{n}\end{aligned}}}$$

Solicitud

Como se puede ver en la definición de las diferencias divididas, se pueden agregar nuevos puntos de datos al conjunto de datos para crear un nuevo polinomio de interpolación sin tener que volver a calcular los coeficientes antiguos. Y cuando un punto de datos cambia, normalmente no tenemos que volver a calcular todos los coeficientes. Además, si las x _i se distribuyen de forma equidistante, el cálculo de las diferencias divididas se vuelve significativamente más fácil. Por lo tanto, las fórmulas de diferencias divididas suelen preferirse a la forma de Lagrange para fines prácticos.

Ejemplos

Las diferencias divididas se pueden escribir en forma de tabla. Por ejemplo, para una función f se debe interpolar en los puntos . Escribe ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{0}&f(x_{0})&&\\&&{f(x_{1})-f(x_{0}) \over x_{1}-x_{0}}&\\x_{1}&f(x_{1})&&{{f(x_{2})-f(x_{1}) \over x_{2}-x_{1}}-{f(x_{1})-f(x_{0}) \over x_{1}-x_{0}} \over x_{2}-x_{0}}\\&&{f(x_{2})-f(x_{1}) \over x_{2}-x_{1}}&\\x_{2}&f(x_{2})&&\vdots \\&&\vdots &\\\vdots &&&\vdots \\&&\vdots &\\x_{n}&f(x_{n})&&\\\end{matrix}}}$

Luego, el polinomio de interpolación se forma como se indicó anteriormente, utilizando las entradas superiores de cada columna como coeficientes.

Por ejemplo, supongamos que vamos a construir el polinomio de interpolación para f ( x ) = tan( x ) utilizando diferencias divididas, en los puntos

Utilizando seis dígitos de precisión, construimos la tabla

${\displaystyle {\begin{matrix}-{\tfrac {3}{2}}&-14.1014&&&&\\&&17.5597&&&\\-{\tfrac {3}{4}}&-0.931596&&-10.8784&&\\&&1.24213&&4.83484&\\0&0&&0&&0\\&&1.24213&&4.83484&\\{\tfrac {3}{4}}&0.931596&&10.8784&&\\&&17.5597&&&\\{\tfrac {3}{2}}&14.1014&&&&\\\end{matrix}}}$

Por lo tanto, el polinomio de interpolación es

${\displaystyle {\begin{aligned}&-14.1014+17.5597(x+{\tfrac {3}{2}})-10.8784(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})+4.83484(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})(x)+0(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})(x)(x-{\tfrac {3}{4}})\\={}&-0.00005-1.4775x-0.00001x^{2}+4.83484x^{3}\end{aligned}}}$

Dados más dígitos de precisión en la tabla, se encontrará que el primer y el tercer coeficiente son cero.

Otro ejemplo:

La secuencia tal que y , es decir, son de a . ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle f_{0}(1)=6,f_{0}(2)=9,f_{0}(3)=2}$ ${\displaystyle f_{0}(4)=5}$ ${\displaystyle 6,9,2,5}$ ${\displaystyle x_{0}=1}$ ${\displaystyle x_{3}=4}$

La pendiente de orden se obtiene de la siguiente manera: ${\displaystyle 1}$

• ${\displaystyle f_{1}(x_{0},x_{1})={\frac {f_{0}(x_{1})-f_{0}(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {9-6}{2-1}}=3}$
• ${\displaystyle f_{1}(x_{1},x_{2})={\frac {f_{0}(x_{2})-f_{0}(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {2-9}{3-2}}=-7}$
• ${\displaystyle f_{1}(x_{2},x_{3})={\frac {f_{0}(x_{3})-f_{0}(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}}={\frac {5-2}{4-3}}=3}$

Como tenemos las pendientes de orden , es posible obtener el siguiente orden: ${\displaystyle 1}$

• ${\displaystyle f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})={\frac {f_{1}(x_{1},x_{2})-f_{1}(x_{0},x_{1})}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {-7-3}{3-1}}=-5}$
• ${\displaystyle f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {f_{1}(x_{2},x_{3})-f_{1}(x_{1},x_{2})}{x_{3}-x_{1}}}={\frac {3-(-7)}{4-2}}=5}$

Finalmente definimos la pendiente de orden : ${\displaystyle 3}$

• ${\displaystyle f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})-f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})}{x_{3}-x_{0}}}={\frac {5-(-5)}{4-1}}={\frac {10}{3}}}$

Una vez que tenemos la pendiente, podemos definir los polinomios consecuentes:

• ${\displaystyle p_{0}(x)=6}$.
• ${\displaystyle p_{1}(x)=6+3(x-1)}$
• ${\displaystyle p_{2}(x)=6+3(x-1)-5(x-1)(x-2)}$.
• ${\displaystyle p_{3}(x)=6+3(x-1)-5(x-1)(x-2)+{\frac {10}{3}}(x-1)(x-2)(x-3)}$

Véase también

• De numeris triangularibus et inde de progressibus arithmeticis: Magisteria magna , una obra de Thomas Harriot que describe métodos similares para la interpolación, escrita 50 años antes que el trabajo de Newton pero no publicada hasta 2009
• Serie de Newton
• El esquema de Neville
• Interpolación polinómica
• Forma de Lagrange del polinomio de interpolación
• Forma de Bernstein del polinomio de interpolación
• Interpolación de Hermite
• Teorema de Carlson
• Tabla de series newtonianas

Referencias

1. Dunham, William (1990). "7". Viaje a través del genio: los grandes teoremas de las matemáticas . Kanak Agrawal, Inc., págs. 155-183. ISBN 9780140147391. Recuperado el 24 de octubre de 2019 .
2. Epperson, James F. (2013). Introducción a los métodos numéricos y al análisis (2.ª ed.). Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 978-1-118-36759-9.
3. Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (2011). Análisis numérico (novena edición). Cengage Learning. pág. 129. ISBN 9780538733519.
4. Hamming, Richard W. (1986). Métodos numéricos para científicos e ingenieros (Republicación íntegra de la 2. ed. (1973)). Nueva York: Dover. ISBN 978-0-486-65241-2.
5. Stetekluh, Jeff. "Algoritmo para la forma de Newton del polinomio de interpolación".

Enlaces externos

• Módulo para el polinomio de Newton de John H. Mathews