En matemáticas , en el área del análisis complejo , el teorema de Carlson es un teorema de unicidad descubierto por Fritz David Carlson . De manera informal, afirma que dos funciones analíticas diferentes que no crecen muy rápido en el infinito no pueden coincidir en los números enteros. El teorema puede obtenerse a partir del teorema de Phragmén-Lindelöf , que es a su vez una extensión del teorema del módulo máximo .
El teorema de Carlson se suele invocar para defender la unicidad de una expansión en serie de Newton . El teorema de Carlson tiene analogías generalizadas para otras expansiones.
Supongamos que f satisface las tres condiciones siguientes. Las dos primeras condiciones limitan el crecimiento de f al infinito, mientras que la tercera establece que f se anula en los números enteros no negativos.
Entonces f es idénticamente cero .
La primera condición puede relajarse: basta suponer que f es analítica en Re z > 0 , continua en Re z ≥ 0 , y satisface
para algunos valores reales C , τ .
Para ver que la segunda condición es precisa, considere la función f ( z ) = sin( π z ) . Se desvanece en los números enteros; sin embargo, crece exponencialmente en el eje imaginario con una tasa de crecimiento de c = π , y de hecho no es idénticamente cero.
Un resultado, debido a Rubel (1956), relaja la condición de que f se anule en los números enteros. Es decir, Rubel demostró que la conclusión del teorema sigue siendo válida si f se anula en un subconjunto A ⊂ {0, 1, 2, ...} de densidad superior a 1, lo que significa que
Esta condición es aguda, lo que significa que el teorema falla para conjuntos A de densidad superior menor que 1.
Supongamos que f ( z ) es una función que posee todas las diferencias hacia delante finitas . Consideremos entonces la serie de Newton
con es el coeficiente binomial y es la n -ésima diferencia hacia delante . Por construcción, se tiene entonces que f ( k ) = g ( k ) para todos los enteros no negativos k , de modo que la diferencia h ( k ) = f ( k ) − g ( k ) = 0 . Esta es una de las condiciones del teorema de Carlson; si h obedece a las otras, entonces h es idénticamente cero, y las diferencias finitas para f determinan de forma única su serie de Newton. Es decir, si existe una serie de Newton para f , y la diferencia satisface las condiciones de Carlson, entonces f es única.