Espacio mensurable

Objeto básico en la teoría de la medida; conjunto y un álgebra sigma

En matemáticas , un espacio medible o espacio de Borel ^[1] es un objeto básico en la teoría de la medida . Consta de un conjunto y una σ-álgebra , que define los subconjuntos que se medirán.

Definición

Considere un conjunto y un σ-álgebra . Entonces la tupla se llama espacio mensurable. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$

Tenga en cuenta que, a diferencia de un espacio de medidas , no se necesita ninguna medida para un espacio mensurable.

Ejemplo

Mira el conjunto:

$${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$$

${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}=\{X,\varnothing \}.}$$

potencia puesta ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}_{1}\right)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}={\mathcal {P}}(X).}$$

${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}_{2}\right).}$

Espacios comunes medibles

Si es finito o infinitamente numerable, el álgebra suele ser la potencia establecida en so. Esto conduce al espacio mensurable ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {P}}(X).}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {P}}(X)).}$

Si es un espacio topológico , el álgebra es más comúnmente el álgebra de Borel , por lo que esto conduce al espacio medible que es común a todos los espacios topológicos, como los números reales. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {B}}(X).}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X))}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Ambigüedad con los espacios de Borel

El término espacio de Borel se utiliza para diferentes tipos de espacios medibles. Puede referirse a

• cualquier espacio mensurable, por lo que es sinónimo de espacio mensurable como se define anteriormente ^[1]
• un espacio mensurable que es Borel isomorfo a un subconjunto mensurable de los números reales (nuevamente con el álgebra de Borel) ^[3] ${\displaystyle \sigma }$

Ver también

• Conjunto de Borel  - Clase de conjuntos matemáticos
• Función medible  : función para la cual la preimagen de un conjunto mensurable es mensurable
• Medida  : generalización de masa, longitud, área y volumen.
• Espacio Borel estándar  : construcción matemática en topología

Referencias

1. Sazonov, VV (2001) [1994], "Espacio mensurable", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
2. Klenke, Achim (2008). Teoría de probabilidad . Berlín: Springer. pag. 18. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
3. Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Teoría de la probabilidad y modelización estocástica. vol. 77. Suiza: Springer. pag. 15. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.