interpolación de Hermite

Interpolación polinómica utilizando valores derivados

En análisis numérico , la interpolación de Hermite , llamada así en honor a Charles Hermite , es un método de interpolación polinomial , que generaliza la interpolación de Lagrange . La interpolación de Lagrange permite calcular un polinomio de grado menor que n que toma el mismo valor en n puntos dados que una función dada. En cambio, la interpolación de Hermite calcula un polinomio de grado menor que n tal que el polinomio y sus primeras derivadas tengan los mismos valores en m (menos que n ) puntos dados que la función dada y sus primeras derivadas en esos puntos. El número de piezas de información, valores de funciones y valores de derivadas, debe sumar . ${\displaystyle n}$

El método de interpolación de Hermite está estrechamente relacionado con el método de interpolación de Newton , en el sentido de que ambos pueden derivarse del cálculo de diferencias divididas . Sin embargo, existen otros métodos para calcular un polinomio de interpolación de Hermite. Se puede utilizar álgebra lineal , tomando los coeficientes del polinomio de interpolación como incógnitas y escribiendo como ecuaciones lineales las restricciones que debe satisfacer el polinomio de interpolación. Para conocer otro método, consulte el teorema del resto chino § Interpolación de Hermite . Para conocer otro método más, consulte ^[1] que utiliza la integración de contornos.

Planteamiento del problema

En la formulación restringida estudiada en ^[2] , la interpolación de Hermite consiste en calcular un polinomio de grado lo más bajo posible que coincida con una función desconocida tanto en el valor observado como en el valor observado de sus primeras m derivadas. Esto significa que se deben conocer n ( m + 1) valores . El polinomio resultante tiene un grado menor que n ( m + 1) . (En un caso más general, no es necesario que m sea un valor fijo; es decir, algunos puntos pueden tener más derivadas conocidas que otros. En este caso, el polinomio resultante tiene un grado menor que el número de puntos de datos). $${\displaystyle {\begin{matrix}(x_{0},y_{0}),&(x_{1},y_{1}),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}),\\[1ex](x_{0},y_{0}'),&(x_{1},y_{1}'),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}'),\\[1ex]\vdots &\vdots &&\vdots \\[1.2ex](x_{0},y_{0}^{(m)}),&(x_{1},y_{1}^{(m)}),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}^{(m)})\end{matrix}}}$$

Consideremos un polinomio P ( x ) de grado menor que n ( m + 1) con coeficientes indeterminados ; es decir, los coeficientes de P ( x ) son n ( m + 1 ) nuevas variables. Luego, al escribir las restricciones que debe satisfacer el polinomio de interpolación, se obtiene un sistema de n ( m + 1) ecuaciones lineales en n ( m + 1) incógnitas.

En general, un sistema de este tipo tiene exactamente una solución. En ^[1] _, Charles Hermite utilizó la integración de contornos para demostrar que este es efectivamente el caso aquí y para encontrar la solución única, siempre que los xi sean diferentes por pares. A continuación se describe un método para calcular la solución. ^[3]

Método

Caso simple cuando todos k = 2 {\displaystyle k=2}

Cuando se utilizan diferencias divididas para calcular el polinomio de Hermite de una función f , el primer paso es copiar cada punto m veces. (Aquí consideraremos el caso más simple para todos los puntos). Por lo tanto, dados los puntos de datos y los valores y para una función que queremos interpolar, creamos un nuevo conjunto de datos tal que ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle f(x_{0}),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n})}$ ${\displaystyle f'(x_{0}),f'(x_{1}),\ldots ,f'(x_{n})}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots ,z_{2n+1}}$$ $${\displaystyle z_{2i}=z_{2i+1}=x_{i}.}$$

Ahora, creamos una tabla de diferencias dividida para los puntos . Sin embargo, por algunas diferencias divididas, que no están definidas. En este caso, la diferencia dividida se reemplaza por . Todos los demás se calculan normalmente. ${\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots ,z_{2n+1}}$ $${\displaystyle z_{i}=z_{i+1}\implies f[z_{i},z_{i+1}]={\frac {f(z_{i+1})-f(z_{i})}{z_{i+1}-z_{i}}}={\frac {0}{0}}}$$ ${\displaystyle f'(z_{i})}$

