Principio de división

En matemáticas , el principio de división es una técnica utilizada para reducir preguntas sobre haces de vectores al caso de haces de líneas .

En la teoría de paquetes de vectores, a menudo se desea simplificar los cálculos, por ejemplo, de las clases de Chern . A menudo, los cálculos se entienden bien para haces de líneas y para sumas directas de haces de líneas. En este caso, el principio de división puede resultar bastante útil.

Teorema  :  Sea un paquete de vectores de rango sobre un espacio paracompacto . Existe un espacio , llamado paquete de banderas asociado a , y un mapa tal que ${\displaystyle \xi \colon E\rightarrow X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y=Fl(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p\colon Y\rightarrow X}$

1. el homomorfismo de cohomología inducido es inyectivo, y ${\displaystyle p^{*}\colon H^{*}(X)\rightarrow H^{*}(Y)}$
2. el paquete de retroceso se divide como una suma directa de paquetes de líneas: ${\displaystyle p^{*}\xi \colon p^{*}E\rightarrow Y}$ ${\displaystyle p^{*}(E)=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{n}.}$

El teorema anterior es válido para paquetes de vectores complejos y coeficientes enteros o para paquetes de vectores reales con coeficientes. En el caso complejo, los haces de líneas o sus primeras clases características se denominan raíces de Chern. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle L_{i}}$

El hecho de que sea inyectiva significa que cualquier ecuación que se cumpla (por ejemplo, entre varias clases de Chern) también se cumple . ${\displaystyle p^{*}\colon H^{*}(X)\rightarrow H^{*}(Y)}$ ${\displaystyle H^{*}(Y)}$ ${\displaystyle H^{*}(X)}$

El punto es que estas ecuaciones son más fáciles de entender para sumas directas de haces de líneas que para haces de vectores arbitrarios, por lo que las ecuaciones deben entenderse y luego reducirse a . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Dado que los paquetes de vectores se utilizan para definir el grupo de la teoría K , es importante señalar que también es inyectivo para el mapa del teorema anterior. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle p^{*}\colon K(X)\rightarrow K(Y)}$ ${\displaystyle p}$

El principio de división admite muchas variaciones. Lo siguiente, en particular, se refiere a paquetes de vectores reales y sus complejizaciones : ^[2]

Teorema  :  Sea un paquete de vectores reales de rango sobre un espacio paracompacto . Existe un espacio y un mapa tales que ${\displaystyle \xi \colon E\rightarrow X}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p\colon Y\rightarrow X}$

1. el homomorfismo de cohomología inducido es inyectivo, y ${\displaystyle p^{*}\colon H^{*}(X)\rightarrow H^{*}(Y)}$
2. el paquete de retroceso se divide como una suma directa de paquetes de líneas y sus conjugados: ${\displaystyle p^{*}\xi \colon p^{*}E\rightarrow Y}$ ${\displaystyle p^{*}(E\otimes \mathbb {C} )=L_{1}\oplus {\overline {L_{1}}}\oplus \cdots \oplus L_{n}\oplus {\overline {L_{n}}}.}$

Polinomio simétrico

Según el principio de división, las clases características para haces de vectores complejos corresponden a polinomios simétricos en las primeras clases de Chern de haces de líneas complejas; estas son las clases de Chern .

Ver también

• teoría k
• Principio de división de Grothendieck para haces de vectores holomorfos en la línea proyectiva compleja

Referencias

1. Oscar Randal-Williams, Clases características y teoría K, Corolario 4.3.4, https://www.dpmms.cam.ac.uk/~or257/teaching/notes/Kthy.pdf
2. H. Blane Lawson y Marie-Louise Michelsohn, Geometría de espín , Proposición 11.2.

• Hatcher, Allen (2003), Paquetes de vectores y teoría K (2.0 ed.)sección 3.1
• Raoul Bott y Loring Tu. Formas diferenciales en topología algebraica , sección 21.