Teorema de Carlson

Teorema de unicidad en el análisis complejo

En matemáticas , en el área del análisis complejo , el teorema de Carlson es un teorema de unicidad descubierto por Fritz David Carlson . De manera informal, afirma que dos funciones analíticas diferentes que no crecen muy rápido en el infinito no pueden coincidir en los números enteros. El teorema puede obtenerse a partir del teorema de Phragmén-Lindelöf , que es a su vez una extensión del teorema del módulo máximo .

El teorema de Carlson se suele invocar para defender la unicidad de una expansión en serie de Newton . El teorema de Carlson tiene analogías generalizadas para otras expansiones.

Declaración

Supongamos que f satisface las tres condiciones siguientes. Las dos primeras condiciones limitan el crecimiento de f al infinito, mientras que la tercera establece que f se anula en los números enteros no negativos.

1. f ( z ) es una función entera de tipo exponencial , lo que significa quepara algunos valores reales C , τ . $${\displaystyle |f(z)|\leq Ce^{\tau |z|},\quad z\in \mathbb {C} }$$
2. Existe c < π tal que $${\displaystyle |f(iy)|\leq Ce^{c|y|},\quad y\in \mathbb {R} }$$
3. f ( n ) = 0 para cada entero no negativo n .

Entonces f es idénticamente cero .

Nitidez

Primera condición

La primera condición puede relajarse: basta suponer que f es analítica en Re z > 0 , continua en Re z ≥ 0 , y satisface

$${\displaystyle |f(z)|\leq Ce^{\tau |z|},\quad \operatorname {Re} z>0}$$

para algunos valores reales C , τ .

Segunda condición

Para ver que la segunda condición es precisa, considere la función f ( z ) = sin( π z ) . Se desvanece en los números enteros; sin embargo, crece exponencialmente en el eje imaginario con una tasa de crecimiento de c = π , y de hecho no es idénticamente cero.

Tercera condición

Un resultado, debido a Rubel (1956), relaja la condición de que f se anule en los números enteros. Es decir, Rubel demostró que la conclusión del teorema sigue siendo válida si f se anula en un subconjunto A ⊂ {0, 1, 2, ...} de densidad superior a 1, lo que significa que

$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\left|A\cap \{0,1,\ldots ,n-1\}\right|}{n}}=1.}$$

Esta condición es aguda, lo que significa que el teorema falla para conjuntos A de densidad superior menor que 1.

Aplicaciones

Supongamos que f ( z ) es una función que posee todas las diferencias hacia delante finitas . Consideremos entonces la serie de Newton ${\displaystyle \Delta ^{n}f(0)}$

$${\displaystyle g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{z \choose n}\,\Delta ^{n}f(0)}$$

con es el coeficiente binomial y es la n -ésima diferencia hacia delante . Por construcción, se tiene entonces que f ( k ) = g ( k ) para todos los enteros no negativos k , de modo que la diferencia h ( k ) = f ( k ) − g ( k ) = 0 . Esta es una de las condiciones del teorema de Carlson; si h obedece a las otras, entonces h es idénticamente cero, y las diferencias finitas para f determinan de forma única su serie de Newton. Es decir, si existe una serie de Newton para f , y la diferencia satisface las condiciones de Carlson, entonces f es única. ${\textstyle {z \choose n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}f(0)}$

Véase también

• Serie de Newton
• Teorema de Mahler
• Tabla de series newtonianas

Referencias

• F. Carlson, Sur une classe de séries de Taylor , (1914) Disertación, Uppsala, Suecia, 1914.
• Riesz, M. (1920). "Sur le principe de Phragmén-Lindelöf". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 20 : 205-107., cor 21 (1921) pág. 6.
• Hardy, GH (1920). "Sobre dos teoremas de F. Carlson y S. Wigert". Acta Mathematica . 42 : 327–339. doi : 10.1007/bf02404414 .
• EC Titchmarsh , La teoría de funciones (2.ª edición) (1939) Oxford University Press (véase la sección 5.81)
• RP Boas, Jr., Funciones completas , (1954) Academic Press, Nueva York.
• DeMar, R. (1962). "Existencia de funciones interpoladoras de tipo exponencial". Trans. Amer. Math. Soc . 105 (3): 359–371. doi : 10.1090/s0002-9947-1962-0141920-6 .
• DeMar, R. (1963). "Desvanecimiento de las diferencias centrales". Proc. Amer. Math. Soc . 14 : 64–67. doi : 10.1090/s0002-9939-1963-0143907-2 .
• Rubel, LA (1956), "Condiciones necesarias y suficientes para el teorema de Carlson sobre funciones enteras", Trans. Amer. Math. Soc. , 83 (2): 417–429, doi :10.1090/s0002-9947-1956-0081944-8, JSTOR  1992882, MR  0081944, PMC  528143 , PMID  16578453