Un caso más general cuando k > 2 {\displaystyle k>2}

En el caso general, supongamos que un punto dado tiene k derivadas. Entonces el conjunto de datos contiene k copias idénticas de . Al crear la tabla, las diferencias divididas de valores idénticos se calcularán como ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots ,z_{N}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle j=2,3,\ldots ,k}$ $${\displaystyle {\frac {f^{(j)}(x_{i})}{j!}}.}$$

Por ejemplo, etc. $${\displaystyle f[x_{i},x_{i},x_{i}]={\frac {f''(x_{i})}{2}}}$$ $${\displaystyle f[x_{i},x_{i},x_{i},x_{i}]={\frac {f^{(3)}(x_{i})}{6}}}$$

^{En [4]} se proporciona un algoritmo rápido para el caso completamente general. En ^[5] se describe un algoritmo más lento pero numéricamente más estable.

Ejemplo

Considere la función . Evaluando la función y sus dos primeras derivadas en , obtenemos los siguientes datos: ${\displaystyle f(x)=x^{8}+1}$ ${\displaystyle x\in \{-1,0,1\}}$

Como tenemos dos derivadas con las que trabajar, construimos el conjunto . Nuestra tabla de diferencias divididas es entonces: y el polinomio generado se obtiene tomando los coeficientes de la diagonal de la tabla de diferencias divididas y multiplicando el k -ésimo coeficiente por , como lo haríamos al generar un polinomio de Newton. ${\displaystyle \{z_{i}\}=\{-1,-1,-1,0,0,0,1,1,1\}}$ $${\displaystyle {\begin{array}{llcclrrrrr}z_{0}=-1&f[z_{0}]=2&&&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{0})}{1}}=-8&&&&&&&\\z_{1}=-1&f[z_{1}]=2&&{\frac {f''(z_{1})}{2}}=28&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{1})}{1}}=-8&&f[z_{3},z_{2},z_{1},z_{0}]=-21&&&&&\\z_{2}=-1&f[z_{2}]=2&&f[z_{3},z_{2},z_{1}]=7&&15&&&&\\&&f[z_{3},z_{2}]=-1&&f[z_{4},z_{3},z_{2},z_{1}]=-6&&-10&&&\\z_{3}=0&f[z_{3}]=1&&f[z_{4},z_{3},z_{2}]=1&&5&&4&&\\&&{\frac {f'(z_{3})}{1}}=0&&f[z_{5},z_{4},z_{3},z_{2}]=-1&&-2&&-1&\\z_{4}=0&f[z_{4}]=1&&{\frac {f''(z_{4})}{2}}=0&&1&&2&&1\\&&{\frac {f'(z_{4})}{1}}=0&&f[z_{6},z_{5},z_{4},z_{3}]=1&&2&&1&\\z_{5}=0&f[z_{5}]=1&&f[z_{6},z_{5},z_{4}]=1&&5&&4&&\\&&f[z_{6},z_{5}]=1&&f[z_{7},z_{6},z_{5},z_{4}]=6&&10&&&\\z_{6}=1&f[z_{6}]=2&&f[z_{7},z_{6},z_{5}]=7&&15&&&&\\&&{\frac {f'(z_{6})}{1}}=8&&f[z_{8},z_{7},z_{6},z_{5}]=21&&&&&\\z_{7}=1&f[z_{7}]=2&&{\frac {f''(z_{7})}{2}}=28&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{7})}{1}}=8&&&&&&&\\z_{8}=1&f[z_{8}]=2&&&&&&&&\\\end{array}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)&=2-8(x+1)+28(x+1)^{2}-21(x+1)^{3}+15x(x+1)^{3}-10x^{2}(x+1)^{3}\\&\quad {}+4x^{3}(x+1)^{3}-1x^{3}(x+1)^{3}(x-1)+x^{3}(x+1)^{3}(x-1)^{2}\\&=2-8+28-21-8x+56x-63x+15x+28x^{2}-63x^{2}+45x^{2}-10x^{2}-21x^{3}\\&\quad {}+45x^{3}-30x^{3}+4x^{3}+x^{3}+x^{3}+15x^{4}-30x^{4}+12x^{4}+2x^{4}+x^{4}\\&\quad {}-10x^{5}+12x^{5}-2x^{5}+4x^{5}-2x^{5}-2x^{5}-x^{6}+x^{6}-x^{7}+x^{7}+x^{8}\\&=x^{8}+1.\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \prod _{i=0}^{k-1}(x-z_{i})}$

