En análisis funcional , una rama de las matemáticas , un álgebra de operadores es un álgebra de operadores lineales continuos en un espacio vectorial topológico , con la multiplicación dada por la composición de asignaciones .
Los resultados obtenidos en el estudio de álgebras de operadores a menudo se expresan en términos algebraicos , mientras que las técnicas utilizadas suelen ser altamente analíticas . [1] Aunque el estudio de las álgebras de operadores suele clasificarse como una rama del análisis funcional, tiene aplicaciones directas a la teoría de la representación , la geometría diferencial , la mecánica estadística cuántica , la información cuántica y la teoría cuántica de campos .
Las álgebras de operadores se pueden utilizar para estudiar simultáneamente conjuntos arbitrarios de operadores con poca relación algebraica . Desde este punto de vista, las álgebras de operadores pueden considerarse como una generalización de la teoría espectral de un único operador. En general, las álgebras de operadores son anillos no conmutativos .
Por lo general, se requiere que un álgebra de operadores esté cerrado en una topología de operador específica dentro de toda el álgebra de operadores lineales continuos. En particular, es un conjunto de operadores con propiedades de cierre tanto algebraicas como topológicas. En algunas disciplinas, tales propiedades se axiomizan y las álgebras con cierta estructura topológica se convierten en el tema de investigación.
Aunque las álgebras de operadores se estudian en varios contextos (por ejemplo, álgebras de operadores pseudodiferenciales que actúan sobre espacios de distribuciones ), el término álgebra de operadores se usa generalmente en referencia a álgebras de operadores acotados en un espacio de Banach o, aún más especialmente en referencia a álgebras de operadores en un espacio de Hilbert separable , dotado de la topología de norma de operador .
En el caso de operadores en un espacio de Hilbert, el mapa adjunto hermitiano de operadores proporciona una involución natural , que proporciona una estructura algebraica adicional que se puede imponer al álgebra. En este contexto, los ejemplos mejor estudiados son las álgebras de operadores autoadjuntos , lo que significa que son cerradas al tomar adjuntos. Estos incluyen álgebras C* , álgebras de von Neumann y álgebra AW* . Las álgebras C* se pueden caracterizar fácilmente de forma abstracta mediante una condición que relaciona la norma, la involución y la multiplicación. Estas álgebras C* definidas de forma abstracta se pueden identificar con una determinada subálgebra cerrada del álgebra de los operadores lineales continuos en un espacio de Hilbert adecuado. Un resultado similar se aplica a las álgebras de von Neumann.
Las álgebras de operadores autoadjuntos conmutativos pueden considerarse como el álgebra de funciones continuas de valores complejos en un espacio localmente compacto , o el de funciones medibles en un espacio medible estándar . Por lo tanto, las álgebras de operadores generales a menudo se consideran generalizaciones no conmutativas de estas álgebras, o la estructura del espacio base en el que se definen las funciones. Este punto de vista se elabora como la filosofía de la geometría no conmutativa , que intenta estudiar diversos objetos no clásicos y/o patológicos mediante álgebras de operadores no conmutativos.
Ejemplos de álgebras de operadores que no son autoadjuntas incluyen: