Espacio Borel estándar

Construcción matemática en topología.

En matemáticas , un espacio Borel estándar es el espacio Borel asociado a un espacio polaco . Descontando los espacios de Borel de espacios polacos discretos , existe, hasta el isomorfismo de espacios medibles , un solo espacio de Borel estándar.

Definicion formal

Se dice que un espacio medible es "Borel estándar" si existe una métrica que lo convierte en un espacio métrico separable completo de tal manera que entonces sea el σ-álgebra de Borel . ^[1] Los espacios Borel estándar tienen varias propiedades útiles que no se aplican a los espacios medibles generales. ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Propiedades

• Si y son Borel estándar, entonces cualquier mapeo biyectivo medible es un isomorfismo (es decir, el mapeo inverso también es medible). Esto se desprende del teorema de Souslin , ya que un conjunto que es a la vez analítico y coanalítico es necesariamente Borel. ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle (Y,T)}$ ${\displaystyle f:(X,\Sigma )\to (Y,\mathrm {T} )}$
• Si y son espacios estándar de Borel y entonces es medible si y solo si la gráfica de es Borel. ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle (Y,T)}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$
• Son estándar el producto y unión directa de una familia contable de espacios Borel estándar.
• Cada medida de probabilidad completa en un espacio de Borel estándar lo convierte en un espacio de probabilidad estándar .

teorema de kuratowski

Teorema . Sea un espacio polaco , es decir, un espacio topológico tal que hay una métrica que define la topología y que forma un espacio métrico separable completo. Entonces, como espacio de Borel, Borel es isomorfo a uno de (1), (2) o (3) un espacio discreto finito. (Este resultado recuerda al teorema de Maharam ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

De ello se deduce que un espacio de Borel estándar se caracteriza hasta el isomorfismo por su cardinalidad , ^[2] y que cualquier espacio de Borel estándar incontable tiene la cardinalidad del continuo .

Los isomorfismos de Borel en espacios de Borel estándar son análogos a los homeomorfismos en espacios topológicos : ambos son biyectivos y cerrados bajo composición, y un homeomorfismo y su inverso son ambos continuos , en lugar de que ambos sean medibles únicamente por Borel.

Ver también

• Espacio medible  : objeto básico en la teoría de la medida; conjunto y un sigma-álgebra

Referencias

1. Mackey, GW (1957): Estructura de Borel en grupos y sus duales. Trans. Soy. Matemáticas. Soc. , 85, 134-165.
2. Srivastava, SM (1991), Un curso sobre conjuntos de Borel , Springer Verlag , ISBN 0-387-98412-7