Interpolación quíntica de Hermite

La interpolación quíntica de Hermite basada en la función ( ), su primera ( ) y segunda derivada ( ) en dos puntos diferentes ( y ) se puede utilizar, por ejemplo, para interpolar la posición de un objeto en función de su posición, velocidad y aceleración. La forma general está dada por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}p(x)&=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})-f'(x_{0})(x_{1}-x_{0})-{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x_{1}-x_{0})^{2}}{(x_{1}-x_{0})^{3}}}(x-x_{0})^{3}\\&+{\frac {3f(x_{0})-3f(x_{1})+2\left(f'(x_{0})+{\frac {1}{2}}f'(x_{1})\right)(x_{1}-x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x_{1}-x_{0})^{2}}{(x_{1}-x_{0})^{4}}}(x-x_{0})^{3}(x-x_{1})\\&+{\frac {6f(x_{1})-6f(x_{0})-3\left(f'(x_{0})+f'(x_{1})\right)(x_{1}-x_{0})+{\frac {1}{2}}\left(f''(x_{1})-f''(x_{0})\right)(x_{1}-x_{0})^{2}}{(x_{1}-x_{0})^{5}}}(x-x_{0})^{3}(x-x_{1})^{2}.\end{aligned}}}$$

Error

Llame al polinomio calculado H y a la función original f . Consideremos primero el caso del valor real. Al evaluar un punto , la función de error es donde c es una incógnita dentro del rango , K es el número total de puntos de datos y es el número de derivadas conocidas en cada uno . Por tanto, el grado del polinomio de la derecha es uno mayor que el grado fijado para . Además, el error y todas sus derivadas hasta el orden st es cero en cada nodo, como debería ser. ${\displaystyle x\in [x_{0},x_{n}]}$ $${\displaystyle f(x)-H(x)={\frac {f^{(K)}(c)}{K!}}\prod _{i}(x-x_{i})^{k_{i}},}$$ ${\displaystyle [x_{0},x_{N}]}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle k_{i}-1}$

En el caso complejo, como se describe por ejemplo en la p. 360 pulgadas, ^[5] donde el contorno encierra y todos los nodos , y el polinomio del nodo es . $${\displaystyle f(z)-H(z)={\frac {w(z)}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(\zeta )}{w(\zeta )(\zeta -z)}}d\zeta }$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle w(z)=\prod _{i}(z-x_{i})^{k_{i}}}$

Ver también

• Spline cúbico de Hermite
• Series de Newton , también conocidas como diferencias finitas
• El esquema de Neville
• polinomios de Bernstein

Referencias

1. Hermite, Charles (1878). "Sobre la fórmula de interpolación de Lagrange". J. Reina Angew. Matemáticas. : 70–79.
2. Traub, JF (diciembre de 1964). "Sobre Lagrange: interpolación de Hermite". J. Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas . 12 (4): 886–891.
3. Spitzbart, A (enero de 1960). "Una generalización de la interpolación de Hermite". Mensual Matemático Estadounidense . 67 (1): 42–46 . Consultado el 2 de junio de 2024 .
4. Schneider, C; Werner, W (1991). "Interpolación de Hermite: el enfoque baricéntrico". Informática . 46 : 35–51.
5. Corless, Robert M; Fillion, Nicolás (2013). Una introducción de posgrado a los métodos numéricos . Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4614-8452-3.

enlaces externos

• Polinomio de interpolación de Hermites en Mathworld